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第61课时　圆的方程
[考试要求]　1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识点1　圆的定义及方程
定义 平面上到________的距离等于________的点的集合(轨迹)
标准方程 ________________ 圆心________，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心________，半径________
知识点2　点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则________________．
[常用结论]
1．在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标．
1．(北师大版选择性必修第一册P44复习题一A组T2)已知圆C：2x2＋2y2＋4x－2y－1＝0，则圆心坐标为________，半径为________．
2．(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T4)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________．
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3．(人教B版选择性必修第一册P110练习B T4)已知坐标原点不在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的内部，则实数a的取值范围是________．
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4．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3)已知P1(4，9)，P2(6，3)两点，则以线段P1P2为直径的圆的标准方程是___________________________________________________________________．
考点一　圆的方程
[典例1]　(1)(2025·眉山三模)若圆C与x轴相切，且圆心坐标为(1，2)，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－4y＋1＝0
B．x2＋y2－2x－4y－1＝0
C．x2＋y2－2x－4y－3＝0
D．x2＋y2－2x－4y＋3＝0
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
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通性通法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．
(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法：即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数．
[多维变迁]
1．(2026·晋中模拟)已知圆C的一般方程为x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，则圆C的圆心坐标为(　　)
A．(3，2) B．(－3，2)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
2．(2025·广安开学考试)过A(0，0)，B(0，8)，C(6，0)三点的圆的标准方程为 ________．
考点二　与圆有关的轨迹问题
[典例2]　(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆C上的动点，AM与圆C相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　)
A．y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
(2)(2026·衡水模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(i)直角顶点C的轨迹方程；
(ii)直角边BC的中点M的轨迹方程．
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通性通法：求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
考点三　与圆有关的最值问题
[典例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
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[母题探究]
1．(变结论)本例条件不变，求x＋2y的最大值．
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2．(变结论)本例条件不变，求的最小值．
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3．(变结论)本例条件不变，求|x＋y＋2|的最小值．
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通性通法：与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2的最值问题．
(2)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
(3)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
[多维变迁]
已知M(－1，2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
[典例4]　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为(　　)
A．8 B．8
C．4 D．
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1．(链接考点一)(苏教版选择性必修第一册P61习题2.1T2)已知圆的内接正方形相对的两个顶点分别是A(5，6)，C(3，－4)，则这个圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－4x－2y＋7＝0
B．x2＋y2－8x－2y－9＝0
C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0
D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
2．(链接考点一)(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．(链接考点三)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
4．(链接考点二)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A(－3，0)，B(3，0)，动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为___________________________________________________．
第61课时　圆的方程
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　定点　定长　(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)　(a，b)　　
知识点2　(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2　(3)(x0－a)2＋(y0－b)2链教材·夯基固本
1．　　[将圆的方程化为标准方程(x＋1)2＋，
则圆心坐标为，半径r＝．]
2．(x－2)2＋y2＝10　[设圆心C的坐标为(a，0)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
则
解得a＝2，r2＝10，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10．]
3．[1，2)∪(2，＋∞)　[将(0，0)代入方程，则02＋02－a·0＋a－1≥0，得a≥1．
圆的方程可化为x2＋－a＋1，
∴－a＋1>0，∴a≠2，
∴实数a的取值范围为[1，2)∪(2，＋∞)．]
4．(x－5)2＋(y－6)2＝10　[法一：由题意得所求圆的圆心为线段P1P2的中点，即(5，6)，
半径为，
所以所求圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10．
法二：由圆的“直径式”方程知，圆的方程为(x－4)(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0，化为标准方程得(x－5)2＋(y－6)2＝10．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)A　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5
[(1)由已知得圆C的半径为2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2－2x－4y＋1＝0，故A正确．
故选A．
(2)法一：设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法二：设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则M，
∴
解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法三：设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0．
联立
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．]
多维变迁
1．C　[将圆C：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0化成标准方程，可得(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
所以圆C的圆心坐标为(3，－2)，故选C．]
