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分式 单元综合强化训练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若分式 的值为0，则x的值是（　　）
A． B． C． D．
2．已知（x2+y2）2+（x2+y2）=12，那么x2+y2的值是（　　）
A．.3或﹣4 B．﹣3或4 C．4 D．3
3．下列各式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知（），则分式的值为（　　）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
5．要使分式的值扩大为原来的9倍，则下列变化正确的是（　　）
A．x的值不变，y的值扩大为原来的9倍
B．x，y的值都扩大为原来的9倍
C．x，y的值都扩大为原来的3倍
D．y的值不变，x的值扩大为原来的9倍
6．下列各式中，计算正确的是（　　）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5y
B．98×102=（100﹣2）（100+2）=9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣2
7．一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（　　）小时．
A． B． C． D．
8．设图1中阴影部分的面积与图2 中阴影部分的面积之比为k，则k= (　　)
A．1 B． C． D．
9．若 + = ，则 + 的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法计算
10．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（　　）
A．1- B．2- C．1+或1- D．1+或﹣1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．甲、乙两人承包一项工程合作10天完成，若他们单独做，甲比乙少用8天，设甲单独做需要x天完成，则所列的方程是　 　．
12．若分式 的值为正，则 的取值范围是　 　．
13．将公式=π变形为已知x，求y的公式为 　 　 .
14．山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1.5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为　 　．
15．当　 　时，分式 有意义。
16．若，则　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1） ﹣ + ．
（2） ．
18．为顺利通过“国家生态文明示范区”验收，璧山政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
（2）市政府决定由甲、乙共同完成此项工程.若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，若工程费用不超过72万元，则甲工程队最少工作多少天
19．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项系数都是正数．
（1）；
（2）．
20．为了改善我县的交通现状，县政府决定扩建某段公路，甲、乙两工程队承包该段公路的修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的倍；若由甲队先修建天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
21．如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形．
（1） 设两块试验田都收获了 小麦， 求 两种小麦单位面积产量的比．
（2） 当 时， 两种小麦的单位面积产量哪个较大？
（3） 若 两种小麦的单位面积产量相同， 求 满足的关系式．
22．（1）已知分式，x取什么值时，分式的值为零？
（2）x为何值时，分式的值为正数？
23．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
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分式 单元综合强化训练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若分式 的值为0，则x的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意得，
x﹣1＝0，且x+1≠0，
解得 x＝1．
故答案为：A．
【分析】根据分式的值为0求出x﹣1＝0，且x+1≠0，再计算求解即可。
2．已知（x2+y2）2+（x2+y2）=12，那么x2+y2的值是（　　）
A．.3或﹣4 B．﹣3或4 C．4 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：设a=x2+y2，把方程化为a2+a﹣12=0，
解得：a=﹣4，a=3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=3．
故选：D．
【分析】设a=x2+y2，把方程化为a2+a﹣12=0，求得a的数值，进一步利用非负数的性质得出x2+y2的数值即可．
3．下列各式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、原式 ，不符合题意；
B、当 时，原式＝ ，不符合题意；
C、原式＝ ，符合题意；
D、当 时，原式＝ ，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据分式的性质即可判断.
4．已知（），则分式的值为（　　）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x-3y=0，
∴x=3y，
原式=
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得x=3y，然后将待求式子的分子分母利用提取公因式法分解因式，并代入化简即可.
5．要使分式的值扩大为原来的9倍，则下列变化正确的是（　　）
A．x的值不变，y的值扩大为原来的9倍
B．x，y的值都扩大为原来的9倍
C．x，y的值都扩大为原来的3倍
D．y的值不变，x的值扩大为原来的9倍
【答案】D
【解析】【解答】解：A．x的值不变，y的值扩大为原来的9倍，得到的分式的值是原来的倍，故不符合题意；
B．x，y的值都扩大为原来的9倍，得到的分式的值是原来的1倍，故不符合题意；
C．x，y的值都扩大为原来的3倍，得到的分式的值是原来的1倍，故不符合题意；
D．y的值不变，x的值扩大为原来的9倍，得到的分式的值是原来的9倍，故符合题意，
故选：D．
【分析】
根据分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。分别分析每个选项中x、y的变化对分式 值的影响，即可得到答案。
6．下列各式中，计算正确的是（　　）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5y
B．98×102=（100﹣2）（100+2）=9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣y，
∴选项A不正确；
∵98×102=（100﹣2）（100+2）=9996，
∴选项B正确；
∵ ﹣1=﹣ ，
∴选项C不正确；
∵（3x+1）（x﹣2）=3x2﹣5x﹣2，
∴选项D不正确．
故选：B．
【分析】根据分式的加减法，整式的除法，多项式乘多项式的运算方法和平方差公式，逐项判断即可．
7．一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，则甲，乙两人合作完成需要（　　）小时．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：甲和乙的工作效率分别是 ， ，合作的工作效率是 ，所以合作完成需要的时间是 ．
故选D．
【分析】根据“甲乙合作时间=工作总量÷甲乙工效之和”列式即可．
8．设图1中阴影部分的面积与图2 中阴影部分的面积之比为k，则k= (　　)
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】分别表示两个阴影部分面积，然后计算比值，约分化简即可.
