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分式与分式方程 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关于的方程中不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．化简 的结果为（　　）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（　　）
A． B． C． D．
4．同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
5．若把分式 中的 和 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
6． 某人上山和下山的路程都是 千米， 上山的速度为 千米/小时， 下山的速度为 千米/小时，则此人全程的平均速度为（　　）
A． 千米/小时 B． 千米/小时
C． 千米/小时 D． 千米/小时
7． 计算 的结果是 （　　）
A． B． C． D．a+b
8．某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作，每天平均耕作早地的亩数比耕作水田的亩数多4亩，该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数。设平均每天耕作水田亩，则可以得到的方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的分式的解为非负数，则a的范围为（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
10．下列运算正确的有（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．3 ﹣ =3
C．a6÷a3=a3 D． + =
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是　 　．
12． 要使有意义，则的范围为　 　．
13．若一个长方形的面积为 ， 长为 ， 则该长方形的周长为　 　．
14．若恒成立，则a+b=　 　.
15．已知 ，则分式 的值为　 　.
16．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解分式方程：
（1）
（2）
18．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
19．橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲。该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆。该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
20． 已知 .
（1） 化简 A；
（2） 当 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值.
21．据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料.已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍.
（1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？
（2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整：乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？
22．已知关于x的方程：-=1.
（1）当a=3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
23．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
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分式与分式方程 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列关于的方程中不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、B、C都符合定义；D中没有分式，故不是分式方程；
故选：D．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程，逐一分析选项即可．
2．化简 的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】原式= = = ，
故答案为：A．
【分析】先根据异分母分式相加减的法则计算每个小括号里面的，再把除式的分子与分母颠倒位置后与被除式相乘，结果为最简分式或整式.
3．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：解不等式得：；解不等式得：
由于不等式组有解，则
解分式方程，得：
由题意得：
解得：
当x=1时，它是分式方程的增根，不符合题意
∴
解得：
∴且
综合之，满足条件的a的取值范围为：且
所以满足条件的整数a的值为： 3， 2，0，1
则它们的和为：
故答案为：B
【分析】解关于x的不等式组，可求得a的取值范围，解分式方程可求得方程的解，再根据解非负及分式方程解存在的条件可求得a的取值范围，从而可确定a的整数值，最后求得结果．
4．同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-2）人参加聚餐，
根据题意，得．
故答案为：D．
【分析】设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-2）人参加聚餐，再根据“每人比原来多支付40元 ”直接列出方程即可。
5．若把分式 中的 和 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴把分式 中的 和 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判定即可。
6． 某人上山和下山的路程都是 千米， 上山的速度为 千米/小时， 下山的速度为 千米/小时，则此人全程的平均速度为（　　）
A． 千米/小时 B． 千米/小时
C． 千米/小时 D． 千米/小时
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得上山需要的时间为小时，下山需要的时间为小时，
∴此人全程的平均速度为千米/小时.
故答案为：C.
【分析】先根据时间等于路程除以速度得到上山需要的时间为小时，下山需要的时间为小时，进而根据平均速度=总路程除以总时间结合分式的化简即可求解.
7． 计算 的结果是 （　　）
A． B． C． D．a+b
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】先通分，再根据同分母分式的加法运算方法进行计算即可。
8．某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作，每天平均耕作早地的亩数比耕作水田的亩数多4亩，该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数。设平均每天耕作水田亩，则可以得到的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每天耕作水田x亩，则每天平均耕作早地的亩数为(x+4)亩，耕作36亩水田所用的时间为，耕作30亩旱地所用的时间为.
∵该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，
∴=2×，
故答案为：D.
【分析】设平均每天耕作水田x亩，则每天平均耕作早地的亩数为(x+4)亩，耕作36亩水田所用的时间为，耕作30亩旱地所用的时间为，然后结合题意即可列出方程.
9．已知关于x的分式的解为非负数，则a的范围为（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵分式方程的解为非负数且分式方程要有意义，
∴，
解得且，
故答案为：A.
【分析】先求出，再求出且，即可作答。
10．下列运算正确的有（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．3 ﹣ =3
C．a6÷a3=a3 D． + =
【答案】C
【解析】【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故此选项错误，不合题意；
B、3 ﹣ =2 ，故此选项错误，不合题意；
C、a6÷a3=a3，正确，符合题意；
D、 + = + = ，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式加减运算法则和同底数幂的除法运算法则、分式加减运算法则分别化简求出答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是　 　．
【答案】 且
【解析】【解答】解：两边同乘以
得：
解得：
检验： ， 得
又∵方程的解为负数，得
解得：
故：答案为
【分析】本题考查分式方程的解及分式有意义的条件（分母不为零）
12． 要使有意义，则的范围为　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：∵有意义
∴x-1≥0且x-3≠0
∴x≥1且x≠3
故答案为：x≥1且x≠3.
