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2025—2026学年八年级下册期末押题卷
数 学
（测试范围：八年级下册北师大版2024，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A．B． C． D．
2．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．以下命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（ ）
A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补
C．两边分别相等的两个直角三角形全等 D．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
5．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中，因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A． B．1 C．或2 D．或
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解________．
12．不等式组的解集为______．
13．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，如果，，那么________．
14．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________．
15．如图，在中，，是上的一点，连接，点在上，连接、，，若，，则的长是______．
16．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)解不等式组：
18．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值．
19．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
20．定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题．
(1)计算：_____．
(2)对任意正实数，求出的结果．
(3)计算：．
21．已知直线解析式为，过点，．
(1)求直线的解析式；
(2)过点作垂直于轴的直线，与直线交于点．
①当时，求的取值范围；
②若，点是直线上的一点，直线将的面积分成的两部分，求点的坐标．
22．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求证：．
23．【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形．
(1)观察图形，代数式可因式分解为_________．
(2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作．
①用含，的代数式表示，；
②若，求的值（用含的代数式表示）．
24．综合与实践
【教材再现】
三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且．
【回顾证法】
(1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．
【实践应用】
(2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米．
【深入探究】
(3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B C D B D A A
1．D
本题需要判断图形是否同时满足轴对称和中心对称的定义，轴对称图形是指图形沿某直线折叠后两侧完全重合，中心对称图形是指图形绕某点旋转180度后与原图形完全重合．
解：选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．C
利用不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案.
解：∵ ，，
∴，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴移项得：，故B选项不符合题意；
∵ ，
∴不等式两边同时乘以，再加得：，故C选项符合题意；
∵ ，
∴不等式两边同时除以得：，故D选项不符合题意；
3．D
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：A、∵，，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D、∵，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意．
4．B
解：对于选项A，原命题“四边形是多边形”是真命题，逆命题为“多边形是四边形”，是假命题，不符合要求；
对于选项B，原命题“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，也是真命题，符合要求；
对于选项C，原命题“两边分别相等的两个直角三角形全等”是假命题，若一个直角三角形的两条直角边，与另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，两个三角形不全等，不符合要求；
对于选项D，原命题“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”是假命题，只有两直线平行时同位角才相等，不符合要求．
5．C
根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求.
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴ ．
6．D
解关于的不等式求得，根据不等式的正整数解的情况列出关于的不等式组求解即可．
解：，
移项，得，
系数化为1，得，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴，
解得．
7．B
因式分解要求结果为几个整式的乘积，且需分解到不能再分解为止，再结合提公因式法、平方差公式逐项判断即可．
解：A．，原式未分解彻底，故选项 A错误；
B．，故选项B正确；
C．因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，原式结果为，是和的形式，不符合因式分解定义，故选项C错误；
D．，原式未分解彻底，故选项D错误．
8．D
由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案．
解：，
，则，
若，即时，整式方程无解，则分式方程无解；
若，即时，整式方程解为，
当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解；
综上所述，的值是或．
9．A
先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可．
解：把代入得，
解得，
结合图象可得：当时，．
10．A
先根据等腰三角形性质求出的度数，设，在中用表示出和，进而表示出和，再通过作高利用勾股定理表示出，最后根据列方程求解．
解：在中，，，
．
，
．
设，在中，，
，．
是的中点，
，
．
过点作于点，
在中，，
，
．
，，
．
，
，
解得：，
即．
11．
利用提公因式分解因式即可．
解：，
．
12．
先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
13．10
由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，进一步即可得到答案．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴是中点，
∵点是的中点，
∴是中位线，
∴，
∴，
∴.
