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2025-2026学年江苏省江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，，若，则=（　　）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足z（3+i）=3+i2026，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
3.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
4.△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且c2-b2=ab，C=，则的值为（　　）
A. B. 1
C. 2 D. 3
5.已知向量，，若，则|=（　　）
A. 2 B. C. 3 D.
6.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（　　）
A. B. C. D.
7.已知某圆台轴截面的周长为，母线长为2，圆台的高为，该圆台的体积为（　　）
A. B. C. D.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则cosB的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若z1，z2，z3，为复数，z1≠0，下列命题正确的是（　　）
A. 若，则|z2|=|z3| B. 若，则
C. 若|z2|＞|z3|，则z2＞z3 D. 若z1z2=0，则z2=0
10.如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（　　）
A. 圆锥的轴截面为直角三角形
B. 圆锥的表面积等于球的表面积的一半
C. 圆锥的体积与球的体积之比为1：4
D. 若半径为r,则圆锥侧面积为2πr2
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足，且，设△ABC外接圆半径为R，则下列结论正确的是（　　）
A. △ABC的面积为 B. 当时，
C. 当a=3时， D. b的取值可能是2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为30°（如图），则坡底应延长 m.
13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=4，AA1=8，则该直三棱柱的外接球的表面积为 .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，则tanB的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i,其中i为虚数单位，m∈R.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
设λ∈R，已知，是平面内两个不共线的向量，=+，=3+，=-2+λ，且A，E.C三点共线.
（1）求λ的值；
（2）若=（1，1），=（0，1）.
①求向量与的夹角的余弦值；
②已知点D的坐标为（3，4），若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b（1+cosC）=ccosB-a.
（1）求角C；
（2）若，且，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图，已知ABCD-A′B′C′D′是棱长为3的正方体，点E在AA′上，点F在CC′上，且AE=FC′=1.
（1）求证：E、B、F、D′四点共面；
（2）延长D′E交DA延长线于点M，延长D′F交DC延长线于点N，求证：B∈MN；
（3）设平面EBFD′将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比.
19.(本小题17分)
如图，△ABC中，AB=2，AC=1，点D在线段BC上，△ABE为等边三角形.
（1）若，∠CAB=120°，求线段AD的长度；
（2）若，求线段DE的最大值；
（3）若AD平分∠BAC，求△ACD与△ABD内切圆半径之比的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】80π
14.【答案】
15.【答案】解：（1）若z是纯虚数，
则，解得m=-；
（2）z在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故m的取值范围为（-，1）．
16.【答案】解：（1）由题意得==，
因为A、E、C三点共线，所以，可得，解得λ=-1．
（2）①因为=（1，1），=（0，1），=+，=3+，=-2-，
所以=（1，2），===（1，1），可得=1×1+2×1=3，
设向量与的夹角为θ，则cosθ===；
②由①得=（1，1），结合四边形ABCD为平行四边形，可得==（1，1），
设A（m,n），结合D（3，4），可得=（3-m,4-n），
所以，解得，即点A的坐标为（2，3）．
17.【答案】解：（1）因为b（1+cosC）=ccosB-a,A+B+C=π，
所以由正弦定理得sinB（1+cosC）
=sinCcosB-sinA
=sinCcosB-sin（B+C）
=sinCcosB-（sinBcosC+sinCcosB）
=-sinBcosC，
又sinB＞0，
所以，
又0＜C＜π，
所以；
（2）由，则，
故，，
所以，
所以a+b=ab,
又，整理得a2+b2+ab-12=0，
则（a+b）2-ab-12=（ab）2-ab-12=（ab-4）（ab+3）=0，
解得ab=4，
所以△ABC的面积为．
18.【答案】证明：在BB′上取一点G，使得BG=AE=1，连接EG，C′G，
则易知EG∥C′D′且EG=C′D′，
所以四边形EGC′D′是平行四边形，
所以ED′∥GC′，
又FC′=BG且FC′∥BG，
所以四边形BGC′F是平行四边形，
所以GC′∥BF，又ED′∥GC′，
所以ED′∥BF，
所以E、B、F、D′四点共面 证明：在正方体中，延长D′E，DA交于点M，
延长DC，D′F交于点N，连接MN，则MN过点B，证明如下：
因为△AME∽△DMD′，则，解得，
同理△CNF∽△DND′，则，解得CN=6，
以D点为坐标原点，DA，DC为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，N（0，9），B（3，3），
设MN所在直线为y=kx+b，
则，解得，
所以MN所在直线为y=-2x+9，
将B（3，3）代入y=-2x+9可得，3=-2×3+9，
所以B（3，3）在MN所在的直线上，故B∈MN 1：1
19.【答案】；
；
．
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