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二元一次方程组 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·贵州期中）数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·定西模拟）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
3．（2024七下·莱芜期中）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·黔东南期末）已知方程组，将①代入②得（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·昆明期中）如果是方程组的解，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024七下·广州期中）“践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池.”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024七下·长兴月考）将变形为用含x的代数式表示y，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·龙江模拟）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
10．（2025·竞赛）去年夏季学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”去年5月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元，去年6月“绿豆冰糕”的销售量与去年5月一样，去年6月“奶油冰糕”销量与5月相比减少一半，去年6月“红枣冰糕”的销量是去年5月的3倍，但三种冰糕的总销售量去年6月比去年5月多100支，“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现去年5月“绿豆冰糕”的销售额占去年5月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”去年5、6月总利润是“绿豆冰糕”去年5、6月总利润的，那么，在去年5月的销售中52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多（　　）元.
A．216 B．432 C．211 D．422
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·西湖二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为11.5cm，若同款的7个碗叠放在一起总高度为16cm，则一个碗的高度为　 　cm.
12．（2024七下·黔南期末）已知x，y满足二元一次方程组，则的值为　 　．
13．（2024七下·新余期中） 若关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
14．（2024七下·丰城月考）已知关于x，y的方程组有无数多组解，则代数式﹣3（n﹣mn）+2（mn﹣m）的值为 　 　．
15．（2024七下·乌鲁木齐期中）"珍爱生命，拒绝毒品"，学校举行的2021年禁毒知识竞赛共60道题，小张同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，请列出方程组　 　．
16．（2025七下·越秀期中）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026七下·温州期中）解下列方程组：
（1）
（2）
18．（2025七下·新会期中）已知，
（1）求x，y的值
（2）求的平方根．
19．（2025七下·新昌期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？
（1）若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答）
（2）若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程．
20．（2025·遵义模拟）某水果商收购了120吨水果打算运往外省售卖，现有甲、乙、丙三种车型供选择，且要求每辆车均满载，每辆车的运载量和运费如下表所示：
车型 甲 乙 丙
运载量/（吨/辆） 5 8 10
运费/（元/辆） 300 400 500
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元，则需甲、乙两种车型车辆各多少辆？
（2）该水果商决定从甲、乙、丙三种车型中至少选择两种车型车辆来运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程的方法求出符合题意的运送方案．
21．（2025·从江模拟）如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）．
（1）从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示）
（2）若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？
22．（2025七下·南浔期中）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
23．（2025七下·中山期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”
（1）判断点是否为“中山点”，并说明理由；
（2）若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.
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二元一次方程组 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·贵州期中）数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、将代入得，故该选项错误；
B、将代入得，代入得，故该选项错误；
C、将代入得，故该选项错误；
D、将代入得，将代入得，两个方程都成立，故该选项正确．
故选：D．
【分析】把分别代入选项的方程组，逐项检验解答即可．
2．（2025·定西模拟）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼
∴10x+3y=77；
∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
∴9x=5y.
∴根据题意可列出方程组；
故答案为：A.
【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可求解.
3．（2024七下·莱芜期中）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为，
依题意，得：，
解得，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据题意，列出方程组，求得方程组的解，结合阴影部分总面积长方形的面积倍的小长方形的面积，进行计算，即可求出结论．
4．（2024七下·黔东南期末）已知方程组，将①代入②得（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
将①代入②得，，
即．
故选：A．
【分析】利用加减消元法解答即可．
5．（2024七下·昆明期中）如果是方程组的解，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：将 代入方程组得：，
解得：，
∴，
故答案为：C
【分析】将x，y值代放方程组根据题意得出，解出a，b的值，再代入即可.

6．（2024七下·广州期中）“践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池.”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：甲比乙多收集了7节废电池，
；
若甲给乙9节废电池，则乙的废电池数量就是甲的2倍，
．
根据题意可列方程组为．
故答案为：D．
【分析】根据两人收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组．
7．（2024七下·长兴月考）将变形为用含x的代数式表示y，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：移项可得：4y=3x-5，
两边同时除以4可得：y=，
故答案为：D
【分析】先移项，再根据等式的性质两边同时除以4得出答案．
8．（2023·龙江模拟）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴班长有5种购买方案．
故答案为：A．
【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意列出方程15x+20y=360，再求解即可。
9．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
【答案】C
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
10．（2025·竞赛）去年夏季学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”去年5月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元，去年6月“绿豆冰糕”的销售量与去年5月一样，去年6月“奶油冰糕”销量与5月相比减少一半，去年6月“红枣冰糕”的销量是去年5月的3倍，但三种冰糕的总销售量去年6月比去年5月多100支，“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现去年5月“绿豆冰糕”的销售额占去年5月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”去年5、6月总利润是“绿豆冰糕”去年5、6月总利润的，那么，在去年5月的销售中52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多（　　）元.
