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2025-2026学年北京市通州区潞河中学于家务校区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（　　）
A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种
2.已知函数f（x）=x2+1，则=（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3.计算：=（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4.3名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，排球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（　　）
A. 34 B. 43 C. 24 D. 12
5.随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.3 m 0.1 2m
则P（X≤2）=（　　）
A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
6.下列求导结果正确的是（　　）
A. （sin3）′=cos3 B. （cosx）′=sinx
C. D.
7.若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8.已知二项式（x+2）n展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（　　）
A. 4 B. 16 C. 1 D. 81
9.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（　　）
A. B. C. D.
10.已知函数f（x）=ex-alnx在区间（2，3）上单调递增，则a的最大值为（　　）
A. 2e2 B. 3e3 C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.一个物体的运动方程是s（t）=3+t2，则物体在t=2时的瞬时速度为 .
12.在（1-x）6的二项展开式中，含x2项的系数是 .
13.已知f（x）=ln（2x），则f′（x）= .
14.在（2-x）（x+1）4的展开式中，x2的系数为 .（用数字作答）
15.已知函数f（x）=lnx-ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
（1）若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法？
（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？
17.(本小题14分)
已知，x∈R.
（1）求a0的值；
（2）求a1+a3+a5的值.
18.(本小题14分)
已知函数f（x）=x3-3x2+2.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的极值；
（3）求f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值.
19.(本小题14分)
已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球.
（1）在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率；
（2）设X表示摸出红球的个数，求X的分布列及数学期望E（X）.
20.(本小题14分)
已知函数f（x）=ex（x2-x+1）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间.
21.(本小题15分)
已知函数f（x）=alnx+x2-（2a+1）x,其中a＞0.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，判断函数f（x）零点的个数.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】15．
13.【答案】
14.【答案】8
15.【答案】（0，1）
16.【答案】96 360
17.【答案】a0=1；
-364．
18.【答案】f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），（-∞，0） f（x）的极大值是2，极小值是-2 最大值为2，最小值为-2
19.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2
P

20.【答案】y=1 单调递增区间为（-∞，-1）和（0，+∞），单调递减区间为（-1，0）
21.【答案】解：（1），
令f′（x）=0得，
当时，f′（x）≥0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当时，0＜x＜a或时，f′（x）＞0，
时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a），上单调递增，在上单调递减，
当时，或x＞a时，f′（x）＞0，时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在，（a,+∞）上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
当时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a），，单调递减区间为；
当时，函数f（x）的单调递增区间为，（a,+∞），单调递减区间为．
（2）当时，函数f（x）仅有一个零点，理由如下：
由（1）得当时，函数f（x）在（0，a），单调递增，在单调递减；
则函数f（x）的极大值为f（a）=alna+a2-（2a+1）a=a（lna-a-1），
且极小值为，令g（x）=lnx-x-1，，
则，，
所以g（x）在上单调递增，
所以，
所以当时，f（a）=a（lna-a-1）＜0，
f（e2）=alne2+e4-（2a+1）e2=（e2-1）（e2-2a），
因为，所以2a∈（0，1），e2-1＞0，e2-2a＞0，可得f（e2）＞0，
如下图，作出函数f（x）的大致图象，
由图象可得当时，函数f（x）仅有一个零点．
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