14．且
先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围．
解：，
两边同乘得，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
解得：且．
15．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、的直角三角形的性质．
先证明，得到，再由等腰三角形三线合一的性质得到，最后再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
解：∵在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
16．8105
观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解．
解：∵在中，，，，，
∴将绕点顺时针旋转到位置①时，，
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，，
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，，
……，
以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12，
∵，
∴ ．
17．(1)
(2)
（1）按照先算乘方、开方、负整数指数幂、绝对值，再算乘除，最后算加减的运算顺序计算即可．
（2）分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果．
（1）解：原式
（2）解：解不等式组
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
18．
，
按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可．
解：原式，
，，，
，1，2，
将代入得，原式．
19．(1)见详解
(2)
（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
20．(1)1
(2)2
(3)4051
（1）直接代入计算即可；
（2）先求出，再根据同分母的分式加法计算法则计算；
（3）根据（2）得到的结论求解即可．
（1）解：
（2）解：由题意可得，
．
（3）解：
．
21．(1)；
(2)①；②点的坐标为或或或．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①由题意得到，推出，利用，列出不等式，求解即可；
②分两种情况讨论，求解即可．
（1）解：∵直线过点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
∵点是直线上的一点，
∴，
∴，
当时，即，
解得或，
∴点的坐标为或；
当时，即，
解得或，
∴点的坐标为或；
∴点的坐标为或或或．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论．
（2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论．
（1）证明：，
．
，
，
，，
．
，
，
，
是等腰三角形．
（2）证明：如图，过点作于点．
，
．
，，，
，
．
，，
，
，
．
23．(1)
(2)①；②
（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解；
（2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再进一步即可求解．
（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形，
所以长方形纸片的面积为，
∵长方形纸片的长为，宽为，
∴长方形纸片的面积为，
∴，
即代数式可因式分解为；
（2）解：①根据题意得：；
②∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴．
24．(1)见解析
(2)24
(3)与互相平分，证明见解析
（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论；
选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，；
（2）直接根据中位线性质进行求解即可；
（3）连接，，证明四边形是平行四边形即可．
（1）解：选择方法一：
如图，延长到点F，使，连接，，，
∵E是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，且；
选择方法二：
如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
（2）解：∵D、E分别为，的中点，
∴，
∵的长度为12米，
∴米；
（3）解：与互相平分；理由如下：
如图，连接，，
∵是的中位线，是边上的中线，
∴D、E、F分别是、、的中点，
∴，且，
又，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．(共5张PPT)
北师大版2025—2026学年八年级数学下学期期末押题卷
卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.85 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.85 不等式的性质
3 0.65 添一个条件成为平行四边形
4 0.77 判断命题真假；多边形的概念与分类；写出命题的逆命题；灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
5 0.65 两直线平行内错角相等；角平分线的性质定理；等腰三角形的性质和判定
6 0.65 求一元一次不等式的解集；求一元一次不等式的整数解；由不等式组解集的情况求参数
7 0.65 提公因式法分解因式；判断是否是因式分解；平方差公式分解因式
8 0.7 分式方程无解问题
9 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集
10 0.53 含30度角的直角三角形；利用二次根式的性质化简；三线合一；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题
11 0.95 提公因式法分解因式
12 0.85 求不等式组的解集
13 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；利用平行四边形的性质求解
14 0.65 解分式方程（化为一元一次）；根据分式方程解的情况求值；求一元一次不等式的解集
15 0.65 含30度角的直角三角形；全等的性质和SSS综合（SSS）；三线合一
16 0.66 旋转中的规律性问题
二、知识点分布
三、解答题
17 0.65 负整数指数幂；求一个数的算术平方根；求不等式组的解集
18 0.65 分式化简求值
19 0.62 利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
20 0.66 新定义下的实数运算；同分母分式加减法
21 0.6 求直线围成的图形面积；求一次函数解析式；求不等式组的解集
22 0.52 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；等边对等角
23 0.52 十字相乘法；完全平方公式分解因式；多项式乘多项式与图形面积
24 0.55 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；三角形中位线的实际应用；全等的性质和SAS综合（SAS）；利用平行四边形性质和判定证明

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