A．216 B．432 C．211 D．422
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意设绿豆冰糕的成本为t元， ，解得t=4.
∴奶油冰糕的成本为4-1=3.
由题意可设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，
则 解得b=200，c=100.
∴绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.
又∵ 由②得a=200x-600③，
将③代入到②式化简得26x-5n=108，
∴ 52支“奶油冰糕”的销售额比10支“红枣冰糕”的销售额多108×2=216元.
故答案为： A.
【分析】设绿豆冰糕的成本为t元，根据利润求出t的值，即可得到.奶油冰糕的成本为4-1=3.再设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，则b+ 求出b和c的值.因此绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元.奶油冰糕的利润为 ②.将上述①、②式子进行化简可以得到26x-5n的值解答即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·西湖二模）如图，款式相同的4个碗叠放在一起总高度为11.5cm，若同款的7个碗叠放在一起总高度为16cm，则一个碗的高度为　 　cm.
【答案】7
【解析】【解答】解：设碗的高度为xcm，每多叠放1个碗高度增加ycm
由题意可得：，解得：
∴一个碗的高度为7cm
故答案为：7
【分析】设碗的高度为xcm，每多叠放1个碗高度增加ycm，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
12．（2024七下·黔南期末）已知x，y满足二元一次方程组，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
①×2－②可得：4x－x=2×2－4，
解得：x=0.
把x=0代入①得：y=2.
∴；
故答案为：．
【分析】利用加减消元法求解该方程，得到x和y的值，再代入求值即可.
13．（2024七下·新余期中） 若关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】2023
【解析】【解答】解：由题意得，
①＋②得6x+6y=6k+6，
∴x+y=k+1=2024，
∴k=2023，
故答案为：2023
【分析】先根据题意①＋②得6x+6y=6k+6，进而得到x+y=k+1=2024，从而即可求出k.
14．（2024七下·丰城月考）已知关于x，y的方程组有无数多组解，则代数式﹣3（n﹣mn）+2（mn﹣m）的值为 　 　．
【答案】-
【解析】【解答】解：∵关于x、y的方程组有无数多组解，
∴，解得：m=，n=8，
∴原式=-n+3mn+2mn-m
=-n+5mn-m
=-8+5×（）×8-（）
=.
故答案为：.
【分析】根据关于x、y的方程组有无数多组解可得关于m、n的等式，解之求出m、n的值，根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”将所求代数式化简，再把m、n的值代入化简后的代数式计算即可求解.
15．（2024七下·乌鲁木齐期中）"珍爱生命，拒绝毒品"，学校举行的2021年禁毒知识竞赛共60道题，小张同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，请列出方程组　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 小张同学答对了x道题，答错了y道题 ， 且答对题数比答错题数的7倍还多4道， 可得，
，
故答案为：.
【分析】根据总共有60到题目，小张同学答对了x道题，答错了y道题 ， 且答对题数比答错题数的7倍还多4道，即可列出关于x，y的二元一次方程组.
16．（2025七下·越秀期中）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是　 　．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
，
，
，故①正确；
∵，
∴当时，，故②错误；
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后逐项分析判断即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026七下·温州期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②得， 3x+6-x=-2
∴2x=-8
解得： x=-4
把x=-4代入①得， y=6-（-4)=10，
∴方程组的解为：
（2）解：
①×2得， 2x-2y=2③
②+③得， - 2x+3y+2x-2y=1+2
解得： y=3，
把y=3代入①得， x-3=1
解得： x=4
∴方程组的解为：
【解析】【分析】（1）把①代入②消去未知数y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值即可；
（2）①×2＋②消去未知数x，求出y的值，然后把y的值代入①求出x的值解答即可.
