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2025-2026学年山西省忻州市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下面给出三个随机变量：
①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；
②某森林树木的高度在（0，50]（单位：m）这一范围内变化，测得某一树木的高度X；
③某人射击2次，击中目标的环数之和X.
其中离散型随机变量有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2.设随机变量X服从正态分布N（100，σ2），若P（X＜80）=0.1，则P（X＜120）=（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9
3.若随机变量ξ的分布如下表：
ξ -2 -1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P（|ξ|＜2）的值为（　　）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85
4.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以4：1获胜的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.如图，为了出黑板报，某班级为黑板A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（　　）
A B
C D
A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 84种
6.已知，且a1+a3+a5=0，则a等于（　　）
A. 8 B. 0 C. 4 D. -8
7.若函数f（x）=x2-ax+lnx在区间（1，e）上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A. [3，+∞） B. （-∞，3] C. [3，e2+1] D. [e2+1，3]
8.已知随机变量X满足两点分布，且P（X=1）=a,则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（　　）
A. 不同的坐法有720种
B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种
C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种
D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种
10.椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若，则（　　）
A. C的短轴长为 B. C的焦距为2 C. △ABF2的周长为8 D. C的离心率为
11.某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会.已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为.记顾客第n次抽奖的中奖概率为Pn，则（　　）
A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为
C. Pn的最大值为 D. 当n 2时，n越大，Pn越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种.
13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=3，BC=BB1=2，则异面直线AB与B1C所成角的余弦值为 .
14.已知随机事件A，B互相独立，且满足，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2：1.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x4的项的二项式系数（用数字作答）.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a2+a4=16，S5=25.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒.某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如下2×2列联表.
性别 健康状况
感冒 不感冒
男 8 14
女 4 24
（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依表，依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，分析20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式，其中n=a+b+c+d.
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.05 0.01
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长.该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：
年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x（x=t-2020） 1 2 3 4 5
销量y/万把 7 8 10 11 14
（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：
（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量X的分布列.
附：为回归直线方程，.
19.(本小题17分)
为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为p0，闯过第二关的概率为p.某生产商将商品定价100元.成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%.
（1）若p0=0.8，p=0.5，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r（p）=0.2+0.4p+0.2p2，记生产商销售一件该商品的期望利润为f（p）（单位：元）.（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）
（i）求f（p）关于p的函数表达式；
（ii）证明：f（p）在[0，1]内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润f（p）最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】BC
11.【答案】AC
12.【答案】64
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】n=8 56
16.【答案】an=2n-1
17.【答案】分布列为：
X 1 2 3
P
E（X）=2 没有95%的把握认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关
18.【答案】y关于x的线性回归方程为；预测该工坊油纸伞的销量最早在2029年能超过20万把 线上售出数量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P

19.【答案】
X 100 90 80 70 60
P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16
80.8 （i）-4p3+p2+4p+4.8（0≤p≤1）；（ii）6.7元
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