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特殊平行四边形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列判断错误的是(　　)
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻边相等
3．将正方形①②③按如图所示的方式摆放，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为（　　）．
A．225 B．63 C．50 D．15
4．将正方形BEFG和正方形DHMN按如图所示放入长方形ABCD中，AB＝10，BC＝13，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为10，则下列无法确定的选项为（　　）
A．乙的周长 B．丙的周长 C．甲的面积 D．乙的面积
5．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，点是对角线AC上一点，过点作分别交AD于F，BC于，连结BE，DE.记的面积为，则四边形BEDC的面积为（　　）
A． B．2s C． D．
7．如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角。顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c。其中正确的是（　　）。
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
8．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知平行四边形ABCD，下列叙述中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
10．如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）
A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，四边形中，，且，以、、为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，则的值为　 　.
12．若一个菱形的周长为，一条对角线长为，则它的面积为　 　．
13．将长为10，宽为6的矩形分割成四个全等的直角三角形（如图1），拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．则小正方形的面积是　 　．
14．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是　 　.
15．如图，大正方形的边长为3cm，小正方形的边长为2cm，则阴影部分的面积是　 　．
16．如图，在正方形ABCD中，AB= ，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在 中， ，点D是 的中点，点E是 的中点，过点A作 交 的延长线于点F，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
18．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
19．如图，为正方形对角线上一点不与、重合，于，于，连接．
求证：
（1）；
（2）．
20．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAB=∠OBA.
（1）求证： ABCD是矩形.
（2）若AD=4，∠AOB=120°，求对角线AC的长.
21．如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，求AB的长．
22．如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为．
（1）当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？
（2）当为何值时，两点的距离是 ？
23． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长．
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特殊平行四边形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列判断错误的是(　　)
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴B正确，不符合题意；
C、∵对顶角相等，∴C正确，不符合题意；
D、∵两直线平行，同旁内角互补，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质及平行线的性质逐项分析判断即可.
2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻边相等
【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；
菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等.
故答案为：B.
【分析】矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等，对角线互相平分；
菱形的性质：四条边都相等，对角线互相平分，对角线互相垂直.
3．将正方形①②③按如图所示的方式摆放，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为（　　）．
A．225 B．63 C．50 D．15
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
四边形①②③都是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，
正方形①②的面积分别是81和144，
，
，
在中，由勾股定理得
，
，
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质得到，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方面积可得，再根据勾股定理即可求出答案.
4．将正方形BEFG和正方形DHMN按如图所示放入长方形ABCD中，AB＝10，BC＝13，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为10，则下列无法确定的选项为（　　）
A．乙的周长 B．丙的周长 C．甲的面积 D．乙的面积
【答案】D
【解析】【解答】解：设正方形BEFG和正方形DHMN的边长分别为x和y，
则甲的长和宽为：x+y-10，x+y-13；丙的长和宽为：13-x，10-y；乙的长和宽为：13-y，10-x；
∵甲的周长为10，
∴2（x+y-10+x+y-13）＝10，
∴x+y＝14，
∴乙的周长为：2（13-y+10-x）＝2[23-（x+y）]＝18，
丙的周长为：2（13-x+10-y）＝2[23-（x+y）]＝18，
甲的面积为：（x+y-10）（x+y-13）＝（x+y）2-23（x+y）+130＝142-23×14+130＝4，
乙的面积为：（13-y）（10-x）＝130-13x-10y+xy，
故答案为：D.
【分析】设正方形BEFG和正方形DHMN的边长分别为x和y，则甲的长和宽为x+y-10，x+y-13；丙的长和宽为13-x，10-y；乙的长和宽为13-y，10-x，根据甲的周长为10可得x+y＝14，然后表示出乙、丙的周长，甲、乙的面积，据此判断.
5．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，可知第四个顶点的横坐标为3，纵坐标为2，所以第四个顶点的坐标为；
故答案为：B.
【分析】根据长方形的性质：对边平行且相等即可得到第四个顶点的坐标.
6．如图，在矩形ABCD中，点是对角线AC上一点，过点作分别交AD于F，BC于，连结BE，DE.记的面积为，则四边形BEDC的面积为（　　）
A． B．2s C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM与△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴BM=DN，
∵，
∴，
∴四边形BEDC的面积为2s.
故答案为：B.
