资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平行四边形 单元综合优选检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD=DB，AE=EC，若DE=4，则BC长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上一点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．3
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.CE⊥AD于点E，AB＝2 ，AC＝4，BD＝8，则CE＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=2，则DC和EF的大小关系是（　　）
A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较
8．如图，在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．， B．
C． D．
9．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较长边的长度是（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
10．根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　）
A．两组对边的长分别是3和5
B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，CD＝10，AE＝4，则EF＝　 　.
12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是　 　．
13．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AB=　 　cm．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，在中，是对角线，，是的中点，平分，连结，.若，则的长为　 　.
16．在 中， 边上的高为4， ， ，则 的周长等于　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）已知，如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB//DC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连结CF，交AE于点G，（CF=CB=AE。
（1）若 求CE的长。
（2）求证：BE=CG-AG。
19．如图，在 ABCD中，直线EF过对角线BD的中点O，分别交AB， CD于点E， F，且2∠ABD=∠DBC.
（1）已知∠C=69°，求∠ADB的度数.
（2）猜想AE与CF的数量关系，并证明你的猜想.
20．如图，在中，，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
22． 如图，已知 ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝108°，求∠BAE的度数．
23．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平行四边形 单元综合优选检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【解析】【解答】解：A、当AB∥DC，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、当AB=DC，AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、当AB∥DC，AD=BC时，四边形ABCD也可以是等腰梯形，故此选项符合题意；
D、当OA=OC，OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案.
2．如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABM＝∠CMB，根据角平分线的概念可得∠ABM＝∠CBM，则∠CBM＝∠CMB，推出MC＝BC＝8，然后根据DM＝CD-MC进行计算.
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD=DB，AE=EC，若DE=4，则BC长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AD=DB，AE=EC，
∴BC=2DE=8，
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半进行解答即可．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上一点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD= BF=4，PD∥BC，
∴∠PDA=∠CBA，
同理，QD= AE=6，∠QDB=∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴PQ= ，
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠CAB+∠CBA=90°，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得出PD= BF=4，PD∥BC，根据二直线平行，同位角相等得出∠PDA=∠CBA，同理，QD= AE=6，∠QDB=∠CAB，进而得出∠PDQ=90°，然后在Rt△PDQ中，利用勾股定理算出PQ的长。
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.CE⊥AD于点E，AB＝2 ，AC＝4，BD＝8，则CE＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
是直角三角形， ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据勾股定理的逆定理可得 ，然后利用勾股定理可得 的长，最后利用三角形的面积公式即可得.
6．如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，由题意，用边角边可证，根据全等三角形的对应边相等可得，结合等角对等边可求解．
7．如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=2，则DC和EF的大小关系是（　　）
A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较
【答案】C
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=，
在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD=AB=，
∴CD=EF，
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理证明EF=AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD=AB，得到答案．
8．如图，在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．， B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定定理一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判断
能判定四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
9．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较长边的长度是（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】C
【解析】【解答】∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵两邻边的比是3：2，∴设平行四边形ABCD的两邻边是3x，2x，
∵平行四边形ABCD的周长是40，
∴2（3x+2x）=40，
解得：x=4，
∴较大边的长度是3×4=12．
故答案为：C．
【分析】从AB∥CD，AB=CD，得到四边形ABCD是平行四边形，得知周长和邻边之比可以得到较长边的长度。
10．根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　）
A．两组对边的长分别是3和5
B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
【答案】A
【解析】【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，CD＝10，AE＝4，则EF＝　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
；
， ，
，
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠AFB=∠FBC，根据角平分线的概念可得∠ABF=∠FBC，推出AB=AF，然后根据EF=AF-AE=AB-AE=CD-AE进行计算.
12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O．
求作：平行四边形ABCD．
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是　 　．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】【解答】解：∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形；作出平行四边形.
13．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AB=　 　cm．
【答案】3.2
【解析】【解答】解：在等腰梯形ABCD中，∠DAB=∠B=60°，AD=BC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB=30°，
∴∠DCA=DAC，
∴CD=AD=BC，
∵∠B=60°，∠CAD=30°，
∴∠ACB=90°，
∴BC=ABsin30°= AB，
∵梯形周长为8cm，
∴AB+AD+CD+BC=8，
∴ AB+AB=8，
∴AB=3.2cm．
故答案为：3.2．
【分析】由已知可推出AD=DC，△ABC为直角三角形，则根据三角函数可求得2BC=AB，再根据周长的值，即可求得AB的长．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】30
【解析】【解答】解：∵直角△ABC沿BC边平移3个单位得到直角△DEF，
∴AC＝DF，AD＝CF＝3，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴S平行四边形ACFD＝CF AB＝3×10＝30，
即阴影部分的面积为30．
故答案为：30．
【分析】根据平移的性质，可得四边形ACFD为平行四边形，通过平行四边形的面积公式，即可求解．
15．如图，在中，是对角线，，是的中点，平分，连结，.若，则的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图， 延长AB、CF交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD =∠BAC=90°，
，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF =∠CAF=45°，
在△AFH和△AFC中，
∴△AFH≌△AFC(ASA)，
∴AC = AH =12， HF =CF，
∴BH=AH--AB=7，
∵点E是BC的中点， HF =CF，
故答案为：
【分析】延长AB、CF交于点H， 由“ASA”可证△AFH≌△AFC， 可得AC=AH =12， HF=CF， 由三角形中位线定理可求解.
