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三角形 单元综合模拟培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
3．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是 (　　)
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
4．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．下列说法中，正确的有（　　）
都含有的两个直角三角形一定全等；
都含有的两个等腰三角形一定全等；
底边相等的两个等腰三角形一定全等；
边长都为的两个等边三角形一定全等；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，BE与AD交于点F，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3＝（　　）
A．59° B．60° C．56° D．22°
7．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　）
A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF
C．△ACN≌△ABM D．CD=DN
8．如图，BC=EC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（　　）
A．∠A=∠D B．AC=DC C．AB=DE D．∠B=∠E
9．把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是　 　.
12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　.
13．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多　 　．
14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC=　 　度.
15．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为，，的中点．且，则图中的面积=　 　 .
16．如图．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知a、b、c是一个三角形的三边长．
（1）填空：______0，______0，______0．（填“>”“<”或“=”）
（2）化简：．
18．
（1）能否将一个三角形剖分成12个全等的小三角形
（2）一个三角形能否剖分成m2个全等的小三角形
19．如图，在中，平分与相交于点H，．
（1）试说明的理由；
（2）若，求的度数．
20． 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若的面积为，，求的长；
（2）若，，求的大小．
21．如图1，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，连接DC，BE，DC与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，∠BFC的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFC的度数；
（3）如图2，当小蚂蚁分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，请直接写出∠CQE的度数．
22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD．
（1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度．
（2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）．
（3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由．
23．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题：
（1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果)
（2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线．
①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果)
②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由．
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三角形 单元综合模拟培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理， 已知△ABC的两个角∠A和∠B的度数，要求被遮挡的角∠ACB的度数.根据三角形内角和为180°的定理，可以通过已知两角的度数求出第三个角的度数.
2．如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B=50°，
∵∠C=40°，
∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°，
故答案为：C．
【分析】先由AB∥CD得到∠1=∠B=50°，再由三角形内角和定理即可求得.
3．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是 (　　)
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
【答案】C
【解析】【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得7-3＜x＜7+3，再解不等式即可．
【解答】设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
7-3＜x＜7+3，
解得：4＜x＜10，
故答案为：C，
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【解析】【解答】解：由中线性质可得：，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】本题根据中线平分三角形的面积，依次计算出、，最后求和计算即可得出答案．
5．下列说法中，正确的有（　　）
都含有的两个直角三角形一定全等；
都含有的两个等腰三角形一定全等；
底边相等的两个等腰三角形一定全等；
边长都为的两个等边三角形一定全等；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】【解答】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误；
②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误；
③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；
因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确；
所以正确的有④⑤这2个．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐一分析判定即可．
6．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，BE与AD交于点F，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3＝（　　）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【答案】A
【解析】【解答】∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-48°=62°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2=∠BAC=31°，
∵BE为△ABC的高，
∴∠AEF=90°，
在△AEF中，∠AFE=180°-∠1-∠AEF=180°-31°-90°=59°，
∵∠3与∠AFE是对顶角，
∴∠3=∠AFE=59°，
故答案为：A.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用角平分线的定义求出∠1=∠2=∠BAC=31°，再结合∠AEF=90°，利用三角形的内角和及对顶角求出∠3=∠AFE=59°即可.
7．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　）
A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF
C．△ACN≌△ABM D．CD=DN
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在△AEB和△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE=CF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAM=∠FAN，故选项A、B正确；
∵∠EAM=∠FAN，∠E=∠F，AE=AF，
∴△ACN≌△ABM，故选项C正确；
错误的是D．
故选D．
【分析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可证明△AEB≌△AFC，利用全等三角形的性质进行判断．
8．如图，BC=EC，∠BCE=∠DCA，要使△ABC≌△DEC，不能添加下列选项中的（　　）
A．∠A=∠D B．AC=DC C．AB=DE D．∠B=∠E
【答案】C
【解析】【解答】根据已知条件可得 ，
即 ，
∵BC=EC，
∴已知三角形一角和角的一边，根据全等条件可得：
可根据AAS证明，A不符合题意；
可根据SAS证明，B不符合题意；
不能证明，C故符合题意；
根据ASA证明，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定条件进行分析即可；
9．把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是
∵每一段不小于20cm，
不与前两段组成三角形的话， 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 此时剩下的 100，
实际上 那么前面四段中必有两段与 组成三角形.
∴a的最小值为6.
故选： D.
【分析】设其中最小的两段都是20cm根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解.
10．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，①符合题意；
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，②符合题意；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG 是等边三角形，
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，③符合题意；
过 C 作 CM⊥AE 于 M，CN⊥BD 于 N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC＝∠EOC，
∴OC 平分∠BOE，④符合题意；
故答案为：D．
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到 BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由 SAS 判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①符合题意；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②符合题意，同理证得 CF＝CG，得到△ CFG 是等边三角形，易得③符合题意．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是　 　.
