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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=m（m-2）+（m2-4）i为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 0或1
2.在△OAB中，，记，，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4，且∠APB=30°，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　）
A. 6 B. C. D.
4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）
A. 若m // α，n // α，则m // n
B. 若m // α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α // β，m⊥α，n // β，则m⊥n
D. 若m // n，n α，则m // α
5.已知向量，满足，，若（λ，μ∈R），且λ+μ=1，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
6.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（　　）
A. B. C. D.
7.如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB，高为20m,在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂塔尖C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得教堂塔尖C的仰角为15°，则该同学计算索菲亚教堂的高度CD为（　　）m
A. B. 20 C. D. 30
8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a,b,c且，若，则m=（　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=a-i,z2=2+i,其中a∈R，则下列说法正确的是（　　）
A. 若z1+2z2=0，则a=-4 B. 若，则a=±2
C. 若z1z2为实数，则a=2 D. 若为纯虚数，则
10.对于△ABC，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形
C. 若，则△ABC一定为直角三角形
D. 若tanA+tanB+tanC＜0，则△ABC一定为钝角三角形
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E为棱AB的中点，P为正方体表面上一动点，下列说法中正确的是（　　）
A. 点P在线段BC1上（含端点）运动时，直线DP与AD1成角的取值范围为
B. 点P在平面CDD1C1上（含边界）运动时，若，则点P的轨迹长度为
C. 当点P在A1D1中点时，过PE及点C的截面多边形的周长为
D. 若C1E⊥BP，则P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，则= .
13.已知复数z=i1+i2+…+i2026，其中i为虚数单位，则复数z的模为 .
14.圆锥SO的轴截面是边长为6的等边三角形，在该圆锥内放置一个棱长为m的正四面体，并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则实数m的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，是平面内两个不共线的向量，，，.
（1）若A，C，D三点共线，求实数m的值；
（2）若，，∠ABD是钝角，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足_____.
（1）求C；
（2）点D在边AB上，且AD=3DB，AC⊥DC，求cosB.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，，点E在线段PD上，且PE=1.
（1）设平面PBC∩平面PAD=l,证明：BC∥l；
（2）证明：AE⊥PC；
（3）线段CA上是否存在点M，使得EM∥平面PBC？若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知
（1）求角B；
（2）若a+c=2，D是AC上的点，BD平分∠ABC，求BD长；
（3）求边AC上的中线BE的取值范围.
19.(本小题17分)
如图1是一个由菱形ABCD和两个直角三角形△ADQ和△CDP所组成的平面图形，其中，PD⊥CD，QD⊥AD，AD=1，，现将△ADQ和△CDP分别沿AD，CD折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结BS，得到如图2所示的四棱锥S-ABCD.
（1）求证：AC⊥平面SBD；
（2）若E为棱SA上一点，记；
（i）若，求直线CE与平面SBD所成角的正切值；
（ii）是否存在点E使得直线CE与直线AD所成角为60°，若存在请求出λ的值，若不存在请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】36
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 { m|且m≠11}
16.【答案】选①或②，都可求得
17.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，
∴BC∥l ∵ PA⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
PA，AD 平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
AE 平面PAD，∴CD⊥AE．
在△PAD中，PA=2，PE=1，，
∴PA2=PE PD，
∴AE⊥PD．又CD，PD 平面PCD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD．
又PC 平面PCD，
∴AE⊥PC 点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3
18.【答案】
19.【答案】连结AC，交BD于点O，又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
由题可得SD⊥AD，SD⊥CD，且AD∩CD=D，AD 平面ABCD，CD 平面ABCD，SD⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，
所以SD⊥AC，
因为SD∩BD=D，SD 平面SBD，BD 平面SBD，
所以AC⊥平面SBD；
（i）；（i）存在，
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