9．若 + = ，则 + 的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法计算
【答案】C
【解析】【解答】解：由 + = = 得到（x+y）2=xy，即x2+y2=﹣xy，
则原式= =﹣1．
故答案为：C．
【分析】先将所给分式方程化简得到：x2+y2=﹣xy，再将方程两边同时除以xy即可求得所给式子的值.
10．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}=的解为（　　）
A．1- B．2- C．1+或1- D．1+或﹣1
【答案】D
【解析】【解答】当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．故选D．
【分析】根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．甲、乙两人承包一项工程合作10天完成，若他们单独做，甲比乙少用8天，设甲单独做需要x天完成，则所列的方程是　 　．
【答案】（ ）×10=1
【解析】【解答】解：设甲单独做需要x天完成，则乙独做需要（x+8）天，由题意列方程，得
（ ）×10=1，
故答案为：（ ）×10=1
【分析】由甲的天数表示出乙独做需要的天数是（x+8）天，再根据工程问题的数量关系建立等量关系就可以列出方程．
12．若分式 的值为正，则 的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为： .
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
13．将公式=π变形为已知x，求y的公式为 　 　 .
【答案】
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘以2y，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
当时，可化为，
即，∴不存在y值，使得成立，
∴，.
【分析】方程两边同时乘以2y约去分母，将分式方程转化为整式方程，然后移项，将含y的项移到方程的左边，不含y的项移到方程的右边，再合并同类项，最后将y的系数化为1即可，注意讨论x的取值范围.
14．山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1.5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设改良前平均每亩的产量为xkg，则，改良后平均每亩的产量为，
由题意，得：；
故答案为：．
【分析】设改良前平均每亩的产量为，则，改良后平均每亩的产量为，根据“ 改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩 ”列出方程即可.
15．当　 　时，分式 有意义。
【答案】
【解析】【解答】根据题意得：
解得：
故答案是：
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
16．若，则　 　．
【答案】0或1
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1） ﹣ + ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式= + +
=
=
=
=
（2）解：原式=（ ）﹣（ ﹣ ）
= ﹣
=
=﹣
【解析】【分析】（1）、（2）先通分，再把分子相加减即可．
18．为顺利通过“国家生态文明示范区”验收，璧山政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
（2）市政府决定由甲、乙共同完成此项工程.若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，若工程费用不超过72万元，则甲工程队最少工作多少天
【答案】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，由题意得，
解得： x=15，
经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x=2×15=30.
答：甲工程队单独完成这项工程需要15天，则乙工程队单独完成这项工程要30天.
（2）解：设甲工a天，乙工作b天，则有
化简得b=30-2a
又4.5a+2.5b≤72，代入的a≥6，
∴甲最少工作6天.
【解析】【分析】(1)等量关系为：，甲(乙)的工效×甲(乙)的工作时间=甲(乙)的工作量；
(2)设甲工程队最多工作y天，乙工程队工作z天，甲y天的工作量+乙z天的工作量=1；还需算出甲乙队的工程款，等量关系为：甲y天的工程费用+乙z天的工程费用≤72.
19．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项系数都是正数．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】(1)分子、分母同乘以（-1）可得结果；
（2）分式与分母同乘以（-1）可得结果.
20．为了改善我县的交通现状，县政府决定扩建某段公路，甲、乙两工程队承包该段公路的修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的倍；若由甲队先修建天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
【答案】（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程所需天数是天，
依题意得：，
解得，
检验，当时，，
所以原方程的解为．
所以天．
答：乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成这项工程需天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，
则有，
解得，
需要施工的费用：万元，
，万元，
工程预算的费用不够用，需要追加预算万元．
【解析】【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程所需天数是天，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，据题意列出方程，解方程即可求出答案.
21．如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形．
（1） 设两块试验田都收获了 小麦， 求 两种小麦单位面积产量的比．
（2） 当 时， 两种小麦的单位面积产量哪个较大？
（3） 若 两种小麦的单位面积产量相同， 求 满足的关系式．
【答案】（1）解：根据题意，得 种小麦的单位面积产量为 ， 种小麦的单位面积产量为 ，
则 两种小麦单位面积产量的比为 ： ．
（2）解：把 代入， 得 ，
．
种小麦的单位面积产量较大．
（3）解：根据题意得 ．
整理， 得 ．
，
， 整理得 ．
【解析】【分析】（1）根据单位面积产量=产量÷面积分别计算出A，B两种小麦单位面积产量，再求比值化简即可；
（2）将a=2b代入A，B两种小麦单位面积产量，比较大小即可；
（3）根据题意列出分式方程，求解，即可求得a与b之间的关系式.
22．（1）已知分式，x取什么值时，分式的值为零？
（2）x为何值时，分式的值为正数？
【答案】解：（1）由=0，得2x2﹣8=0且x﹣2≠0，解得x=﹣2；当x=﹣2时，分式的值为零；（2）的值为正数，得3x﹣9＞0，解得x＞3，当x＞3时，分式的值为正数．
【解析】【分析】（1）根据分式的值为0的条件是：分子为0；分母不为0，可得答案；
（2）根据分子分母同号分式的值为正，可得答案．
23．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
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