18．（2025七下·新会期中）已知，
（1）求x，y的值
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是；
【解析】【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性，列出二元一次方程组求解x、y；
（2）将x、y的值代入表达式，先化简再求其平方根。
（1）解：∵，
∴，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根是
19．（2025七下·新昌期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？
（1）若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答）
（2）若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程．
【答案】（1），
（2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
根据题意得，
解得，
答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母．
【解析】【解答】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名，
由题意可列出方程；
故答案为：，；
【分析】（1）若设分配x名工人生产螺栓，由某车间共28名工人，可由总人数减去生产螺栓的人数等于生产螺母人数表示出生产螺母的人数，再根据“ 每个螺栓要配2个螺母 ”可得生产的螺母数量=生产的螺栓数量得2倍，据此列出方程即可；
（2）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据“车间工人总数为28”列出方程x+y=28，根据工作效率乘以工作时间等于工作总量及生产的螺母数量=生产的螺栓数量得2倍列出方程2×12x=18y，联立两方程求解即可.
（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名，
由题意可列出方程；
故答案为：，．
（2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
根据题意得，
解得，
答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母．
20．（2025·遵义模拟）某水果商收购了120吨水果打算运往外省售卖，现有甲、乙、丙三种车型供选择，且要求每辆车均满载，每辆车的运载量和运费如下表所示：
车型 甲 乙 丙
运载量/（吨/辆） 5 8 10
运费/（元/辆） 300 400 500
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元，则需甲、乙两种车型车辆各多少辆？
（2）该水果商决定从甲、乙、丙三种车型中至少选择两种车型车辆来运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程的方法求出符合题意的运送方案．
【答案】（1）解：设需甲车型车辆x辆，乙车型车辆y辆．
根据题意，得
解得
答：需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆。
（2）解：设使用甲车型车辆m辆，乙车型车辆n辆，则使用丙车型车辆辆．根据题意，得，
．
均为非负整数，
或或
∴共有3种运送方案：
方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆；
方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆；
方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆。
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据表格中甲和乙每辆车的运载量和收购了120吨水果，可建立方程：5x+8y=120；然后再根据“全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元”，可建立方程：300x+400y=6400，最后再
（2）设需甲车型m辆，乙车型n辆，丙车型辆，然后再根据表格中的数据，分别求出甲、乙和丙的运输量，将甲、乙和丙相加，然后再建立等量关系：，求出m的n的关系，然后再结合m、n和的关系，即可求出m和n的值，进而即可确定运输方案。
（1）解：（1）设需甲车型车辆x辆，乙车型车辆y辆．
根据题意，得
解得
答：需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆．
（2）解：设使用甲车型车辆m辆，乙车型车辆n辆，则使用丙车型车辆辆．
根据题意，得，
．
均为非负整数，
或或
∴共有3种运送方案：
方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆；
方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆；
方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆
21．（2025·从江模拟）如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）．
（1）从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示）
（2）若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？
【答案】（1）解：根据题意得（元），
答：需要的运费是元；
（2）解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，
解得
（吨），
答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨．
【解析】【分析】（1）根据题意，列代数式计算求解即可；
（2）先设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，再找出等量关系求出，最后计算求解即可.
（1）解：根据题意得（元），
答：需要的运费是元；
（2）解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，
解得
，
答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨．
22．（2025七下·南浔期中）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】解：（1）由题意得：，
解得： ，
答：图甲中a与b的值分别为：50、40；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，
依题意得：，
解得：．
答：可以做竖式无盖礼品盒8个，横式无盖礼品盒16个．
【解析】【分析】（1）根据图示中板材的长度关系，建立关于a、b的二元一次方程组进行求解。
（2）设竖式无盖礼品盒的数量为x个，横式无盖礼品盒的数量为y个。通过分析已知条件和图示，计算出两种裁剪方法产生的A型板材和B型板材的总数量。然后根据竖式和横式礼品盒所需的A、B型板材数量，建立关于x、y的二元一次方程组并求解。
23．（2025七下·中山期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”
（1）判断点是否为“中山点”，并说明理由；
（2）若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.
【答案】（1）解：点A是“中山点”，理由如下：
，
点A是“中山点”。
（2）解：点B(k，3)是“中山点”，
，又，
解得.
（3）解：解方程组得
点C(x，y)是“中山点”，满足可求得
又，
.
整理得.
∵p，q是有理数，
∴，.
【解析】【分析】（1）首先根据点A的坐标，求出m，n的值，然后把m，n的值代入 8m-6n=5，进行验证即可；
（2）根据“中山点”的定义，可得出方程组，解方程组，即可得出k的值；
(3)首先解 关于x，y的方程组 解得再根据“中山点”的定义，可求得，进一步根据m，n满足，可得出，再根据p，q是有理数，可求得p，q的值。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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