【分析】分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，根式内的代数式大于等于0，列不等式计算即可.
13．若一个长方形的面积为 ， 长为 ， 则该长方形的周长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：长方形的宽，则长方形的周长.
故填：4x.
【分析】先算出长方形的宽，再算周长.
14．若恒成立，则a+b=　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：等号右边=，
=，
∴
解得：
∴a+b=4.
故答案为：4.
【分析】先把右边的分式经过通分，化为和左边相同的形式，再把相同字母的系数相同，即等号左边的x的系数和等号右边的x的系数相等；等号两边的分子部分的常数项相等。列出方程，解出方程，求出a、b的值，进而求出a+b的值.
15．已知 ，则分式 的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：由 整理变形，转化为 ，∴ ，
故分式
故答案为： .
【分析】将原等式变为倒数，可得到 ，再求出分式 的倒数的值，然后可得到原分式的值.
16．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
解得：，
经检验，是方程得解，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
解得：，
检验，时，
所以不是原方程的解，
原分式方程无解．
【解析】【分析】本题以解分式方程为背景，考查了分式方程的解法及验根。
（1）两边乘以最简公分母化为整式方程，求解后代入分母检验。
（2）将分母化为相同形式后去分母，求解整式方程，将解代入最简公分母检验，判断是否为增根。
（1）解：，
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
解得：，
经检验，是方程得解，
所以分式方程的解是；
（2），
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
解得：，
检验，时，
所以不是原方程的解，
原分式方程无解．
18．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
【答案】（1），
（2）解：①由题意知，，，，
∴，整理得，，
∴，，，，
解得，，，
∴，，；
②解：由①可知，，整理得，
∴，
∴的值为3．
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
【分析】（1），，求解作答；
（2）①先根据，，，得出，从而可得，，，，求解作答即可；
②先根据，得到，再代入化简即可．
19．橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲。该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆。该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
【答案】（1）解：设该商店第一次购进这款书签个，则第二次购进这款书签个，
由题意得：，
解得：，
经检验，原分式方程的解（必须要检验）
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
（2）解：设第一次销售时每个书签的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
【解析】【分析】(1)根据单价=总消费÷个数，列出分式方程，进行求解即可.
(2)根据利润=销售额-成本列出一元一次不等式，求出即可.
20． 已知 .
（1） 化简 A；
（2） 当 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值.
【答案】（1）解：原式=
（2）解：不等式组的解集为
∵x为整数，
或，
①当时，
，
中，
∴当时，无意义.
②当时，
【解析】【分析】(1)根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可；
(2)首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可.
21．据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料.已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍.
（1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？
（2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整：乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？
【答案】（1）解：(1)设购买一个甲品牌材料需要x元，则购买一个乙品牌材料需要(x+50)元，
根据题意得：
解得：x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+50=80+50=130，
答：购买一个甲品牌材料需要80元，一个乙品牌材料需要130元
（2）解：(2)设该学校此次购买y个甲品牌材料，则购买(60－y)个乙品牌材料，
根据题意得：80y+130×0.8(60 y)≤6000
解得y≥10，
∵y为正整数，
∴y的最小值为10.
答：该学校此次最少购买10个甲品牌材料
【解析】【分析】(1)设甲品牌材料单价为未知数，根据“用3200元购买甲的数量是用2600元购买乙的数量的2倍”列分式方程求解；
(2)设购买甲品牌材料数量为未知数，根据“总费用不超过6000元”列一元一次不等式，求最小整数解。
22．已知关于x的方程：-=1.
（1）当a=3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
【答案】（1）当a=3时，原方程为-=1，
方程两边都乘(x-1)，得3x+1+2=x-1，
解这个方程，得x=-2.
经检验，x=-2是原分式方程的根.
∴这个方程的解为x=-2.
（2）方程两边都乘(x-1)，得
ax+1+2=x-1，
即(a-1)x=-4.
若原方程有增根，则x-1=0，
即增根为x=1.
将x=1代入整式方程，得a-1=-4，
解得a=-3.
∴a的值为-3.
【解析】【分析】（1）首先把a=3代入原方程，然后按照分式方程的解法，正确解分式方程即可；
（2）首先化分式方程为整式方程，然后根据方程有增根，把增根求出来，并代入转化后的整式方程，即可求得a的值。
23．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【答案】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，
解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，
解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，
∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：
=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
【解析】【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程，解方程即可求出答案.
②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较大小即可求出答案.
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