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二元一次方程组 单元综合模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中，是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
2．将一张面值50元的人民币换成10元和5元的人民币，共有（　　）种换法
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若x+y=8，y+z=6，x2-z2=20，则x+y+z的值为（　　） .
A．10 B．12 C．14 D．20
4．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
5．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（　　）
A． B． C． D．
6．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，则原来的两位数是（　　）
A．54 B．27 C．72 D．45
7．对于二元一次方程组用加减法消去x，得到的方程是（　　）
A．2y＝﹣2 B．2y＝﹣36 C．12y＝﹣36 D．12y＝﹣2
8．鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（　　）
A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔2只
C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只
9．工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
10．小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
12．为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品(每种体育用品都购买)，其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，共有 　 　种购买方案。
13．矩形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小矩形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是　 　
14．关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，则整数m的值为正整数，则整数m的值为　 　.
15．若实数m，n满足 ，则 　 　.
16．某店三八节推出A，B，C三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70元/束.在3月7日，A，B，C三种花束的单价之比为 ，销量之比为 .在3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3月7日有所增加.A，C花束增加的销售额之比为 ；3月8日B花束的单价上调25%且A，B花束的销售额之比为 .同时三种花束的销量之比不变，若3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，则3月8日当天的利润率为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解二元一次方程组：
（1）
（2）．
18．甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格 表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 100元 80元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
19．某商店购进奥运会吉祥物和纪念币两种纪念品，若购进吉祥物10个、纪念币5个，需要100元；若购进吉祥物5个、纪念币3个，需要55元．
（1）求购进吉祥物，纪念币两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店计划购进这两种纪念品共50件，且预算不多于400元，则该商店最少购进吉祥物多少件？
20．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
　 租金（单位：元/台·时） 挖掘土石方量（单位：/台·时）
甲型挖掘机 100 60
乙型挖掘机 120 80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？
21．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
（1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由；
（2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
（3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
22．现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆型车和1辆型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆型车和2辆型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝.根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满荕枝一次可分别运送多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.
23．根据以下素材，探索完成任务.
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越·温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张.
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券.某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务.
任务一 若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 ▲ 张C型的消费券，此时实际消费的最少为 ▲ 元.
任务二 若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案.
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二元一次方程组 单元综合模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中，是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、x＝0、y＝ 时，x﹣2y＝0﹣1＝﹣1≠1，不符合题意；
B、x＝1、y＝1时，x﹣2y＝1﹣2＝﹣2≠1，不符合题意；
C、x＝1、y＝﹣1时，x﹣2y＝1+2＝3≠1，不符合题意；
D、x＝1、y＝0时，x﹣2y＝1，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程解的定义将选项中的解分别代入方程逐一检验即可.
2．将一张面值50元的人民币换成10元和5元的人民币，共有（　　）种换法
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：设可换成10元的x张，可换成5元的y张，
由题意得：
该方程的解有：
综上所述，该方程共有6种解，
故答案为：C.
【分析】设可换成10元的x张，可换成5元的y张，根据题意得到二元一次方程：结合实际意义解出二元一次方程共有多少组解即可求解.
3．若x+y=8，y+z=6，x2-z2=20，则x+y+z的值为（　　） .
A．10 B．12 C．14 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：
可以解得：x=8-y；z=6-y
代入x2-z2=20
解得y=2，再代入①得x=6，z=4
∴x+y+z=12
故答案为：B.
【分析】解由 x+y=8，y+z=6 组成的方程组，用y表示x、z，再代入方程x2-z2=20，然后可以求出x、y、z，可以得出答案.
4．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【答案】A
【解析】【解答】解：把x=6代入2x+y=16，得y=4，
∴x+y=10.
故答案为：A.
【分析】把把x=6代入2x+y=16，得y=4，再把x、y的值代入x+y即可.
5．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym，
图①中阴影部分的周长为2（n-2y+m）＝2n-4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y-（2n-4y+2m）＝10y-2mm-2m．
故答案为：B．
【分析】设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，根据题意列出方程组x+2y＝m，x＝2y，求出ym，再分别求出图①和图②阴影部分的周长，再作差即可。
6．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，则原来的两位数是（　　）
A．54 B．27 C．72 D．45
【答案】D
【解析】【解答】解：设原来的个位数字为x，十位数字为y，
解之：
∴原来的两位数为4×10+5=45.
