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2025-2026学年内蒙古锡林郭勒盟第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知A，B，C三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从A地到C地不同路线的条数是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.随机变量ξ的分布列如下表所示，其中a,b为函数f（x）=2x3-15cx2+x的两个不同的极值点，则c=（　　）
ξ 0 1 2
P a b c
A. B. C. D.
3.函数f（x）=x2ex的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
4.某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起.从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（　　）
A. 0.7 B. 0.72 C. 0.8 D. 0.83
5.由0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（　　）
A. 300 B. 360 C. 420 D. 480
6.在（x+y）（x-2y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A. 120 B. 80 C. 40 D. -40
7.若函数f（x）=x2-2ax+lnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）为定义在R上的函数，满足xf′（x）+f（x）＞0，则下列正确的为（　　）
A. f（-3）＜-3f（1） B. f（-3）＞-3f（1）
C. f（-3）＜ D. f（-3）＞
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的有（　　）
A. 已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）=2，则
B.
C. 已知函数f（x）=ln（2x+1），若f′（x0）=1，则
D. 设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+3xf′（2）+lnx,则
10.现有6本不同的书，则（　　）
A. 分给甲乙丙三人，每人2本，则共有90种分法
B. 分成三份，每份2本，则共有90种分法
C. 分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，则共有60种分法
D. 分给甲乙丙三人，其中甲4本，乙1本，丙1本，则共有15种分法
11.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. 曲线f（x）在x=0处的切线方程为y=-x
B. 函数f（x）的值域是
C. 若点P是曲线y=f（x）上的动点，则点P到直线y=x+1距离的最小值为
D. 若过点A（0，a）至少可以作曲线y=f（x）的三条切线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y=2x-3，则f（2）+f′（2）= .
13.从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为 .（用数字作答）
14.若的展开式中的常数项为1，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果）
（1）3名女生相邻；
（2）3名男生互不相邻；
（3）若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站；
（4）老师不站中间，女生不站两端.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数y=f（x）的单调区间、极值；
（2）设g（x）=f（x）-a在[-2，2]上有两个零点，求a的范围.
17.(本小题15分)
已知f（x）=（x+a）n（n∈N*）.
（1）当a=2时，f（x）展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍，
①求n的值；
②求f（x）展开式中系数最大的项；
（2）若n=3时，f（x）-3a（ax+3）≥a3在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
19.(本小题17分)
已知f（x）=lnx-ax（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围；
（3）证明：，x∈（1，+∞）恒成立.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】CD
10.【答案】AC
11.【答案】BC
12.【答案】3
13.【答案】13
14.【答案】2．
15.【答案】720 1440 840 1296
16.【答案】f（x）的增区间（-∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，2），极大值为2，极小值为
17.【答案】①9；② a
18.【答案】 ①；②方案二
19.【答案】当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为 证明：要证，x∈（1，+∞）恒成立，
即证，x∈（1，+∞）恒成立．
令，x∈（1，+∞）．
对g（x）求导得．
因为x∈（1，+∞），所以（x-1）2＞0，2x2＞0，则g′（x）＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以，
即，即，
即，x∈（1，+∞）恒成立
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