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2025-2026学年江苏省南京市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.sin49°sin19°+cos19°sin41°=（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=（　　）
A. 1：1： B. 1：1：2 C. 1：1： D. 1：1：
4.已知，则=（　　）
A. 2 B. C. -2 D.
5.复数z=，下列说法正确的是（　　）
A. z的模为 B. z的虚部为-i
C. z的共轭复数为--i D. z的共轭复数表示的点在第四象限
6.已知△ABC的边长均为1，点D为边AB的中点，点E为边BC上的动点，则的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知z1=a+i,z2=1+i,a∈R，若是纯虚数，则=（　　）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
8.已知锐角△ABC，角A，B，C的对边分别a,b,c,且acosC+ccosA=2bcosB，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是（　　）
A. l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3 B. l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C. l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面 D. l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
10.关于非零向量，，下列命题中，正确的是（　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
11.下列计算正确的选项有（　　）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则= ．
13.如图所示，O是线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，…，A2025中，相邻两点间的距离相等，，则 .（用表示）
14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且BD=1，则a+c的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD，BC∥平面PAD，2BC=AD，E是PD的中点.
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB.
16.(本小题15分)
已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，b=2，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
已知，，且α，β∈（0，π），求：
（1）sin2α的值；
（2）2α-β的值.
18.(本小题17分)
如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O.
（1）以，为基底表示；
（2）若，求的值.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,点P为△ABC的费马点，且满足（2b-c）cosA-acosC=0，a2-（b-c）2=4.
（1）求A；
（2）求的值；
（3）求|PB| |PC|的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】4
15.【答案】证明：（1）因为BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．
（2）如图，取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD的中点，所以，
因为，所以BC∥EF，BC=EF，
则四边形BCEF是平行四边形，EC∥FB，
因为EC 平面PAB，FB 平面PAB，
所以EC∥平面PAB．
16.【答案】解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
因为sinB≠0，所以，即：，
又因为0＜A＜π，所以；
（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，
代入可得关于c的方程：c2+2c-3=0，解得：c=1或c=-3（舍），
由三角形面积公式．
17.【答案】解：（1）由，
解得tanα=2，
所以；
（2），
由，β∈（0，π），得，
所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ
=，
因为α∈（0，π），tanα=2＞1，
所以，所以，
又β∈（0，π），cosβ＜0，
所以，所以，
所以，
所以．
18.【答案】；
1．
19.【答案】A=60° -2
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