故答案为：D..
【分析】设原来的个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件：个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到原来的两位数.
7．对于二元一次方程组用加减法消去x，得到的方程是（　　）
A．2y＝﹣2 B．2y＝﹣36 C．12y＝﹣36 D．12y＝﹣2
【答案】C
【解析】【解答】解：，
两方程相减，得
12y=-36.
故答案为：C.
【分析】直接利用方程组中的第一个方程减去第二个方程即可得到结论.
8．鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（　　）
A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔2只
C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只
【答案】D
【解析】【解答】解：设有x只鸡，则有（35-x）只兔，根据题意得
2x+4（35-x）=94
解得 x=23
所以 35-x=12
∴笼中有23只鸡，12只兔。
故答案为：D
【分析】设鸡的只数，表示出兔的只数，然后利用“有94只脚”作为相等关系列出方程求解即可。
9．工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
【答案】B
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
10．小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【解析】【解答】解：设笔记本的数量为x， 钢笔的数量为y， (x，y为非负整数)
则2x+5y=60，
x=，
∴>y，
即7y<60，
y<，
∴当y=8时，x=10；当y=6， x=15； 当y=4， x=20；当y=2时，x=25；当y=0， x=30.
综上共有5种方案.
故答案为：C.
【分析】设笔记本的数量为x， 钢笔的数量为y， (x，y为非负整数)， 根据总金额等于60列方程，把y用含x的关系式表示，结合笔记本的数量多于钢笔的数量，分别取值，则可确定符合条件的方案数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是二元一次方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】2024
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴把代入，得
∴，
故答案为：2024．
【分析】使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值就是二元一次方程的解，据此将x=3与y=-2代入方程ax+by=2可得3a-2b=2，然后将待求式子利用添括号法则将含字母的项放到前面带负号的括号内，再整体代入计算可得答案.
12．为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品(每种体育用品都购买)，其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，共有 　 　种购买方案。
【答案】2
【解析】【解答】解：设购买甲种体育用品x件，乙种体育用品y件，根据题意得
20x+30y=150，
方程的正整数解为，，
故有两种购买方案.
【分析】可列方程求解，即设出分别购买甲乙两种体育用品的件数，根据题意列出二元一次方程，然后求出该方程的所有正整数解，即可解决问题.
13．矩形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小矩形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是　 　
【答案】33
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，
依题意得 ，
解得： ，
∴小长方形的长、宽分别为7cm，2cm，
∴S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=13×9-6×2×7=33cm2.
故答案为：33.
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积.
14．关于x，y的二元一次方程组 的解是正整数，则整数m的值为正整数，则整数m的值为　 　.
【答案】5
【解析】【解答】解：∵x+y=2，
∴2x+3y=2（x+y）+y=4+y=m，
∵x+y=2，x、y为正整数，
∴x=1，y=1，
∴m=4+y=5.
故答案为：5.
【分析】由x+y=2得出4+y=m，再根据方程组的解是正整数，结合x+y=2，得出x=1，y=1，最后计算m的值即可.
15．若实数m，n满足 ，则 　 　.
【答案】7
【解析】【解答】解：∵m，n满足 ，
∴m-n-5=0，2m+n 4=0，
∴m=3，n=-2，
∴
故答案为：7.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0得m-n-5=0，2m+n 4=0，联立求出m、n的值，然后代入3m+n中计算即可.
16．某店三八节推出A，B，C三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70元/束.在3月7日，A，B，C三种花束的单价之比为 ，销量之比为 .在3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3月7日有所增加.A，C花束增加的销售额之比为 ；3月8日B花束的单价上调25%且A，B花束的销售额之比为 .同时三种花束的销量之比不变，若3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，则3月8日当天的利润率为　 　.