16．在 中， 边上的高为4， ， ，则 的周长等于　 　.
【答案】12或20
【解析】【解答】如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴ ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE=3，
∴BC=3﹣2=1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则 ABCD的周长等于12或20．
故答案为12或20．
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理进行解答即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）已知，如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB//DC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）解：
=2-4
=-2；
（2）证明：∵ABDC，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可。
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连结CF，交AE于点G，（CF=CB=AE。
（1）若 求CE的长。
（2）求证：BE=CG-AG。
【答案】（1）解：∵CF=CB=AE，BC= ，
∴AE=
∵AE⊥BC于点E，
（2）证明：如图，延长GA到点H，使得AH=BE，连结DH，CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠DAE=90°
∵BC=AE，
∴AE=DA
在△ADH和△EAB中，
∴△ADH≌△EAB(SAS)
∴DH=AB=DC，∠DHA=∠ABE
∴∠DHC=∠DCH
∵CB=CF，
∴∠CBF=∠CFB
∵AB∥CD，
∴∠CFB=∠DCF
∴∠CBF=∠DCF
∵∠DHA=∠ABE，
∴∠DHA=∠DCF
∵∠DHC=∠DCH，
∴∠CHG=∠HCG
∴CG=HG，即CG=AG+AH
∴AH=CG-AG
∵AH=BE，
∴BE=CG-AG
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出BE的长度，进而求出CE；
(2)延长GA到点H，使得AH=BE，连结DH，CH，构造△ADH≌△EAB，利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质来证明等式.
19．如图，在 ABCD中，直线EF过对角线BD的中点O，分别交AB， CD于点E， F，且2∠ABD=∠DBC.
（1）已知∠C=69°，求∠ADB的度数.
（2）猜想AE与CF的数量关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）解：在 ABCD中
∠C＋∠ABC＝180°
∴∠ABC＝180°－69°＝111°
∴∠ADB＝∠CBD＝
（2）解：AE＝CF.
在□ABCD中
OB＝OD，DC∥AB，DC＝AB
∴∠BDF＝∠DBE
∵∠DOF＝∠BOE
∴△BOE≌△DOF
∴DF＝BE，∴DC－DF＝AB－BE，即CF＝AE
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出∠ABC的度数，然后根据角的份数比求出∠ADB的度数即可；
（2）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到DF=BE，然后根据角的和差解答即可．
20．如图，在中，，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，．
在中，，．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：在中，
∵，，
由勾股定理，得．
由（1）得．
在中，
∵，，
由勾股定理，得．
∴．
答：的长为．
【解析】【分析】 本题考查平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）由，可得，由s可得，根据证明可得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由勾股定理求出，，根据可得结论．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
【答案】解：（1）∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=∠BAD，∠CDF=∠DCB，
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
【解析】【分析】（1）先利用角平分线定义求出∠BCD的度数，再利用平行四边形的性质求出∠ABC的度数即可；
（2）先利用平行四边形的性质和角平分线定义及等量代换可得∠ABE=∠CDF，再结合∠BAE=∠CDF，AB=CD，证出△ABE≌△CDF，最后利用全等三角形的性质可得BE=DF.
22． 如图，已知 ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝108°，求∠BAE的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠C＝108°，
∴∠B＝180°﹣108°＝72°，
∵BE＝CE，CE＝CD，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣72°）÷2＝54°．
【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得∠ADE=∠DEC，再由∠ADE=∠EDC，从而可得∠DEC=∠EDC，继而可证得CD=CE；
（2）由题意可得AD∥BC，AB=CD，继而可求得∠BAD的度数，AB=BE，从而可求得∠BAE的度数。
23．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，
，
，
∴在中：，
∵，
，，
，
在中，，
∵，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【解析】【解答】解：（3）如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形， ，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
故答案为：.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质可得DF=2，CF=2；同理在中含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AD，利用线段的和差运算即可得AF的值；
（2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，结合平行线的性质即可由AAS证明，得到，，进而得出，再利用HL证明，得到，即可得出结论；
（3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