【分析】先利用矩形的性质，证明△ABM≌△CDN，再根据全等三角形的性质，得出BM=DN，再利用三角形面积公式求解，从而求得四边形BEDC的面积.
7．如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角。顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c。其中正确的是（　　）。
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【解析】【解答】解：①a c d，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，故①符合题意；
②b d c，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，故②符合题意；
③a b c，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故③不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的定义和性质，分析给定条件组合是否能确保四边形变成正方形.
8．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接、，
∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，
垂直平分，垂直平分，
，，
∵，都在对角线上，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，且，，
，
故选：D．
【分析】
先由平行四边形的性质知，再由轴对称的性质知，即可证明四边形AECF是平行四边形，即有，即，再由平行四边形的邻角互补可得．
9．已知平行四边形ABCD，下列叙述中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是平行四边形， AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，正确，不符合题意；
B、∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ，∴四边形ABCD是菱形，正确，不符合题意；
C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，正确，不符合题意；
D、∵ 四边形ABCD是平行四边形， AC=BD ，∴四边形ABCD是矩形，错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判定A；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定B；根据一个内角是90°的平行四边形是矩形判定C；根据对角线相等的平行四边形是矩形判断D.
10．如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）
A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=30°，AC=2AB= ，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴AE= = .
故答案为：B.
【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，四边形中，，且，以、、为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，则的值为　 　.
【答案】48
【解析】【解答】解：，
，，
过作交于，则，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：.
【分析】由正方形的面积可得，，过作交于，则，易证四边形是平行四边形，可得CE=AD，AE=CD=3，再求出∠BAE=90°，利用勾股定理求出BE=2，即得BC=2AD=2BE=4，根据正方形的面积公式求解即可.
12．若一个菱形的周长为，一条对角线长为，则它的面积为　 　．
【答案】2400cm2
【解析】【解答】解：如图所示，已知AC=60cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO=30cm，
又∵菱形ABCD周长为200cm，
∴AB=50cm，
∴BO=40cm，
∴AC=2BO=80cm，
∴菱形的面积为×60×80=2400（cm2）．
故答案为：2400cm2．
【分析】根据勾股定理求得另一条对角线的长，然后菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解
13．将长为10，宽为6的矩形分割成四个全等的直角三角形（如图1），拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．则小正方形的面积是　 　．
【答案】49
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知AC=BD=×6=3，BC=10，
∴CD=BC-BD=10-3=7，
∴小正方形的面积为7×7=49.
故答案为：49.
【分析】利用全等三角形的性质可求出AC，BD的长及BC的长，再根据CD=BC-BD，代入计算去除CD的长，然后利用正方形的面积公式进行计算.
14．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】如图，作DE⊥AB于E点，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形，
∴∠MAE=30°，
∴AM=2ME，
∵MD=MB，
∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形的边长为6，
∴AB=6，AE=3，
∴ ，
∴ ，
∴MA+MB+MD最小值为 ，
故答案为： .
【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据等边三角形的性质和轴对称的性质把MA+MB+MD转化为2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，然后根据菱形的性质和等边三角形的性质求出DE的长，从而得出结果.
15．如图，大正方形的边长为3cm，小正方形的边长为2cm，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】2cm2．
【解析】【解答】解：由图可知，
阴影部分的面积是： =9+4﹣7.5﹣2﹣1.5=2cm2，
故答案为：2cm2．
【分析】观察图形可知阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去三个直角三角形的面积。
16．如图，在正方形ABCD中，AB= ，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：连接CG，如下图所示：
∵∠ADC=∠EDG=90°
∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中
，∴△ADE和△CDG(SAS)
∴AE=CG
当E点位于C点时，G点位于G1处
当E但位于A点时，G点位于C处，
故E点在AC上运动时，G点在CG1上运动
故由点到直线的距离垂线段最短可知：
过H点作HG0⊥CG时，此时HG0最小
又H是CD的中点，∴CH= CD=
又∠DCG=45°，
∴HG0= CH= .
