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分式与分式方程 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 函数中，自变量的取值范围是
A． B．
C． D．，且
2．化简 的结果是（　　)
A．x-1 B．x+1 C． D．
3．若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 的和为（　　）
A．6 B．16 C．18 D．20
4．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5． 解分式方程，去分母得（　　）
A． B．
C． D．
6．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
7．若a+b=3，ab=﹣7，则的值为（　　）
A．- B．- C．- D．-
8．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠3 D．a＞1且a≠3
9．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．化简 的结果是　 　．
12．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　．
13．计算 的结果是　 　
14．若关于的分式方程有增根，则的值为　 　．
15．已知，则　 　．
16．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解分式方程
（1） ＋ ＝2.
（2） ＋1＝ .
18．计划在某广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A种花木数量比B种花木数量的2倍少600棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A种花木60棵或B种花木40棵，应分别安排多少人种植A种花木和B种花木，才能确保同时完成各自的任务？
C方法提炼思维升华
19． 定义一种对应关系：，如，.解答下列问题：
（1） 求的值.
（2） 写出与之间的数量关系，并说明理由.
（3） 求的值.
20．某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半，
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
21．某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天.
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？
22．开州区某校为举行六十周年校庆活动， 特定制了系列文创产品， 其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的.
（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多， 而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
23．卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的倍，用元购进的卫龙辣条比用元购进的普通辣条多包.
（1）求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
（2）该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共包，并分别按元包、元包的价格全部售出若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大.
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分式与分式方程 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 函数中，自变量的取值范围是
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得x-1≠0，x≥0，
∴，且，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件结合题意即可得到x的取值范围。
2．化简 的结果是（　　)
A．x-1 B．x+1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可.
3．若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 的和为（　　）
A．6 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ＝1﹣ ，解得： 且 ，
∵关于y的分式方程 ＝1﹣ 的解为非负整数，
∴ ≥0且 ，即：a≥-2且a≠4，
∵ ，
∴ ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，即： ，
∴ 且a≠4，
∵ 是非负整数，
∴ ， ， ，
∴符合条件的所有整数a的和为：-2+1+7+10=16．
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 且a≠4，最后求解即可。
4．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，
根据等量关系即可得到，
故答案为：B．
【分析】设原计划每天植树x棵，则种植完400棵后实际每天植树x(1+25％)棵，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及实际用时比原计划提前4天，列出方程即可.
5． 解分式方程，去分母得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
两边同时乘以x-1，得
故答案为：A.
【分析】等式两边同时乘以x-1即可.
6．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【解析】【解答】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故答案为：C．
【分析】先求出分式方程的解为，再根式分式方程的解为正数且分母不为0可得且，最后求出m的取值范围即可。
7．若a+b=3，ab=﹣7，则的值为（　　）
A．- B．- C．- D．-
【答案】C
【解析】【解答】解：原式==，
∵a+b=3，ab=﹣7，
∴原式===﹣．
故选C．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a+b=3，ab=﹣7代入进行计算即可．
8．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠3 D．a＞1且a≠3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴3（x+a）﹣6a＝x﹣3，
整理，可得：2x＝3a﹣3，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴≥0，且≠3，
解得：a≥1且a≠3.
故答案为：C.
【分析】先解分式方程，把x用含a的代数式表示，然后根据分式方程的解是非负数和分式有意义的条件分别列出不等式，联立求解，即可解答.
9．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，
依题意，得 ．
故选A．
【分析】根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．
10．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．化简 的结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=
=
=﹣x
故答案为：﹣x
【分析】利用分式的加法求解即可。
12．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用概率公式及它是黑棋的概率，可得到关于a、b的方程，解方程用含a的代数式表示出b，然后将b代入代数式进行计算.
13．计算 的结果是　 　
【答案】
【解析】【解答】根据题意
故填：
【分析】分式计算的实质就是分式的化简，掌握平方差公式和约分化简的方法。
14．若关于的分式方程有增根，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘得，，
移项可得，，
又该分式方程有增根，即，，
．
故答案为：．
【分析】由题意，先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化后的整式方程中计算即可求解．
15．已知，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知条件进行通分，得到，再利用变形，进而即可求解．
16．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解分式方程
（1） ＋ ＝2.
（2） ＋1＝ .
【答案】（1）解：去分母得：x＋1＋2x2－2x＝2x2－2，
即1-x=-2
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解
（2）解：去分母得4+x2-1=（x-1）2
即x2+3=x2-2x+1
即2x=-2
解得x＝－1，
经检验，当x＝－1时，x2－1＝0，
则原方程无解
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以（x-1）（x+1）来去分母，转化为一元一次方程求解并检验.（2）方程两边同时乘以x2-1来去分母，转化为一元一次方程解得x＝－1，检验发现x＝－1是原方程的增根，故舍去，原方程无解.
