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湖南省常德市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（ ）
A．42 B．45 C．49 D．50
3．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
4．中，点，为边上动点，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向
6．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数将函数图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍得到，若在区间上恰有个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（ ）
A．极差是 B．中位数是
C．60%分位数是 D．平均数是
10．已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（ ）
A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直
C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则b的最大值为
C．若的面积为，则a的最小值为2
D．若，，，，则动点D的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______.
13．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且满足，，则的值为____________________．
14．若为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为，则的取值范围是__________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设复数，为实数.
(1)当为何值时，是纯虚数；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
16．某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数；
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率．
17．在中，内角的对边分别为为钝角，.
(1)求；
(2)从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接．
(1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)已知直线与直线所成角的余弦值为．
①求四棱锥在顶点处的离散曲率；
②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值．
19．已知.
（1）若，且，求的值；
（2）若函数，求的最小值；
（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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湖南省常德市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D C A B ABD BD
题号 11
答案 BCD
12．－2＋i
13．
14．
15．(1)5
(2)
16．(1)，76.5分，88
(2)．
17．(1)
(2)若选择条件①，不符合题意，若选择条件②、条件③，面积均为
18．(1)2
(2)① ；②
19．（1）；（2）0；（3）存在，
答案第1页，共2页
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