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2025-2026学年北京大学附属中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（　　）
A. B. C. 3.1415926 D.
2.在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，7）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=∠2=40°，则∠BOE的度数是（　　）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
4.由2x-y=3可以得到用x表示y的式子是（　　）
A. y=-2x+3 B. y=2x-3 C. D.
5.在平面直角坐标系中点P（3，-4）到y轴的距离为（　　）
A. 3 B. -3 C. 4 D. -4
6.如图，下列推理中正确的是（　　）
A. 若∠1=∠C，则AD∥BC
B. 若∠1=∠2，则AB∥DC
C. 若∠A=∠3，则AD∥BC
D. 若∠3=∠4，则AB∥DC
7.一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（　　）
A. 4cm～5cm之间 B. 5cm～6cm之间 C. 6cm～7cm之间 D. 7cm～8cm之间
8.2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位.搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点A；指令2：右转90°，向东移动3米到点B；指令3：右转90°，向南移动2米到点C；指令4：右转90°，向西移动5米到点D.判断下列结论中不正确的是（　　）
A. 直线OA与直线CD垂直 B. 直线AB与直线CD平行
C. 点D位于点O的北偏东45°方向 D. 点O与点C之间的距离大于3米
9.如图，长方形ABCD的长BC=5，宽AB=4，则图中长方形ABCD内部的五个小长方形的周长之和为（　　）
A. 9
B. 13
C. 14
D. 18
10.已知关于x,y的二元一次方程ax-by=c的解如表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 …
关于x,y的二元一次方程mx+ny=k的解如表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 5 1 …
则关于x,y的二元一次方程的解是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.比较大小：______3（填：“＞”或“＜”或“=”）
12.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠DOC=35°，则∠AOD等于 .
13.一个正数的平方根是4-3m和m-6，则这个正数的值是 .
14.如果是关于x,y的二元一次方程2x-y=1的一组解，那么代数式7-2m+n= .
15.如图，已知平面镜A平行于平面镜B，光线由水平方向射来，传播路线为a→b→c,a⊥b,b⊥c,若∠1=45°，则∠2= °.
16.小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题.请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的： .
17.已知点A（m-1，2），点B（3，2m），且AB∥y轴，则m的值为 .
18.在平面直角坐标系中，对点P（x,y）进行“幂变换”后得到新的坐标，第一次“幂变换”记为P1（x,y），“幂变换”法则如下：
P1（x,y）=（x+y,x-y），且规定Pn（x,y）=P1[Pn-1（x,y）]（n为大于1的整数）.
例如：P1（1，2）=（3，-1），
P2（1，2）=P1[P1（1，2）]=P1（3，-1）=（2，4），
P3（1，2）=P1[P2（1，2）]=P1（2，4）=（6，-2），
则P2（1，-1）= ，P2026（1，-1）= .
三、计算题：本大题共4小题，共25分。
19.计算：
（1）；
（2）.
20.解方程组：
（1）；
（2）.
21.列二元一次方程组解答问题：
2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕.本届合唱节以“歌漾山河 强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台.
为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装.为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装.已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元.求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？
22.类比探究：
小红同学在学方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识：
若x2=a（a≥0），则x叫a的二次方根；若x3=a,则x叫a的三次方根；
若x4=a（a≥0），则x叫a的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为.
请认真阅读上面的材料，回答下列问题：
（1）①类似地，若______，则x叫a的五次方根，记作______；
②32的五次方根为______；
（2）若，则=______；
（3）求x的值：2（x-2）4-162=0.
四、解答题：本题共5小题，共29分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题5分)
按要求完成下列的证明：
已知：如图，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠ADE+∠DCB=90°.
求证：DE∥BC.
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠ADE+______=90°（依据：______），
∵∠ADE+∠DCB=90°（已知），
∴______=∠DCB（依据：______），
∴DE∥BC（依据：______）.
24.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，2），B（3，4），三角形ABO经平移得到三角形A1B1O1且点A、B、O的对应点分别为A1、B1、O1.已知P（a,b）是线段AB上一点，A1（-2，5）.
（1）画出三角形A1B1O1；
（2）写出B，P的对应点B1，P1的坐标：
B1（______），P1（______）；
（3）若点M（3，m），且三角形OMB的面积为9，直接写出满足条件的点M的坐标______.
25.(本小题5分)
如图，线段AE与BD相交于点F，点D在线段CE上，AB∥CE，∠B=∠C.
求证：∠1=∠2.
26.(本小题7分)
已知AB∥CD，点E、F分别是AB和CD上两个定点，∠AEF的角平分线EG交CD于G，点P是直线EG上一个动点，且不与点E、G重合.
（1）如图1，当FP⊥EG时，请补全图1，已知∠AEG=34°，则∠PFG=______°；
（2）如图2，EH平分∠PEF交CD于H，连接PF，设∠PEH=α、∠PFH=β、∠EPF=γ.
①当点P在线段EG上，请证明：α、β与γ之间满足2α+β=γ（不能直接用三角形相关知识）；
②当点P在直线EG上运动时，α、β与γ之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出α、β与γ之间所有其他可能的数量关系.
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于P（x,y）给出如下定义：
①记是P的“半影点”，例如O（0，0）的“半影点”是它自己.
②对平面内两点A1（x1，y1），B1（x2，y2），记dx=|x1-x2|，dy=|y1-y2|，如果|dx-dy|=1称A和B为“单位邻点”，例如O（0，0）和P（1，0）是“单位邻点”.
（1）已知P（8，-2），点Q是点P的“半影点”.
①点Q的坐标是______；
②下列三个点中，是Q的“单位邻点”的有______（填字母）；
A（1，0）
B（3，-1）
C（-2，2）
③若点D在y轴上，且D的半影点与P是“单位邻点”，直接写出D的坐标；
（2）如图，四边形ABCD是以原点为中心的边长为2，且四边分别与坐标轴平行的正方形.
①请直接在图中画出点A的所有单位邻点组成的图形；
②对于一个四边分别与坐标轴平行的正方形EFGH，如果正方形EFGH边上的任何一点，其“半影点”都可以在四边形ABCD的边上找到其单位邻点，直接写出正方形EFGH的面积的最大值为______.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】＜
12.【答案】110°
13.【答案】49
14.【答案】6．
15.【答案】45．
16.【答案】对顶角相等，交换其题设与结论后得到的新命题是：相等的角是对顶角，是假命题．
17.【答案】4
18.【答案】（2，-2）
（21013，-21013）

19.【答案】解：（1）
=
=1；
（2）
=2-
=．

20.【答案】解：（1），
把①代入②，得x-2x=10，
解得：x=-10，
把x=-10代入①，得y=2×（-10）=-20，
∴方程组的解为；
（2），
①×2，得6x+4y=8③，
②+③，得11x=11，
解得：x=1，
把x=1代入①，得3×1+2y=4，
解得：，
∴方程组的解为．

21.【答案】每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元．
22.【答案】x5=a;x=;2 x=5或x=-1
23.【答案】∠CDE；垂直的定义；∠CDE；等量代换；内错角相等，两直线平行．
24.【答案】 2，7;a-1，b+3 （3，-2）或（3，10）
25.【答案】证明：∵AB∥CE，
∴∠B=∠D，
∵∠B=∠C，
∴∠D=∠C，
∴AC∥BD，
∴∠1=∠2．
26.【答案】56 ①证明成立，2α+β=γ；②不保持不变，其他关系为γ=2α-β或γ=β-2α
27.【答案】①（4，-2）；②A；③D（0，5）或（0，-9）或（0，7）或（0，-11） ①；②36
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