18．计划在某广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A种花木数量比B种花木数量的2倍少600棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A种花木60棵或B种花木40棵，应分别安排多少人种植A种花木和B种花木，才能确保同时完成各自的任务？
C方法提炼思维升华
【答案】（1）解：设 种花木的数量为 棵， 种花木的数量为 棵， 由题意， 得
解得
答： 种花木的数量为 4200 棵， 种花木的数量为 2400 棵．
（2）解：设应安排 人种植 种花木， 由题意， 得
，
解得 ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意．
．
答： 应安排 14 人种植 种花木、 12 人种植 种花木， 才能确保同时完成各自的任务．
【解析】【分析（1）由已知可得，此题有两个相等关系：A种花木的数量+B种花木的数量=6600， A种花木数量=B种花木数量的2倍-600。由两个未知数： A，B两种花木的数量分别是多少棵 。所以设两个未知数，根据两个等量关系列两个方程，组成方程组，解出此方程组即可.
（2）由（1）可知A种花木的数量为 4200 棵， B种花木的数量为 2400 棵. 通过分析可以得到此题的等量关系是：种完A种花木所用的时间=种完B种花木所用的时间。由工作时间=工作总量÷工作效率。已知A种花木的数量为 4200 棵， 每人每天能种植A种花木60棵 ，那么种植A种花木的人数成为未知数，所以设应安排 a 人种植 A种花木，那么种植B种花木的就有（26-a）人，所以可得方程：，解出此方程求出a的值，检验，求出（26-a）的值即可.
19． 定义一种对应关系：，如，.解答下列问题：
（1） 求的值.
（2） 写出与之间的数量关系，并说明理由.
（3） 求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：由题意可知，
∵，
∴，
∴
（3）解：=
=2×2024+1，
=4049.
【解析】【分析】(1)题直接代入定义计算即可；
(2)通过计算Δ(x)与的和，发现它们的和为定值；
(3)利用(2)的结论，将复杂的求和问题转化为多个固定值的和，再处理中间的特殊项.
20．某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半，
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【答案】（1）解：设一个测温枪需要x元，则购买一瓶洗手液需要元
解得 经检验是原分式方程的解
答：购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要25元、5元．
（2）解：设购买测温枪a个，则购买洗手液瓶
解得
答：该学校最多可购买21个测温枪．
【解析】【分析】（1）设一个测温枪需要x元，列出分式方程求解；
（2）设购买测温枪a个，列出不等式求解.
21．某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天.
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】（1）解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
则，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，
解得：，
答：最多安排甲公司工作13天.
【解析】【分析】（1） 设乙公司每天安装间教室， 根据 乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天 这一数量关系列方程进行求解即可。解方程时要注意进行验根。
（2） 设安排甲公司工作天， 根据 安装总费用不超过22600元 列不等式进行求解，得出最大值。
22．开州区某校为举行六十周年校庆活动， 特定制了系列文创产品， 其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的.
（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多， 而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
【答案】（1）解：设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，
由题意得：，
解得：，
答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元；
（2）解：设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．
【解析】【分析】（1）设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，进而根据“其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的”即可列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，根据题意即可列出分式方程，从而即可求解。
23．卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎林祥南街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的倍，用元购进的卫龙辣条比用元购进的普通辣条多包.
（1）求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
（2）该便利店每月计划购进卫龙辣条、普通辣条共包，并分别按元包、元包的价格全部售出若普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大.
【答案】（1）解：设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
普通辣条的进价为1元，卫龙辣条的进价为2元；
（2）解：设购买卫龙辣条m包，则普通辣条(800-m)包，
普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的3倍，
，解得：，
设购进的辣条全部出售后获得的总利润为y元，
，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，最大，
答：购进卫龙辣条200包，普通辣条600包时，每个月的总获利最大.
【解析】【分析】（1）设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，根据总价除以单价等于数量及“用40元购进的卫龙辣条比用10元购进的普通辣条多10包 ”列出分式方程，再求解即可；
（2）设购买卫龙辣条m包，则普通辣条(800-m)包，根据“ 普通辣条的数量不少于卫龙辣条数量的倍 ”列不等式求出m的取值范围，设购进的辣条全部出售后获得的总利润为y元，根据销售完m包卫龙辣条的利润+销售（800-m）包普通辣条的利润等于总利润建立出y关于m的函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可.
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