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2025-2026学年重庆市巴蜀教育集团高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.函数f（x）=x（lnx+a）在x=e处的切线与x轴平行，则实数a=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2.已知变量x与变量y正相关，样本数据（xi，yi）中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别是，，将成对数据按照平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（　　）
A. 大部分散点位于第一、四象限 B. 大部分散点位于第二、三象限
C. 大部分散点位于第一、三象限 D. 大部分散点位于第二、四象限
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则实数t=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
4.随机变量X服从正态分布N（50，σ2），若P（X≤40）=0.3，则P（X≤60）=（　　）
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2
5.双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，A，B两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率e=（　　）
A. B. 2 C. D.
6.若在[0，+∞）上单调递增，则实数a最大值是（　　）
A. 2 B. e-1 C. 1 D. e-2
7.学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件A表示“用13步走完15级台阶”，事件B表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
8.向量，其中x+y+z≤8，且x,y,z均为正整数，则满足条件的的个数是（　　）
A. 84 B. 56 C. 36 D. 21
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.变量x与变量y有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（　　）
x 1 2 3 4 5
y 2 4 5 6 8
A. B. 变量x与变量y负相关
C. 当x=6时，预测值 D. 当x=5时，样本点对应的残差是-1
10.若的二项展开式中只有第7项的二项系数最大，则下列说法正确的是（　　）
A. n=14 B. 二项展开式中存在常数项
C. 二项系数之和与各项系数之和不相等 D. 二项展开式的第9项的系数最大
11.随机变量，Y～B（6，p），若D（X）=D（Y），则下列说法正确的是（　　）
A. E（Y）=2 B. E（2X+1）=5
C. D（3Y+1）=12 D. |E（3Y+1）-10|=E（X+1）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列{an}的前n项和是Sn，若a2+a3+a7=18，则S7= .
13.现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是 .
14.抛物线E：y2=4x的焦点是F，不过原点的直线l与抛物线E相交于A，B两点，且，直线AF与抛物线E相交于C点，直线BF与抛物线E相交于D点，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀.
（1）请将2×2列联表补充完整；
（2）依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异.
（3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率.
学校 数学成绩 合计
优秀 不优秀
甲校 10
乙校 15
合计 100
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
数列{an}满足a1=1，a2=6，且an+2=6an+1-9an.
（1）证明{an+1-3an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）求数列{an}的前n项和Sn.
17.(本小题15分)
椭圆E：（a＞b＞0）的焦点分别为F1，F2，上顶点是P，△F1PF2是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过M（4，0）的直线l与椭圆E相交于A，B两点，|BM|=λ|AM|且|AM|＞|BM|，求实数λ的取值范围.
18.(本小题15分)
函数f（x）=ex-ax,f（x）存在两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）（其中e是自然对数的底数）.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：2＜x1+x2＜2lna.
19.(本小题17分)
现有两个不透明的A，B箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中A箱子中装有2个红球，1个白球，B箱子中装有3个红球，3个白球.先从A箱子采取不放回的方式依次取球，当A箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从A箱子取球，并将A箱子剩余的球混入B箱子后再从B箱中采取不放回的方式依次取球，当B箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从B箱子取球，记X为停止从B箱子取球时，B箱子内剩余的白球个数.
（1）停止从A箱子取球时A箱子恰好剩一个球的概率；
（2）停止从B箱子取球时B箱子不剩红球的概率；
（3）求X的分布列.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】42．
13.【答案】100．
14.【答案】．
15.【答案】列联表如下：
校 数学成绩 合计
优秀 不优秀
甲校 10 40 50
乙校 15 35 50
合计 25 75 100
不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异 0.096
16.【答案】已知an+2=6an+1-9an，
可得an+2-3an+1=3（an+1-3an），
又a1=1，a2=6，则a2-3a1=6-3×1=3≠0，
因此为常数，
故{an+1-3an} 是首项为3，公比为3的等比数列
17.【答案】解：（1）因为△F1PF2是面积为的等边三角形，
所以，a=2c,
又a2=b2+c2，
解得，
则椭圆E的标准方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为|BM|=λ|AM|且|AM|＞|BM|，
所以，
此时（4-x2，-y2）=λ（4-x1，-y1），
所以，
即，
因为A，B两点均在椭圆上，
所以，
即，
整理得，
即，
所以λx1+x2=λ+1，
可得，
所以，
解得．
则实数λ的取值范围为．

18.【答案】（e，+∞） 由x1，x2为f（x）两个不同的零点，则f（x1）=f（x2）=0，
即，，则，，
所以，化简得，
令，则x2=tx1，
因为x1＜x2，所以x2-x1＞0，所以，即t＞1，
因此，两边取对数得x1（t-1）=lnt，
所以，则，
所以，
要证2＜x1+x2，需证，
即（t+1）lnt＞2（t-1），令g（t）=（t+1）lnt-2（t-1），
则，
，所以g′（t）单调递增，
即g′（t）＞g′（1）=0，因此g（t）单调递增，
所以g（t）＞g（1）=0，即，所以2＜x1+x2；要证x1+x2＜2lna，需证x2＜2lna-x1，
由（1）知f（x）在x=lna处取极小值，且x1＜x2，
所以x2＞lna，则2lna-x1＞lna，
又f（x）在（lna，+∞）上单调递增，所以只需证明f（x2）＜f（2lna-x1），
因为f（x1）=f（x2）=0，只需证f（x1）＜f（2lna-x1），
令F（x）=f（x）-f（2lna-x）（x＜lna），
则，
所以F（x）在（-∞，lna）上单调递增，
则F（x）＜F（lna）=f（lna）-f（lna）=0，
所以F（x1）＜0，即f（x1）＜f（2lna-x1），
又f（x1）=f（x2）=0，所以f（x2）＜f（2lna-x1），
又因为x2，2lna-x1都在f（x）的单调递增区间（lna，+∞）上，
所以x2＜2lna-x1，即x1+x2＜2lna，因此原不等式得证
19.【答案】 分布列为：
X 0 1 2 3 4
P

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