2．(x－3)2＋(y－4)2＝25　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
因为圆经过A(0，0)，B(0，8)，C(6，0)三点，
则
故圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，
故圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．]
考点二
典例2　(1)B　[因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
因为点M是圆C上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆C相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0，
所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0．故选B．]
(2)解：(i)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(ii)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．
由(i)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
考点三
典例3　
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)＝k，即y＝kx．当直线y＝kx与圆相切时(如图1)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±．所以．
(2)法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．
如图2所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，截距b取最大值或最小值．
此时＝
，
解得b＝－2±．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
法二：令x＝2＋cos θ，y＝sin θ，θ∈[0，2π)，则y－x＝sin θ－2－cos θ
＝sin－2∈．
(3)法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方．由平面几何知识，知在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
法二：令x＝2＋cos θ，y＝sin θ，θ∈[0，2π)，x2＋y2＝7＋4cos θ∈[7－4，7＋4]．
母题探究
1．解：设x＝2＋cos θ，y＝sin θ(0≤θ<2π)，
则x＋2y＝2＋2sin θ＋cos θ＝2＋·sin(θ＋φ)，tan φ＝，
当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y取最大值2＋．
2．解：表示圆上的点到点(0，－1)的距离，
因为圆心(2，0)到点(0，－1)的距离为．
3．解：|x＋y＋2|＝×，表示圆上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的倍．
因为圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
故圆上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2，故|x＋y＋2|的最小值为4－．
多维变迁
3－1　[如图，曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3，1)为圆心，1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1．设M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点为H(m，n)，
则
解得即H(－3，－2)．连接HC，分别交直线x＋2y＋2＝0与圆C于P，N，连接PM，则|PM|＋|PN|≥|PM|＋|PC|－1＝|PH|＋|PC|－1≥|HC|－1，当且仅当P，H，C三点共线时取等号，此时取得最小值3－1，所以|PM|＋|PN|的最小值为3－1．]
教材拓展12
典例4　A　[以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，半径r＝4，
如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8．
所以△MAB面积的最大值为8．]
随堂·对点检测
1．B　[根据题意，圆的内接正方形相对的两个顶点分别是A(5，6)，C(3，－4)，则圆的圆心坐标为(4，1)，半径r＝×，则圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0．故选B．]
2．C　[法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r．因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a．
又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，解得a＝1，b＝1，所以r＝2．所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知条件得，线段AB的垂直平分线的方程是y＝x，
由
即圆心坐标为(1，1)，
所以r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．故选C．]
3．C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
4．(x－5)2＋y2＝16　[设M(x，y)，由＝2，得＝4，
可得(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，即x2－10x＋y2＋9＝0，
整理得(x－5)2＋y2＝16，故动点M的轨迹方程为(x－5)2＋y2＝16．]
1 / 6(共75张PPT)
第八章　解析几何
　第61课时　圆的方程
[考试要求]　1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
理法先行·题练固本
知识点1　圆的定义及方程
定义 平面上到____的距离等于____的点的集合(轨迹)
标准 方程 ______________________________ 圆心________，半径r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心______________，
半径_________________
定点
定长
　(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
　(a，b)
知识点2　点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则__________________________．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则__________________________．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则__________________________．
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2[常用结论]
1．在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．
2．圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标．
1．(北师大版选择性必修第一册P44复习题一A组T2)已知圆C：2x2＋2y2＋4x－2y－1＝0，则圆心坐标为______________，半径为______________．
　[将圆的方程化为标准方程(x＋1)2＋，
则圆心坐标为，半径r＝．]
2．(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T4)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是______________．
(x－2)2＋y2＝10　[设圆心C的坐标为(a，0)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
则
解得a＝2，r2＝10，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10．]
(x－2)2＋y2＝10
3．(人教B版选择性必修第一册P110练习B T4)已知坐标原点不在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的内部，则实数a的取值范围是____________________．
[1，2)∪(2，＋∞)　[将(0，0)代入方程，则02＋02－a·0＋a－1≥0，得a≥1．
圆的方程可化为x2＋－a＋1，
∴－a＋1>0，∴a≠2，
∴实数a的取值范围为[1，2)∪(2，＋∞)．]
[1，2)∪(2，＋∞)　
4．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3)已知P1(4，9)，P2(6，3)两点，则以线段P1P2为直径的圆的标准方程是__________________．
(x－5)2＋(y－6)2＝10　[法一：由题意得所求圆的圆心为线段P1P2的中点，即(5，6)，
半径为，
所以所求圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10．
法二：由圆的“直径式”方程知，圆的方程为(x－4)·(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0，化为标准方程得(x－5)2＋(y－6)2＝10．]
(x－5)2＋(y－6)2＝10　
考点深研·题型突破
考点一　圆的方程
[典例1]　(1)(2025·眉山三模)若圆C与x轴相切，且圆心坐标为(1，2)，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－4y＋1＝0 B．x2＋y2－2x－4y－1＝0
C．x2＋y2－2x－4y－3＝0 D．x2＋y2－2x－4y＋3＝0
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为_____________________．