【答案】3【解析】【解答】根据三角形的三边关系，
得： ，
解得 ，
故答案为 .
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，列不等式求解即可得出答案.
12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　.
【答案】230°
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°.
故答案为：230°.
【分析】根据内角和定理可得∠B+∠C＝130°，∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝360°-(∠B+∠C)，据此计算.
13．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：是的中线，
，
的周长的周长
，
的周长比的周长多，
故答案为：．
【分析】根据中线的定义可得出，进而得出的周长与的周长差，进而即可的外出答案。
14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC=　 　度.
【答案】75
【解析】【解答】解：∵将一副三角尺叠放在一起
∴∠ABC=∠ACB=45°
∠CAD=60°，∠ADC=30°
∵∠AEC+∠ACB+∠CAD=180°
∴∠AEC=180°-∠ACB-∠CAD=75°
故答案为：75°.
【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意可知∠ABC=∠ACB=45°，∠CAD=60°，∠ADC=30°，在△AEC中根据三角形内角和为180°可知∠AEC+∠ACB+∠CAD=180°即可得出∠AEC=75°即为答案.
15．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为，，的中点．且，则图中的面积=　 　 .
【答案】
【解析】【解答】∵点E是的中点，，
∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABD+S△ACD=（S△ABD+S△ACD）=S△ABC=，
∵点F是BE的中点，
∴S△CEF=S△BCE=，
故答案为：.
【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积可得S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，求出S△BCE=，再求出S△CEF=S△BCE=即可.
16．如图．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：延长AD，CF交于G，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
在△ABD与△GCD中， ，
∴△ABD≌△CDG，
∴AB=CG，∠BAD=∠G，
∵∠BAD=∠DEF，
∴∠DEF=∠G，
∴EF=FG，
∵AB=5，CF=2，
∴CG=5，
∴EF=FG=5﹣2=3．
故答案为：3．
【分析】延长AD，CF交于G，通过△ABD≌△CDG，得到AB=CG，∠BAD=∠G，等量代换得到∠DEF=∠G，由等腰三角形的性质得到EF=FG，等量代换即可得到结论．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知a、b、c是一个三角形的三边长．
（1）填空：______0，______0，______0．（填“>”“<”或“=”）
（2）化简：．
【答案】（1）>，>，<；
（2）解：由（1）得：
，，，
∴原式=a+b-c-(a+c-b)-(a-b-c)
=a+b-c-a-c+b-a+b+c
=．
【解析】【解答】（1）解：a、b、c是一个三角形的三边长，
∴，，a＜b+c，
∴，，，
故答案为：；；．
【分析】
（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”并结合不等式的性质即可判断求解；
（2）结合（1）的结论，根据绝对值的性质以及整式加减运算计算即可求解．
（1）解：a、b、c是一个三角形的三边长，
则，，
∴，，
故答案为：；；．
（2）
．
18．
（1）能否将一个三角形剖分成12个全等的小三角形
（2）一个三角形能否剖分成m2个全等的小三角形
【答案】（1）解：并非所有三角形皆可满足题目要求，如图①，正三角形可剖分成12个全等的小三角形.
（2）解：能；首先将所给三角形的三条边都分成 m 等份，然后在等分点处分别连线.
这样，可将三角形分成：1+3+5+7+…+(2m-1)=m2(个)小三角形.
【解析】【分析】(1)等边三角形分成4个全等的等边三解形，每个小等边三角形再分成3个全等三角形即可；
(2)受(1)的启发，将等边三角形分成4个小等边三角形共4=1+3个全等三角形，同理9=1+3+5个全等三角形.....即等边三角形分别m等分可将它分成m2个小三角形.
