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因式分解 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
2．已知x-y=1，xy=2，则.的值为（　　）
A． B．-2 C． D．2
3．利用因式分解计算（　　）
A．1 B．2023 C．2024 D．
4．因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
5．下列各式不能分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
7．已知三个实数a、b、c满足，，则（　　）
A．， B．， C． D．
8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（　　）
A．2560 B．490 C．80 D．49
9．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
10．若 有一个因式为 ，则k的值为（　　）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：=　 　.
12．-3(a-b)2·[2(a-b)3]·[ (a-b)]=　 　.
13．把多项式 分解因式的结果是　 　.
14．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a=　 　 　，b=　 　
15．分解因式：　 　
16．在实数范围内因式分解： 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式：
（1）
（2）
18．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M，P．
（2）将整式P因式分解．
（3）P的最小值为　 　
19．已知．
求的值；
求的值；
20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4与奇数的积吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
21．下面是某同学用 “换元法”对两个多项式进行因式分解的过程， 请将解题过程补充完整．
（1） ；
解： 设 ，
原式=
=
=
=
= 　 　
（2） ．
解： 设 ，
原式 　 　
22．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下：
．
这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：．
（2）若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由．
23．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
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因式分解 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在多项式中，系数4、6的最大公约数为2，相同字母的最低次幂是，所以多项式的公因式是．
故答案为：D．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
2．已知x-y=1，xy=2，则.的值为（　　）
A． B．-2 C． D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x-y=1，xy=2.
∴x2y-xy2=xy（x-y）=2×1=2.
故答案为：D.
【分析】根据观察、分析得：先把x2y-xy2提取公因式xy，得到x2y-xy2=xy（x-y），再把x-y=1，xy=2.整体代入，即可得到x2y-xy2的值.
3．利用因式分解计算（　　）
A．1 B．2023 C．2024 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
=
=2023×1
=2023
故答案为：B
【分析】提公因式计算即可求出答案.
4．因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵-12可以分成：-1×12，1×（-12），-2×6，2×（-6），-3×4，3×（-4），
m=p+q，即m=-1+12=11或m=1+（-12）=-11或m=-2+6=4或m=2+（-6）=-4或m=3+（-4）=-1或m=-3+4=1，
∵11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴mmax=11．
故选：C．
【分析】m=p+q，pq=-12，将-12可能的分解情况全部列出，再一 一代入m=p+q中计算，找出最大值.
5．下列各式不能分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. =2x(x-2) .
B. =(x+ )2 .
C. ，不能分.
D. =(1-m)(1+m).
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的含义分别进行判断即可。
6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【答案】C
【解析】【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），
∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，
∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，
故答案为：C．
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止，然后根据每一个因式对应的汉字即可得出密码信息。
7．已知三个实数a、b、c满足，，则（　　）
A．， B．， C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
或，即或，
故A，B结论错误，不符合题意；
，
，
故C结论错误，不符合题意，D结论正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】首先可以利用完全平方公式和平方差公式，得到，由此即可判断A，B，再求出即可判断C，D．
8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（　　）
A．2560 B．490 C．80 D．49
【答案】C
【解析】【解答】解：长方形的长为，宽为
∴长方形的面积为，周长为，
，
．
故选：C．
【分析】先对所给代数式进行因式分解，再根据“整体思想”代入求值.
9．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
10．若 有一个因式为 ，则k的值为（　　）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
【答案】C
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：=　 　.
【答案】a（x+a）2
【解析】【解答】解：ax2+2a2x+a3
=a（x2+2ax+a2）
=a（x+a）2.
故答案为：a（x+a）2.
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解即可。
12．-3(a-b)2·[2(a-b)3]·[ (a-b)]=　 　.
【答案】-4(a-b)6
【解析】【解答】解：-3(a-b)2·[2(a-b)3]·[ (a-b)]
=-3×2× ×(a-b)2(a-b)3(a-b)
=-4(a-b)6
故答案为：-4(a-b)6
【分析】把括号中的多项式a-b看成一个整体，然后利用单项式乘以单项式的乘法法则计算可得结果.
13．把多项式 分解因式的结果是　 　.
【答案】
【解析】【解答】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.
14．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a=　 　 　，b=　 　
【答案】；
【解析】【解答】解：∵x2﹣ax﹣1=（x﹣2）（x+b）=x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b=﹣1，b﹣2=﹣a，
b=，a=1，
故答案为：1，．
【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
15．分解因式：　 　
【答案】(b-1)(a-1)
【解析】【解答】解：原式=(ab-a)-(b-1)=a(b-1)-(b-1)=(b-1)(a-1).
