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图形的轴对称 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，中，，，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，若∠DAF=20°，则∠BAC的度数是（　　）
A．90° B．100° C．105° D．120°
5．将一张正方形纸片按图①，图②折叠得到图③，然后剪掉图③中的阴影部分，将剩余纸片展开铺平后得到的图形是 （　　）
A． B． C． D．
6．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为 ，在y轴上有一点P使 的值最小，则点P坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，若 的面积为24， ，现将 沿 所在直线翻折，使点 落在直线 上的 处， 为直线 上一点，则线段 的长可能是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
8．如图，在中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若，则的周长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图， 在矩形 中， ， 点 是矩形 内一动点， 且 ， 则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AB=10cm，则△DEB的周长为　 　．
12．如图，在中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若，，P是直线MN上的任意点，则的最小值是　 　．
13． 如图，P是的平分线AD上一点，过点P作于点E.若，则点P到AB的距离是　 　.
14．如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF=　 　．
16．如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
18． 如图，在△ABC中，AC=AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE=70°，连结ED并延长ED交AB于点F.
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：△CDE≌△BDF.
19．下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程。
已知：如图1，∠AOB。
求作：射线 OC，使得OC 平分∠AOB。
作法：如图2，
①在射线 OA 上取点 M，使OM=3c m；
②作∠AMN=∠AOB；
③以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C。
所以射线 OC 就是所求的角平分线。
根据小帅的作图过程，
（1）求证：射线 OC 是∠AOB 的平分线；
（2）若点 C 到射线OB 的距离为2cm ，求△OCM 的面积。
20． 已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点P是直线CD上的点连BP，点A′是点A关于直线BP的对称点
（1）在图①中，当DP=1（点P在点D的左侧）时，计算DA′的值等于　 　；
（2）当DA′取值最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点A′，并简要说明点A′的位置如何找到的（不要求证明）
22．已知，，平分，平分．
（1）如图1，当，重合时，求的值；
（2）如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．
23．如图一，△ABC中，D是BC 的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG=CF；
（2）如图二，当∠A=90°时，猜想BE，CF，EF的数量关系，并说明理由；
（3）如图三，在(2)的条件下，当AB=AC时，求证ED=FD.
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图形的轴对称 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.本选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B.本选项图形是轴对称图形，符合题意；
C.本选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D.本选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A.
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10，则△EDB的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°，CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC，
∴△DBE的周长
=DE+EB+DE
=CD+DB+EB
=BC+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB
=10，
故选D．
【分析】求出Rt△ACD≌Rt△AED，推出AE=AC，△DBE的周长=DE+EB+DE=AB，即可求解．
3．如图，中，，，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，所以BD=DC，即又因为，所以
故答案为：C.
【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，三角形的内角和为180度.
4．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，若∠DAF=20°，则∠BAC的度数是（　　）
A．90° B．100° C．105° D．120°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AF=CF，
∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，
∵∠ADF=∠BAD＋∠B=2∠BAD，∠AFD=∠CAF＋∠C=2∠CAF，
∵∠DAF=20°，
∴∠ADF+∠AFD=180° ∠DAF=160°，
∴2∠BAD+2∠CAF=160°，
∴∠BAD+∠CAF=80°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAF+∠FAD=100°．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求出AD=BD，AF=CF，即可得到∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，又由∠DAF=20°，以求得∠BAD+∠CAF=80°，进而求得∠BAC的度数。
5．将一张正方形纸片按图①，图②折叠得到图③，然后剪掉图③中的阴影部分，将剩余纸片展开铺平后得到的图形是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据折叠方式，即可得出将剩余纸片展开铺平后得到的图形是 ：
故答案为：A.
【分析】根据折叠方式，即可得出答案。
6．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为 ，在y轴上有一点P使 的值最小，则点P坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图，将点 沿 轴对称至 ，连接 ，与 轴交于点 ，此时 的值最小，
设直线 的解析式为： ，将 代入解得 ，
则解析式为： ，与 轴交于点 ，
故答案为：D．
【分析】利用“将军饮马”的方法，先作点B关于y轴的对称点B'，再连接AB'，求出直线解析式，再将x=0代入计算即可求出点P的坐标。
7．如图，若 的面积为24， ，现将 沿 所在直线翻折，使点 落在直线 上的 处， 为直线 上一点，则线段 的长可能是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】D
【解析】【解答】如图，过B点作BM⊥AD于M点，作BN⊥AC于N点，△ABC面积为24，AC为6，故可得到BN=24×2÷6=8，因为△ABC翻转得到 ，故 ，所以有BM=BN=8，所以BP的最小值为8，选项中只有D选项大于8，
故答案为：D.