故答案为：
【分析】由∠ADC=∠EDG=90°，推出∠ADE=∠CDG，连接GC，容易证明△DAE≌△DCG，推出AE=CG，当E点位于C点时，G点位于AD的延长线G1处，进而推出G点在CG1这条线段上运动，再由点到直线的距离垂线段最短知，过H向CG1作垂线，得到GH的最小值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在 中， ，点D是 的中点，点E是 的中点，过点A作 交 的延长线于点F，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠BDE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD= BC=BD=CD，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴DF⊥AB，BD=BF=5，
∴BE= ，
∴AB=2BE=8．
【解析】【分析】（1）先证明△AEF≌△BED，可得AF=BD，由AF∥BC，可证四边形ADBF是平行四边形， 根据直角三角形斜边中线的性质得出AD= BC=BD=CD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；
（2）根据菱形的性质得出DF⊥AB，BD=BF=5，AB=2BE，再利用勾股定理求出BE= ，从而求出结论.
18．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
【答案】（1）A；90
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC= BC=6 .
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；（2）根据旋转的性质得BF=DE，S△ABF=S△ADE，利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8，再加上CE=CD-DE=BC-DE=4，于是可计算出BC=6，于是得到结论.
19．如图，为正方形对角线上一点不与、重合，于，于，连接．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：连接，，
四边形是正方形，
垂直平分，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
（2）解：过点作，垂足为点，延长，交于点，
四边形是正方形，
，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
又，，
四边形是正方形，
，
又，
四边形为矩形，
，
，
在与中，
，
则≌，
，
与中，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）首先连接，，由四边形ABCD是正方形，可得BD垂直平分AC，即可证得AP=PC，又由PE⊥BC，PF⊥CD，证得四边形PECF是矩形，可判定EF=PC，从而证明结论；
（2）过点作，垂足为点，延长，交于点，利用全等三角形的判定定理可得△ANP≌△FPE，在△APN与△FPM中，根据三角形的内角和定理可得结论.
20．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAB=∠OBA.
（1）求证： ABCD是矩形.
（2）若AD=4，∠AOB=120°，求对角线AC的长.
【答案】（1）证明： 在 ABCD 中， OA=OC，OB=OD
又∵∠OAB=∠OBA
∴OA=OB
∴OA=OB=OC=OD，即AC=BD
∴ ABCD是矩形
（2）解： ∵∠AOB=120°
∴∠AOD=60°
∵OA=OB=OC=OD
∴△AOD为等边三角形
∴AO=AD=4
∴AC=2AO=8
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及等腰三角形的判定，可得，然后根据矩形的判定定理即可得出结论；
（2）根据矩形的性质及等边三角形的判定证明为等边三角形，即可求解．
21．如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，
∴AE＝CF＝2，AE∥CF，∠ECF＝∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠ECF＝60°，
∵AF∥BC，
∴∠ACB＝∠FAC＝30°，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝2．
【解析】【分析】（1）根据中点得到AD＝DC，再根据平行线的性质得到∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，从而根据三角形全等的判定与性质证明△AFD≌△CED（AAS）得到AF＝EC，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解；
（2）由（1）得：四边形AECF是菱形，根据菱形的性质得到AE＝CF＝2，AE∥CF，∠ECF＝∠FAE＝2∠FAC＝60°，进而根据平行线的性质结合题意得到∠AEB＝∠ECF＝60°，∠ACB＝∠FAC＝30°，再根据垂直得到∠B的度数，从而根据等边三角形的判定与性质得到AB＝AE＝2．
22．如图，在矩形中，，，动点分别从点 同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．设移动的时间为．
（1）当为何值时，两点的距离最小？最小距离是多少？
（2）当为何值时，两点的距离是 ？
【答案】（1）解：∵在矩形中，
∴，
∵当时，最小，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴当时，最小，的最小值为，
（2）解：过点作，垂足为，
∴，
∵在矩形中，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
解得， ，
∵，
∴ 当时，，
当时，，
∴两个解都符合实际
答：当或时，两点的距离是．
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据垂线段最短可得，由矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据路程速度时间列方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，根据矩形性质可得，，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即，再根据路程速度时间及勾股定理列方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵在矩形中，
∴，
∵当时，最小，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴当时，最小，的最小值为，
（2）解：过点作，垂足为，
∴，
∵在矩形中，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∵点以的速度向点移动，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
解得， ，
∵，
∴ 当时，，
当时，，
∴两个解都符合实际
答：当或时，两点的距离是．
23． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
（2）如图，

【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，依据ASA判定△OAM≌△OBN即可推出OM=ON；
（2）根据正方形的性质求出OH=HA=2，根据勾股定理可得OM，进而求得MN.
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