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2025-2026学年上海海事大学附属北蔡高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.在掷骰子试验中，记事件A：朝上面的点数为3点，则该事件为（　　）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案都不对
2.利用数学归纳法证明不等式1++……+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程，由n=k到n=k+1时左边增加了（　　）
A. 1项 B. k项 C. 2k-1项 D. 2k项
3.有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（　　）
A. 24 B. 36 C. 64 D. 72
4.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数（a0a1a2…ak）2（k∈N*）对应的十进制数记为mk，即mk=a0×2k+a1×2k-1+…+ak-1×2+ak×20，其中a0=1，ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，k），则在a0，a1，a2，…a8中恰好有2个0的所有二进制数（a0a1…a8）2对应的十进制数的总和为（　　）
A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.4和10的等差中项是 .
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=3，则S9= ______．
7.已知数列a1=2，且an+1=3an-2，求a4= ______．
8.已知正整数n满足，则n= .
9.首项为1的无穷等比数列{an}，满足8a5+a2=0，则= .
10.从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为 .
11.用数学归纳法证明“1+++...+＜2-（n≥2，n∈N*）”时，第一步需要验证的不等式为 .
12.在数列{an}中，，则an= ______.
13.五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种.
14.一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有 个.（用数字作答）
15.设数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，已知a1+a4+a7=150，a2+a5+a8=120，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的可能值为 .
16.定义：若数列{bn}中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列{an}满足a1=1，a2=2，且对任意整数n≥3，都有an等于an-1与an-2之和除以4的余数.若从数列{an}的前40项中任选两项ai、aj（i＜j），将数列{an}中ai到aj之间（包含a1和aj）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为 .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在的展开式中.
（1）求展开式中常数项的值；
（2）求展开式中所有项的系数之和.
18.(本小题8分)
从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？
19.(本小题11分)
在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为a1，a2，a3），女同学2名（记为b1，b2），现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）.
（1）写出这个随机试验的样本空间；
（2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件A所对应的子集，并求出事件A发生的概率；
（3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率.
20.(本小题14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Tn.
（3）已知数列{cn}是公比大于1的等比数列，且c1=1，c3=25，，若数列{dn}是严格递减数列，求实数λ的取值范围.
21.(本小题11分)
若数列{an}满足：对任意n∈N*（n≥3），总存在i,j∈N*，使得an=aiaj（i≠j,i＜n,j＜n），则称{an}是融积数列.已知数列{an}是融积数列，且a1=2，a2=4.
（1）求a3的所有可能取值；
（2）若对任意n∈N*（n≥2），an＞an-1，求a4，a5的所有可能取值；
（3）在（2）的条件下，记Sn为数列{an}的前n项和，证明：对任意n∈N*，有Sn＜2an.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】7
6.【答案】27
7.【答案】28
8.【答案】5
9.【答案】
10.【答案】．
11.【答案】．
12.【答案】2n-1
13.【答案】24．
14.【答案】328
15.【答案】8或9．
16.【答案】207
17.【答案】-12 16
18.【答案】解：（1）根据题意，从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，
是组合问题，其方法数为种；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种，
②安排选出的3人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有=6种情况，
故不同选派方法数为种．
19.【答案】Ω={（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2）} ，{（b1，b2）}；
20.【答案】an=4n+2
21.【答案】8 或 证明：因为a1=2，a2=4，且对任意n∈N*（n≥3），总存在i，j∈N*，使得an=aiaj（i≠j，i＜n，j＜n），所以数列{an}的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式，
又因为对任意n∈N*（n≥2），an＞an-1，所以an≥2an-1，
所以，
所以a1≤，a2≤，a3≤，…，an-1≤，
所以Sn=a1+a2+a3+…+ak+…+an-1+an≤+++…++…++an
=
=
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