【分析】过B点作BM⊥AD于M点，作BN⊥AC于N点，P点在AD上运动，利用三角形的面积求出BN，进而得到BM，BM的长即为BP的最小值.
8．如图，在中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若，则的周长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，上的点在的垂直平分线上，
，
的周长为，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长公式计算即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．如图， 在矩形 中， ， 点 是矩形 内一动点， 且 ， 则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点P作EF⊥AD于E，交BC于F，作点D关于EF的对称点D'，连接PD'，CD'，
∴PD=PD'，
∴PC+PD=PC+PD'，
∴PC+PD的最小值为CD'，
∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AB=CD=4，BC=AD=6，∠ADC=90°，
∵，
∴，
∴，
解得：AE=2，
∴DE=4，
∴D'D=8，
∴，
∴PC+PD的最小值为，
故答案为：B.
【分析】过点P作EF⊥AD于E，交BC于F，作点D关于EF的对称点D'，连接PD'，CD'，从而有PC+PD=PC+PD'，得PC+PD的最小值为CD'，然后根据矩形的性质得AB=CD=4，BC=AD=6，∠ADC=90°，接下来利用三角形面积公式求出AE=2，得DE=4，进而求出D'D=8，最后利用勾股定理求出CD'的值即可.
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】【解答】解：
如图，过E作EF⊥AD于F.
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∵Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∵AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
.
故选A.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AB=10cm，则△DEB的周长为　 　．
【答案】6cm
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°，
∴CD=DE，DA平分∠EDC．
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE
又∵BC=AC
∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米．
故答案是：6．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=DE，DA平分∠EDC，进而再根据角平分线的性质定理得出AC=AE，然后根据三角形周长的计算方法及等量代换线段的和差即可算出 △DEB的周长 。
12．如图，在中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若，，P是直线MN上的任意点，则的最小值是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，连接PB．
∵MN垂直平分线段BC，
∴PC＝PB，
∴PA+PC＝PA+PB，
∵PA+PB≥AB＝BD+DA＝5+3＝8，
∴PA+PC≥8，
∴PA+PC的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】连接PB，利用线段的垂直平分线的性质，可知PC＝PB，进而得出PA+PC＝PA+PB≥AB，即可求解。
13． 如图，P是的平分线AD上一点，过点P作于点E.若，则点P到AB的距离是　 　.
【答案】12
【解析】【解答】解：由角平分线的性质可得F到AB的距离为：12
故答案为：12
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等求解即可。
14．如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是　 　．
【答案】21
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵平分， DF⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DF=3，∠AED=∠BED=∠BFD=90°，∠DBE=∠DBF，
∴△DBE≌△DBF（AAS），
∴BE=BF，
∵DA=DC，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴AE=CF=2，
∴AB=AE+BE=AE+BF=AE+BC+CF=9，
∴，
故答案为：21.
【分析】根据角平分线，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。
15．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF=　 　．
【答案】80°
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAE+∠CAF=50°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=130°-50°=80°．
故答案为80°．
【分析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，由∠BAC=130°，求得∠B+∠C的度数，继而得出答案。
16．如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为　 　．
【答案】45°
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得 ；结合 °， ，可计算 的度数．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）（1）平分，
，
；
（2）设，则，
根据题意得，
解得，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，进而即可求解；
（2）设，则，根据平角即可求出x，进而即可得到∠EOC的度数，再结合题意求出∠AOC的度数即可求解。
18． 如图，在△ABC中，AC=AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE=70°，连结ED并延长ED交AB于点F.
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：△CDE≌△BDF.
【答案】（1）解：∵CE∥AB，∠BCE=70°，
∴∠B=∠BCE=70°，
∵AC=AB，
∴∠ACD=∠B=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠B=90°-70°=20°；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠DFB，∠ECD=∠B，
在△CDE与△BDF中 ，
【解析】【分析】⑴ 根据平行线的性质可得∠B=∠BCE=70°，结合等腰三角形ABC中AC=AB，得到底角相等，再利用AD垂直BC的直角三角形性质求解∠CAD。
⑵ 由等腰三角形ABC中AD⊥BC可知CD=BD（三线合一），结合CE平行于AB得到内错角相等，再通过对顶角相等，应用ASA判定全等。
19．下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程。
已知：如图1，∠AOB。
求作：射线 OC，使得OC 平分∠AOB。
作法：如图2，
①在射线 OA 上取点 M，使OM=3c m；
②作∠AMN=∠AOB；
③以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C。
所以射线 OC 就是所求的角平分线。
根据小帅的作图过程，
（1）求证：射线 OC 是∠AOB 的平分线；
（2）若点 C 到射线OB 的距离为2cm ，求△OCM 的面积。
【答案】（1）证明：∵∠AMN=∠AOB，
∴MN∥OB，
∴∠MCO=∠BOC。
又∵MO=MC，
∴∠MCO=∠MOC，
∴∠MOC=∠BOC，即射线OC 是∠AOB 的平分线
（2）解：作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OC 平分∠AOB，
∴CD=CE=2cm，
【解析】【分析】(1)利用三角形中等边对等角得到∠MCO=∠MOC，再利用同位角相等，两直线平行得到MN∥OB，即可得到∠MCO=∠BOC，等量代换∠MOC=∠BOC即可证明；
(2)根据角平分线的性质得到CD=CE=2cm，然后利用三角形的面积公式计算即可.
