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2025-2026学年青海省西宁二中教育集团高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知x,y∈R，i是虚数单位，若4x-i=（3+i）y,则|x+yi|=（　　）
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是（　　）
A. 若，则与的方向相同或相反
B. 若，，则
C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点
D. 若，则
3.已知单位向量，满足|+|=，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
4.直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（　　）
A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分
5.已知向量满足，则在上的投影向量为（　　）
A. （-2，1） B. （-2，3） C. D. （-1，3）
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，，BC=4，AA1=8，则该直三棱柱的外接球的表面积为（　　）
A. 40π B. 60π C. 80π D. 100π
7.已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（　　）
A. 圆台的轴截面是底角为60°的等腰梯形
B. 圆台的侧面积是
C. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为30π
D. 圆台的体积为
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a,b,c,下列结论中错误的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则a＞b
B. sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若B=30°，，c=2，则符合条件的三角形有两个
D. 若△ABC的面积为，则
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法错误的是（　　）
A. 空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种
B. 若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面
C. 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线
D. 若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面
10.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　）
A. z的虚部为-i
B. z在复平面内对应的点在第二象限
C. z的共轭复数为-1+i
D. 若|z0-z|=1，则|z0|的最大值是
11.已知P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（　　）
A. 为单位向量 B. 为单位向量
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点A（-3，2），B（1，5），C（m,4），且A，B，C三点共线，则m= .
13.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′=1，B′C′=3，则原四边形ABCD的周长为 .
14.已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东15°方向，从码头B测得渔船C位于北偏东45°方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东45°方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为 海里.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，BC=2BE，CF=3FD.
（1）若，求3x+2y的值；
（2）若，∠BAD=60°，求.
17.(本小题15分)
如图，在圆锥PO中，过高PO上一点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与O重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱.
（1）若底面直径和高均为6cm的圆锥PO有一个底面半径为R，高为H的内接圆柱.
①求R与H的关系式；
②求内接圆柱侧面积的最大值.
（2）若圆锥PO的高为，底面直径为6cm,一只蚂蚁从底面圆周上的A点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离.
18.(本小题17分)
设平面内两个非零向量的夹角为θ，定义一种运算“ ”：.
试求解下列问题：
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（-1，2），C（0，4），求的值；
（3）已知向量，求的最小值.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求B.
（2）已知D为AC边上的一点，且.
（i）求；
（ii）若是线段BD上（不与B重合）的一个动点，求BE+2AE的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】CD
11.【答案】BCD
12.【答案】．
13.【答案】12
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】①H+2R=6；②9πcm2
18.【答案】解：（1）由已知，得，
所以，即，
又0＜θ＜π，所以，
所以；
（2）设，则，，
所以，
从而=，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）可得：，
因为
= ，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值的最小值是9．
19.【答案】 （i）；（ii）
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