19．如图，在中，平分与相交于点H，．
（1）试说明的理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
，
。
（2）解：结合（1）可知，，
，
=，
，
．
【解析】【分析】（1）结合条件“ ”以及对顶角相等的性质，即可得出，此时利用“同旁内角互补、两直线平行”得出，此时利用“两直线平行、同位角相等”得出，最后根据角平分线的定义即可得出答案；
（2）结合（1）的证明步骤和结果，可以得出，然后利用“直角三角形两个锐角互余”计算得出=，结合角平分线的定义计算出=40°，最后利用三角形内角和列式计算即可求出．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
20． 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若的面积为，，求的长；
（2）若，，求的大小．
【答案】（1）解：是的中线，，
，
是的高，的面积为，
，
；
（2）解：在中，为它的一个外角，且，，
，
是的角平分线，
，
．
【解析】【分析】（1）利用面积法求解即可．
（2）求出∠ABC，再根据∠BAF=90°-∠ABC即可求解。
21．如图1，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，连接DC，BE，DC与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，∠BFC的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFC的度数；
（3）如图2，当小蚂蚁分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，请直接写出∠CQE的度数．
【答案】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，
∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化，其度数为120°；
（3）∠CQE＝60°
【解析】【解答】解：（3）由题可得，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出，再利用“SAS”证明 △ACD≌△CBE ；
（2）根据全等三角形对应角相等可得 ∠EBC＝∠ACD ，然后表示出 ∠BFC＝180°﹣∠ACB ，再根据等边三角形的性质求出 ∠ACB＝60° ，从而得到 ∠BFC＝120° ， ∠BFC 无变化；
（3）先证明，得到，再利用三角形外角性质求解。
22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD．
（1）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝　 　度．
（2）如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝　 　（用含x，y的代数式表示）．
（3）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由．
【答案】（1）25
（2）
（3）解：（2）中的结论成立，理由：
在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∵∠ACB＝y，
∴∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE
＝
＝
【解析】【解答】解：（1）根据题意，在三角形ABC中，∠B=30°，∠ACB=80°，
所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=70°，因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD=∠BAC=×70°=35°，
因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°，
所以∠CAE=90°-∠ACB=90°-80°=10°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=25°，
因为CF∥AD，所以∠CFE=∠DAE=25°；
（2）在三角形ABC中，∠B=x，∠ACB=y，所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-x-y，
因为AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAC=（180°-x-y），
因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°，所以∠CAE=90°-∠ACB=90°-y
所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=y-x；
（3）（2）中的结论成立，理由： 在△ABC中，∠B＝x，∠ACB＝y，
∠BAC＝180°-∠B-∠ACB＝180°-x-y，
因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD=∠BAC= （180°-x-y），
因为∠ACB＝y，
所以∠ACE＝180°-∠ACB＝180°-y，
因为AE⊥BC，
所以∠AEC＝90°，
所以∠CAE＝90°-∠ACE＝90°-（180°-y）＝y-90°，
所以∠DAE＝∠CAD+∠CAE
＝ （180°-x-y）+（y-90°）
＝ 90°-x-y-90°=y-x，
因为CF∥AD，所以∠CFE=∠DAE=y-x；
【分析】（1）在三角形中结合内角和定理求出∠BAC的度数，继而根据角平分线的性质求出∠CAD，继而求出∠DAE，根据直线平行的性质得到∠CFE的度数即可；
（2）同理，在三角形中结合内角和定理求出∠BAC的度数，继而根据角平分线的性质求出∠CAD，继而求出∠DAE，根据直线平行的性质得到∠CFE的度数即可；
（3）类比（2）中的结论，求出∠CFE的度数。
23．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题：
（1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果)
（2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线．
①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果)
②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由．
【答案】（1）180°
（2）解：①70°
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OAB＋∠OBA＋∠OCD＋∠ODC＝×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB＋∠OBA＝180° ∠AOB，
在△OCD中，∠OCD＋∠ODC＝180° ∠COD，
∴180°-∠AOB＋180°-∠COD＝180°，
∴∠AOB＋∠COD＝180°；
∴∠AOD＋∠BOC＝360°-（∠AOB＋∠COD）＝360°-180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠DAO＋∠ADO＝180°-∠AOD＝180°-90°＝90°，
∵∠DAO＝∠DAB，∠ADO＝∠ADC，
∴∠DAB＋∠ADC＝90°，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°，
∴AB∥CD
【解析】【解答】解：(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°
∴∠A+∠B+∠AOB+∠C+∠D+∠COD=360°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°
∴180°+∠AOB+∠COD=360°.
∴∠AOB+∠COD=180°.
故答案为：180°.
(2)①∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠AOB=110°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°
∵OA、OB 分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠DAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠DAB+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=140°
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=360°
∴∠ADC+∠BCD=360°-(∠DAB+∠ABC)=220°
∵OC、OD 分别平分∠BCD与∠ADC，
∴，，
∴，
∴∠COD=180-(∠ODC+∠OCD)=70°
故答案为：70°.
【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，将两式相加后再结合已知可求出∠AOB+∠COD的度数；
(2)①由三角形的内角和定理求出∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°，由角平分线定义求出∠DAB+∠ABC=140°，由四边形的内角和定理求出∠ADC+∠BCD=220°，由角平分线定义求出，最后再根据三角形的内角和定理可求出∠COD的度数；
②由交平分线定义及三角形内角和定理可得∠AOB+∠COD=180°，从而根据周角定义得出∠ADO+∠BOD=180°，结合已知可得∠AOD=∠BOC=90°，进而得出∠DAB+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出AB//CD.
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