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2025-2026学年山东省淄博市张店区重庆路中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A. B. C. D.
2.成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝.下列成语描述的事件是随机事件的是（　　）
A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 不期而遇 D. 叶落归根
3.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（　　）
A. B. C. D.
4.已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（）
A. a-b＜0 B. C. ac2＞bc2 D. 2a-1＜2b-1
5.将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，∠ABC=∠MAN=90°，∠BAC=45°，∠N=30°，若MN∥BA，则∠CAM的度数为（　　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
6.《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领.问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
7.将纸条按如图所示的方式折叠，若AC′∥BD′，∠EFB=35°，则∠BFD=（　　）
A. 105°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
8.已知关于x,y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则-k2+1的值为（　　）
A. -8或0 B. -8或-4 C. -4 D. 0
9.如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG=118°，则∠FPG的度数为（　　）
A. 54° B. 55° C. 56° D. 57°
10.如图，已知直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-x+m都经过点C（-，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为轴上任意一点，连接PA、PC、AD，有以下说法：
①方程组的解为；
②S△ABD=3；
③当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）.
其中正确说法的个数是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，函数y=kx+1和y=-2x+6的图象交于点A，则方程组的解是 .
12.若关于x的不等式（m-1）x＞m-1的解集为x＜1，则m的取值范围是 .
13.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为点G，若∠EFG=55°，则∠1的度数为 .
14.已知关于x、y的二元一次方程组的解是，若a、b是关于m、n的二元一次方程组的解，则a2-b2= .
15.如图，已知直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为AB，CD之间一点，且点E在线段MN的右侧，∠MEN=128°.若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E1，∠BME1与∠DNE1的平分线相交于点E2，∠BME2与∠DNE2的平分线相交于点E3，……以此类推，若∠MEnN=2°，则n的值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程组：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列不等式.
（1）解不等式：5x+7＞3（x+1），并把解集表示在数轴上；
（2）求不等式的负整数解.
18.(本小题9分)
已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1+∠2=180°.
（1）求证：AE∥DG；
（2）若EF平分∠AEB，∠C=35°，求∠BDG和∠CGD的度数.
19.(本小题10分)
一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值.
20.(本小题10分)
已知，∠ABC和∠DEF中，AB∥DE，BC∥EF.试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ，并说明理由；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题.
21.(本小题10分)
“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元.
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
22.(本小题10分)
定义：我们把一次函数y=kx+b（k≠0）与正比例函数y=-x的图象的交点称为一次函数y=kx+b（k≠0）的“近点”.例如求y=-2x-3的“近点”，联立，得方程组，解得，则y=-2x-3的“近点”为（-3，3）.
（1）由定义可知，一次函数y=2x-3的“近点”为______；
（2）一次函数y=px+q的“近点”为（2，q-1），求p,q的值；
（3）已知直线y=kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx+3上没有“近点”，若P点为直线y=-kx+3上一点，且点P在第一象限，若求点P的坐标.
23.(本小题10分)
问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=110°，求∠APC度数.
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
（2）问题迁移：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，∠APC与α，β之间存在怎样的数量关系？请说明理由.
（3）问题解决：
图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且AF∥DE.若∠B=∠BCD+5°，∠D=95°，求∠B-∠CGF的度数.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】m＜1
13.【答案】110°
14.【答案】2
15.【答案】6
16.【答案】解：（1），
把②代入①，得2（2-y）+4y=9，
解得：，
把代入②，得，
所以原方程组的解为：；
（2），
由①，得2x-3y=-4
x=③，
把③代入②，得y+3×（）=5，
解得：y=2，
把y=2代入③，得x=1，
所以原方程组的解为：．
17.【答案】x＞-2， -2，-1
18.【答案】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠1=∠CAE，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠CAE=180°，
∴AE∥DG；
（2）∠BDG=70°，∠CGD=35°.

19.【答案】；
n的值为5
20.【答案】解：（1）∠B=∠E，理由如下：如下图．
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1．
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；
故答案为：∠B=∠E．
（2）∠B+∠E=180°．理由如下：如下图．
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°．
又BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°．
故答案为：∠B+∠E=180°．
（3）由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
21.【答案】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元；
（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（50-m）个，
根据题意得：30（50-m）+65m≤2550，
解得：m≤30，
∴m的最大值为30．
答：最多可购进乙型头盔30个；
（3）根据题意得：（98-65）m+（58-30）（50-m）≥1540，
解得：m≥28，
又∵m≤30，且m为正整数，
∴m可取28，29，30，
∴能实现利润不少于1540元的目标，该商场共有3种采购方案：
方案1：购进甲型头盔22个，乙型头盔28个；
方案2：购进甲型头盔21个，乙型头盔29个；
方案3：购进甲型头盔20个，乙型头盔30个．
22.【答案】（1，-1） ，q=-1 P（1，4）
23.【答案】130 ∠ APC=α+β，
如图，过点P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，∠PAB=α，∠PCD=β，
∴AB∥PE∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠APE=α，∠CPE=β（两直线平行，内错角相等），
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β 100°
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