故答案为：(b-1)(a-1).
【分析】根据分组分解因式解答即可.
16．在实数范围内因式分解： 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：令 ，
这里 ， ， ，
，
，
则 ，
故答案为：
【分析】先求出方程的解，、，再由进行分解因式。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【解析】【分析】（1）第一个多项式的特点：有两项，两项都能化成平方形式，且符号相反，因此利用平方差公式分解因式；
（1）第二个多项式含有公因式a，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
18．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M，P．
（2）将整式P因式分解．
（3）P的最小值为　 　
【答案】（1）解：根据题意， 得 .
（2）解：
（3）16
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：M=(3x2-4x-20)-3x（x-3）=3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20.
P=(3x2-4x-20)+（x+2）2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16.
（2）由题意可知：P=4x2-16
∴4x2-16=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）.
（3）∵P=4x2-16，x2≥0，
∴.只有当x=0时，P最小.
∵x=0时，p=-16.
∴P的最小值是-16.
【分析】（1）由3x2-4x-20是由整式3x（x-3）和M之和，可以知道M=(3x2-4x-20)-3x（x-3），然后去括号、合并同类项，即可求出M.由P是（3x2-4x-20）和（x+2）2的和可以知道：P=（3x2-4x-20）+（x+2）2，然后去括号、合并同类项，即可求出P的值.
（2）由（1）可知P=4x2-16，通过观察可以发现4x2-16中每一项都含有公因式4，所以先提取公因式4，然后发现（x2-4）符合平方差公式，所以继续因式分解，分解为：（x+2）（x-2）。所以最终P因式分解为4（x+2）（x-2）.
（3）由（1）可以知道P=4x2-16，而x2是非负数，所以只有当x=0时，P最小.那么当x=0时，p=-16.
所以可以知道P的最小值是-16.
19．已知．
求的值；
求的值；
【答案】解：（1）∵，
∴a2b-ab2
=ab（a-b）
=7×(-12)
=-84；
（2）a2+b2
=（a2-2ab+b2）+2ab
=（a-b）2+2ab
=72+2×（-12）
=49-24
=25．
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为ab（a-b），再将代入计算即可；
（2）先将代数式变形为（a-b）2+2ab，再将代入计算即可.
20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4与奇数的积吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
【答案】（1）解：28和2012这两个数是神秘数，理由见解析，
，是神秘数；
，是“神秘数”；
（2）解：由这两个连续偶数构造的神秘数是4与奇数的倍数，理由如下：
，
∵是奇数，
由和构造的神秘数是4与奇数的积．
（3）解：设两个连续奇数为和，
则，
由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，而两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数是4的偶数倍
两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义进行判断即可.
（2）化简两个连续偶数为和的平方差，再进行判断即可.
（3）设两个连续奇数为和，则，再进行判断即可.
（1）解：28和2012这两个数是神秘数，理由见解析，
，是神秘数；
，是“神秘数”；
（2）解：由这两个连续偶数构造的神秘数是4与奇数的倍数，理由如下：
，
∵是奇数，
由和构造的神秘数是4与奇数的积．
（3）解：设两个连续奇数为和，
则，
由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，而两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数是4的偶数倍
两个连续奇数的平方差不是神秘数．
21．下面是某同学用 “换元法”对两个多项式进行因式分解的过程， 请将解题过程补充完整．
（1） ；
解： 设 ，
原式=
=
=
=
= 　 　
（2） ．
解： 设 ，
原式 　 　
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1） =
故填：；
（2） 设 ， 则原式
.
故填：.
【分析】换元法的基本步骤：
1、观察多项式：分析多项式的结构，找出可能的换元对象. 这通常是那些在多项式中重复出现的表达式.
2、引入新变量：用一个新的变量来替换原多项式中的某个重复出现的表达式.
3、简化多项式：利用新变量，将原多项式转换为更简单的形式.
4、因式分解：对简化后的多项式进行因式分解.
5、恢复原变量：将新变量替换回原表达式，得到最终的因式分解结果.
22．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下：
．
这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：．
（2）若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）先把变形为，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可得答案.
（2）先把变形为，再分解因式得到，即可得，可判断是等腰三角形．
（1）解：
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
23．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
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