资源简介

2025-2026学年上海市长宁区复旦中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球，3个黄球，从中有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黄球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与（　　）
A. 是相互独立事件 B. 不是相互独立事件 C. 是互斥事件 D. 是对立事件
2.已知P（A|B）=0.6，P（B|A）=0.3，且A，B相互独立，则P（A∩B）=（　　）
A. 0.3 B. 0.9 C. 0.18 D. 0.6
3.已知函数f（x）=2x-sinx,则不等式f（x+1）+f（2-2x）＞0的解集是（　　）
A. （-∞，3） B. C. D. （3，+∞）
4.已知函数f（x）=sinx+lnx,将f（x）的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{xn}，对于任意的正整数k,则四个命题成立是（　　）
①xk+1-xk＜π；②.x2k-1是极大值点；③x2k+1-x2k-1＜2π；④f（x2k+1）＞f（x2k-1）；
A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ③④
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若=，则n的值是 ．
6.抛物线方程为x2=4y,则此抛物线的焦点坐标为 .
7.已知函数f（x）=e2x，那么f′（x）= ______.
8.已知（a+b）n的展开式共有9项，则n= .
9.已知球的表面积为4π，则该球的体积为______．
10.已知事件A和B互斥，且P（A∪B）=0.8，，则P（A）= ______.
11.已知4男5女排成一排，男女相间的排法有 种排法.
12.设，，，则P（B）= .
13.盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是 .
14.已知定义在R上的函数f（x）图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则的解集为 .
15.设m∈R，已知f（x）是定义在R上的偶函数，且.若函数F（x）=f（x）+m有6个零点，则m的取值范围为 .
16.已知直线y=-x+t（t≥0）与曲线f（x）=x2+x+1，g（x）=lnx分别交于A，B两点，则|AB|min= .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
设.
（1）求a0值；
（2）求值；
（3）求值a1+2a2+3a3+…+100a100.
18.(本小题15分)
在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.
19.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC.点M是PD的中点，平面ABM与PC交于点N.
（Ⅰ）求证：MN∥AB；
（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD，AB=BC=AP=2，CD=1，，求直线PM与平面ABM所成角的正弦值.
20.(本小题17分)
已知椭圆C：的短轴长为2，且过点，设点P（x0，y0）为椭圆在第一象限内一点.
（1）求椭圆C方程；
（2）点P关于原点的对称点为Q，点R（x0，0），点T为PR中点，QT的延长线交椭圆于点S.记直线OP的斜率为k,直线PS的斜率为k1，直线QS的斜率为k2，
（ⅰ）求证：k1 k2为定值；
（ⅱ）当∠QPS最大时，求直线PQ方程.
21.(本小题18分)
设f（x）=xex-ax2，．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）零点的个数；
（3）当a＞0时，设h（x）=f（x）-ag（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】10
6.【答案】（0，1）
7.【答案】2e2x
8.【答案】8．
9.【答案】
10.【答案】0.4
11.【答案】2880．
12.【答案】．
13.【答案】．
14.【答案】（-∞，0）∪（1，4）．
15.【答案】
16.【答案】．
17.【答案】1 -1 200
18.【答案】； ．
19.【答案】AB∥DC，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD，
因为平面ABM与PC交于点N，即平面ABNM∩平面PCD=MN，AB 平面ABNM，
所以MN∥AB
20.【答案】 （ⅰ）由题意可得P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
因为点P关于原点的对称点为Q，所以Q（-x0，-y0），点R（x0，0），点T为PR中点，得，
设S（x1，y1），则直线PS的斜率为，
直线QS的斜率为，
因为S（x1，y1）在椭圆上，所以，
同理，
所以===（为定值）．
所以k1 k2为定值；（ⅱ）
21.【答案】解：（1），
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
故g（x）的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为（1，+∞）．
（2）x=0是f（x）的一个零点，当x≠0时，
由f（x）=0得，
，，
当x∈（-∞，0）时，F（x）递减且F（x）＜0．
当x＞0时，F（x）＞0，且x∈（0，1）时，F（x）递减，
x∈（1，+∞）时，F（x）递增，
故，F（x）min=F（1）=e．
分析图象可得，
当0≤a＜e时，f（x）有1个零点
当a=e或a＜0时，f（x）有2个零点；
当a＞e时，f（x）有3个零点．
（3）h（x）=f（x）-ag（x）=xex-alnx-ax-a+e，
所以：，
=，
当a＞0时，设h′（x）=0的根为x0，
即有，
可得，x0=lna-lnx0，
当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）递减．
当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增．
所以：，
=e-alna≥0，
∴0＜a≤e．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