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2025-2026学年上海市第五十四中学高二（下）期中能力诊断数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.下列求导正确的是（　　）
A. B.
C. （xex）′=（x+1）ex D. （sin2x）′=cos2x
2.“m=-1”是直线l1：mx+2y+2=0与直线l2：x+（m-1）y+1=0平行的（　　）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. π B. 2π C. 2π D. 4π
4.设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A. f（1）与f（-1） B. f（-1）与f（1）
C. f（-2）与f（2） D. f（2）与f（-2）
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知球O的表面积为π，则球O的半径为 .
6.抛物线y2=16x的准线方程是 ．
7.将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______cm2．
8.已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角的大小为 .
9.已知f（x）=sinx,则= .
10.已知f（x）=ex-x,则函数y=f（x）的最小值为 .
11.若直线x+y+a=0与曲线y=x-2lnx相切，则实数a的值为______．
12.已知函数f（x）=x3+2mx2-nx+m在x=1处有极值0，则m+n= .
13.已知△ABC周长为12，B（0，-2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为 .
14.设P是以F为焦点的抛物线y2=4x上的动点，Q是圆（x-4）2+y2=1上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为 .
15.已知双曲线T：-y2=1（a＞0），任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），都有x1x2-y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是 .
16.设F1、F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，若存在过点F1的直线l与Γ的左支交于A、B两点，且△ABF2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 .
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．
（1）求原来圆锥的侧面积；
（2）求该几何体的体积．
18.(本小题8分)
已知函数f（x）=x2-ax-a,a∈R.
（1）若函数f（x）在x=1处的切线的斜率是2，求a的值；
（2）若函数F（x）=x f（x）在x=1处有极值，且关于x的方程F（x）=m有3个不同的实根，求实数m的取值范围.
19.(本小题10分)
已知抛物线C：x2=2y,过点P（0，2）的直线交抛物线于A，B.
（1）求证：为定值；
（2）求△AOB面积的最小值.
20.(本小题10分)
定义：①若定义域为D的函数y=f（x）满足其导函数y=f′（x）＞0在定义域D内恒成立，则称f（x）是一个“严格增函数”；②若定义域为D的函数y=f（x）满足其导函数y=f′（x）是定义域为D的严格增函数，则称f（x）是一个T函数.
（1）分别判断，是否为T函数，并说明理由；
（2）已知常数a＞0，若定义在（0，+∞）上的函数y=g（x）是T函数，判断g（a+1）+g（a+2）和g（a）+g（a+3）的大小关系，并证明.
21.(本小题12分)
已知平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ的方程为，若Γ上存在三个不同点A，B，P，满足.
（1）若A，B分别为Γ的右顶点与上顶点，且λ＞0，求λ的值；
（2）当λ=1且AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m,求k与m之间的关系；
（3）求实数λ的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】．
6.【答案】x=-4
7.【答案】4π
8.【答案】0
9.【答案】1
10.【答案】1
11.【答案】-2
12.【答案】-7
13.【答案】．
14.【答案】4
15.【答案】[1，+∞）．
16.【答案】1+或
17.【答案】解：（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，
∵A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，
∴OA⊥平面BCD．
∵BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，
∴在Rt△AOC中，OC=1，，
AC=2，AO=，
∴S圆锥侧=πrl==2π．
（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，
∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，
该几何体的体积V=（S△BCD+S半圆） AO
==．
18.【答案】解：（1）f′（x）=2x-a,则f′（1）=2-a=2，解得a=0；
（2）F（x）=x f（x）=x3-ax2-ax,F′（x）=3x2-2ax-a,
由F（x）=x f（x）在x=1处有极值，故F′（1）=3-2a-a=0，解得a=1；
则F（x）=x3-x2-x,此时，F′（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），
当或x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当，F（x）单调递减，
因此x=1是极值点，故a=1符合要求，
因为关于x的方程F（x）=m有3个不同的实根，
则有，由F（1）=-1，F（-）=，
故．

19.【答案】设过点P（0，2）的直线方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2-2kx-4=0，
则x1+x2=2k，x1x2=-4，
所以，
因此，
故为定值0 4
20.【答案】是T函数，不是T函数，理由如下：
由题意可知，若f（x）是一个“严格增函数”，
等价于y=f（x）在定义域D内单调递增，且f′（x）≠0，
对于，可知其定义域为R，且，
可知是R上的严格增函数，
又因为，
可知是R上的严格增函数，
故是“T函数”；对于，可知其定义域为R，且，其中f2'（0）=0，
因为不是R上的严格增函数，
故不是“T函数” g（a+1）+g（a+2）＜g（a）+g（a+3），证明如下：
因为定义在（0，+∞）上的函数y=g（x）是T函数，
则g′（x）在（0，+∞）上严格递增，
设G（x）=g（x+1）-g（x），
则G′（x）=g′（x+1）-g′（x）＞0，
故G（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为a＜a+2，a+1＜a+3，
故G（a+1）＜G（a+3），G（a）＜G（a+2），
即g（a+1）-g（a）＜g（a+3）-g（a+2），
所以g（a+1）+g（a+2）＜g（a）+g（a+3）
21.【答案】 m2=3+4k2 （-2，2）
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