20． 已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
在△BGD与△CFD中，，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）解：BE+CF＞EF．
连接EG，
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【解析】【分析】（1）根据BG∥AC，得出∠DBG=∠DCF，再由D为BC中点，得到BD=CD，最后根据ASA证明△BGD≌△CFD，得出BG=CF。
（2）根据△BGD≌△CF得到GD＝FD，BG＝CF，再由垂直平分线到线段端点的距离相等得到EG＝EF，最后根据在△EBG中三边关系即可得到BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF。
21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点P是直线CD上的点连BP，点A′是点A关于直线BP的对称点
（1）在图①中，当DP=1（点P在点D的左侧）时，计算DA′的值等于　 　；
（2）当DA′取值最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点A′，并简要说明点A′的位置如何找到的（不要求证明）
【答案】（1）
（2）解：如图2中，点A′即为所求．
①连接BD，
②在直线CD上截取BDP=BD=5，
③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE）
点A′即为所求．
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：DA′= = ，
故答案为 ．
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）①连接BD，②在直线CD上截取BDP=BD=5，③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE），点A′即为所求；
22．已知，，平分，平分．
（1）如图1，当，重合时，求的值；
（2）如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．
【答案】（1）解：因为平分，平分，
所以，．
所以；

（2）解：的值是定值．
根据题意，得：，则，．
因为平分，平分，
所以，，
所以；
（3）解：根据题意，得，
所以，
解得，
所以当旋转时，．

【解析】【分析】本题考查角运算、角平分线定义.（1）根据平分，平分，利用角平分线的定义可求出和的度数，将数据代入可求出答案；
（2） 根据题意可得：，利用角的运算可得：，，再根据角平分线的定义可求出，，利用角的运算可求出；
（3）根据题意得，据此可列出方程，解方程可求出的值，进而可求出答案．
（1）解：因为平分，平分，
所以，．
所以；
（2）解：的值是定值．
根据题意，得：，则，．
因为平分，平分，
所以，，
所以；
（3）解：根据题意，得，
所以，
解得，
所以当旋转时，．
23．如图一，△ABC中，D是BC 的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG=CF；
（2）如图二，当∠A=90°时，猜想BE，CF，EF的数量关系，并说明理由；
（3）如图三，在(2)的条件下，当AB=AC时，求证ED=FD.
【答案】（1）证明：∵D为BC中点，
∴BD=DC.
∵BG//AC，
∴∠GBC=∠C，∠BGD=∠DFC，
∴△GBD≌△FCD (AAS).
∴BG=CF.
（2）解：BE2+FC2=EF2.
∵△GBD≌△FCD，
∴GD=DF，
∵ED⊥GF，
∴ED为GF的垂直平分线，
∴EF=EG.
∵∠A=90°，AC//BG，
∴∠EBG=180-∠A=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
∴BE2+FC2=EF2.
（3）解：连接AD，如图
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠C=45°，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠EBD=∠DCA=∠FAD，
∵DE⊥DF，
∴∠BDE+∠BDG=∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠BDG=∠FDC，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴ED=FD.
【解析】【分析】（1）根据中点和平行线的性质得到BD=DC，∠GBC=∠C，∠BGD=∠DFC，从而证明△GBD≌△FCD (AAS)，即可证明.
（2）由（1）可知△GBD≌△FCD，从而得到GD=DF，继而证明出ED为GF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知EF=EG，根据平行线的性质可知∠EBG=90°，从而利用勾股定理得出BE2+FC2=EF2.
（3）连接AD，根据已知条件可以推导出AD=BD=DC，∠EBD=∠DCA=∠FAD，∠BDE=∠ADF，从而证明△AFD≌△BED（ASA），进而得出ED=FD.
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