【答案】36%
【解析】【解答】解：设A种花束的单价为3m，B种花束的单价为4m，C种花束的单价为2m，A，B，C三种花束的销量分别为n，n，3n，
设A花束增加额为a，则C花束的增加额为2a，B花束单价为4m(1+25%)=5m，
∴A种花束销售额为3mn+a，B种花束销售额为4m(1+25%)n，
∵A，B花束的销售额之比为 .
∴ ，
解得 ，
∴ 花束增加的销售额 ，
∴A种花束单价增加到 ，C种花束单价增加到 ，
∴3月8日三种花束的单价之和 ，3月7日三种花束的单价之和 ，
∴ ，
解得 ，
3月8日三种花束的单价分别为A：4×36=144元/束，B：5×36=180元/束，C： 元/束，
当天利率为[（144-105）×n+(180-135)×n+ ]÷(105n+135n+70×3n)×100%=36%.
故答案为：36%.
【分析】设A种花束的单价为3m，B种花束的单价为4m，C种花束的单价为2m，A、B、C三种花束的销量分别为n、n、3n；设A花束增加额为a，则C花束的增加额为2a，B花束单价为4m(1+25%)，根据A、B花束的销售额之比为4∶5，建立方程求得a =mn，然后用m表示出3月8日三种花束的单价之和与3月7日三种花束的单价之和，最后根据3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元列方程求解，从而可求利率.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解二元一次方程组：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：将①代入②得：3x+4（2x－1）=7
11x=11
x=1
将x=1代入①得y=2×1－1
y=1
方程组的解为
（2）解：②×4得：8x+4y=20③
③－①得：5x=30
x=6
将x=6代入②得2×6+y=5
y=﹣7
方程组的解为
【解析】【分析】（1）利用代入消元法求解二元一次方程组即可；
18．甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格 表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 100元 80元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【答案】（1）解：买80套所花费为：（元），
最多可以节省：（元）．
（2）解：设甲乐团有人，乙乐团有人．根据题意，
得
解得答：甲乐团有40人；乙乐团有35人．
（3）解：由题意，得
变形，得
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数得：
或．
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；
或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【解析】【分析】（1）计算出买80套服装的花费，再与5600相比，即可得到答案；
（2）根据题意得等量关系：甲队人数+乙队人数=75，甲队花费+乙队花费=5600，设甲乐团有人，乙乐团有人，代入等量关系列方程求解即可；
（3）根据小朋友人数可得，整理得，根据题意确定a和b的取值范围，再计算得a和b的整数值即可.
19．某商店购进奥运会吉祥物和纪念币两种纪念品，若购进吉祥物10个、纪念币5个，需要100元；若购进吉祥物5个、纪念币3个，需要55元．
（1）求购进吉祥物，纪念币两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店计划购进这两种纪念品共50件，且预算不多于400元，则该商店最少购进吉祥物多少件？
【答案】（1）解：设每个吉祥物x元，每个纪念币y元，
则 ，
解得：，，
答：每个吉祥物5元，每个纪念币10元
（2）解：设该商店购进吉祥物a件，
则：，
解得：，
答：购进吉祥物至少20件
【解析】【分析】（1）设每个吉祥物x元，每个纪念币y元，根据“若购进吉祥物10个、纪念币5个，需要100元；若购进吉祥物5个、纪念币3个，需要55元”，列方程组求解即可．
（2）设该商店购进吉祥物a件，根据“预算不多于400元”，列不等式求解即可．
（1）解：设每个吉祥物x元，每个纪念币y元，
则 ，
解得：，，
答：每个吉祥物5元，每个纪念币10元．
（2）解：设该商店购进吉祥物a件，
则：，
解得：，
答：购进吉祥物至少20件．
20．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
　 租金（单位：元/台·时） 挖掘土石方量（单位：/台·时）
甲型挖掘机 100 60
乙型挖掘机 120 80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？
【答案】（1）解：设甲种型号的挖掘机需x台、乙种型号的挖掘机需y台．
依题意得：，
解得：．
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）解：设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：，
化简得：，
∴，
∴方程的整数解为或．
当时，支付租金：元
当时，支付租金：元．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量．
【解析】【分析】（1）设甲种型号的挖掘机需x台、乙种型号的挖掘机需y台．根据“甲、乙两种型号的挖掘机共8台”列出方程x+y=8；根据“x台甲型挖掘机1小时挖掘的土石方+y台乙型挖掘机1小时挖掘的土石方=540”列出方程60x+80y=540，联立两方程求解即可；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据“m台甲型挖掘机1小时挖掘的土石方+n台乙型挖掘机1小时挖掘的土石方=540”列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
21．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
（1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由；
（2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
（3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
【答案】（1）具有，
（2）解：，
①+②得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴方程组的解为，
方程组的解与具有“友好关系”，
，
解得或，
的值为或；

（3）解：，①得，，
解得，
与都是正整数，
当时，，
则，
此时方程组的解具有“友好关系”；
当时，，
则，
此时方程组的解不具有“友好关系”；
当时，（不合，舍去）；
当时，（不合，舍去）；
综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”．

【解析】【解答】解：（1）具有“友好关系”，理由如下：
，
①-②得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴方程组的解为，
，
方程组的解与具有“友好关系”，
故答案为：具有；
【分析】（）求出方程组的解为，计算得到，进而根据“友好关系”的定义判断即可求解；
（）求出方程组的解为，根据“友好关系”的定义列出方程：，解答即可求解；
（）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解；
（1）解：具有“友好关系”，理由如下：
，
①-②得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴方程组的解为，
，
方程组的解与具有“友好关系”，
故答案为：具有；
（2）解：，
①+②得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴方程组的解为，
方程组的解与具有“友好关系”，
，
解得或，
的值为或；
（3）解：，
①得，，
解得，
与都是正整数，
当时，，
则，
此时方程组的解具有“友好关系”；
当时，，
则，
此时方程组的解不具有“友好关系”；
当时，（不合，舍去）；
当时，（不合，舍去）；
综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”．
22．现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆型车和1辆型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆型车和2辆型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝.根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满荕枝一次可分别运送多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.
【答案】（1）解：设1辆型车载满荔枝一次可送吨，1辆型车载荔枝一次可运送吨，
由题意得：
解得：
答：1辆型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆型车载满荔枝一次可运送4吨．
（2）解：由题意得：，
所以，
又因为、均为非负整数，
所以或或
所以该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆型车，1辆型车；
方案2：租用5辆型车，4辆型车；
方案3：租用1辆型车，7辆型车.
【解析】【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可送吨，1辆B型车载荔枝一次可运送吨，由“ 用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨 ”，解方程组即可得到答案；
（2）由a辆A型汽车的运输量+b辆B型汽车的运输量=31，列出二元一次方程，再求出该方程的正整数解即可.得该物流公司各种租车方案.
23．根据以下素材，探索完成任务.
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越·温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张.
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券.某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务.
任务一 若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 ▲ 张C型的消费券，此时实际消费的最少为 ▲ 元.
任务二 若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案.
【答案】解：任务一：4，1070；
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券（x-1）张，由题意可得，
解得： ，
∴C型的消费券5张，
答：A型的消费券6张，B型的消费券1张，则C型的消费券5张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券c张，且a、b、c都是正整数，
①A、B型：，
∴，
∵a，b都是正整数，
∴无解；
②B、C型：，
∴，
∵b、c都是正整数，，
∴或或；
③A、C型：，
∴，
∵a、c都是正整数，，
∴
综上所述，4张B，5张C使得使用消费券张数最少．
【解析】【解答】解：任务一：用C型消费券的数量为：（380-2×10-6×20）÷60=4（张），
至少实际消费的金额为：25×2+58×6+168×4=1070（元）；
故答案为：4，1070；
【分析】（1）任务一：“小明一家在超市使用消费券共减了380元“计算即可；
（2）任务二：设x型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券(x-1)张，根据三种消费券的总张数是12张及使用消费券共减了380元列方程组计算即可；
（3）任务三：根据”小明一家在超市使用消费券共减了380元”分①只使用A、B两型消费券，②只使用A、C两型消费券，③只使用B、C两型消费券三种情况分别列出二元一次方程，求出正整数解即可.
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