√
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
(1)A　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　[(1)由已知得圆C的半径为2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2－2x－4y＋1＝0，故A正确．
故选A．
(2)法一：设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法二：设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则M，
∴
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
法三：设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0．
联立
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．]
通性通法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．
(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法：即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数．
[多维变迁]
1．(2026·晋中模拟)已知圆C的一般方程为x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，则圆C的圆心坐标为(　　)
A．(3，2) B．(－3，2)
C．(3，－2) D．(－3，－2)
√
C　[将圆C：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0化成标准方程，可得(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
所以圆C的圆心坐标为(3，－2)，
故选C．]
2．(2025·广安开学考试)过A(0，0)，B(0，8)，C(6，0)三点的圆的标准方程为 ________________________．
(x－3)2＋(y－4)2＝25　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F >0)，
因为圆经过A(0，0)，B(0，8)，C(6，0)三点，
则
故圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，
故圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．]
(x－3)2＋(y－4)2＝25　
【教用·备选题】
(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为___________________________________________
___________________________________________________________________________．
＝13或＝5
或(写出其中
任意一个即可)　
＝13或＝5或(写出其中任意一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过，
则
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即＝13；
若过，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即＝5；
若过，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即；
若过，
则
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即．]
考点二　与圆有关的轨迹问题
[典例2]　(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆C上的动点，AM与圆C相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　)
A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x
(2)(2026·衡水模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(i)直角顶点C的轨迹方程；
(ii)直角边BC的中点M的轨迹方程．
√
(1)B　[因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
因为点M是圆C上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆C相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0，
所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0．故选B．]
(2)[解]　(i)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(ii)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．
由(i)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
通性通法：求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
考点三　与圆有关的最值问题
[典例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)＝k，即y＝kx．当直线y＝kx与圆相切时(如图1)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±．所以．
(2)法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．
如图2所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，截距b取最大值或最小值．
此时，解得b＝－2±．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
法二：令x＝2＋cos θ，y＝sin θ，θ∈[0，2π)，
则y－x＝sin θ－2－cos θ＝sin－2∈．
(3)法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方．由平面几何知识，知在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
法二：令x＝2＋cos θ，y＝sin θ，θ∈[0，2π)，x2＋y2＝7＋4cos θ∈[7－4，7＋4]．
[母题探究]
1．(变结论)本例条件不变，求x＋2y的最大值．
[解]　设x＝2＋cos θ，y＝sin θ(0≤θ<2π)，
则x＋2y＝2＋2sin θ＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)，tan φ＝，
当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y取最大值2＋．
2．(变结论)本例条件不变，求的最小值．
[解]　表示圆上的点到点(0，－1)的距离，因为圆心(2，0)到点(0，－1)的距离为．
3．(变结论)本例条件不变，求|x＋y＋2|的最小值．
[解]　|x＋y＋2|＝，表示圆上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的倍．
因为圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，故圆上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2，故|x＋y＋2|的最小值为4－．
通性通法：与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2的最值问题．
(2)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
(3)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
[多维变迁]
已知M(－1，2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为______________．
3－1　
3－1　[如图，曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3，1)为圆心，1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1．设M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点为H(m，n)，
则
解得
即H(－3，－2)．连接HC，分别交直线x＋2y＋2＝0与圆C于P，N，连接PM，则|PM|＋|PN|≥|PM|＋|PC|－1＝|PH|＋|PC|－1≥|HC|－1，当且仅当P，H，C三点共线时取等号，此时取得最小值3－1，所以|PM|＋|PN|的最小值为3－1．]
【教用·备选题】
(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．|x－y＋3|的最小值是2
D．x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18
√
√
√
ABD　[曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝3，它表示圆心为C(1，0)，半径为的圆．
对于选项A，x2＋y2表示圆C上的点到定点O(0，0)的距离的平方，
故它的最大值为[]2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对于选项B，表示圆上的点与点P(－1，－1)的连线的斜率k，则圆心(1，0)到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d＝，可得2－≤k≤2＋，B正确；
对于选项C，|x－y＋3|表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，圆心到直线的距离d＝＝2(2)＝4－，故C错误；
对于选项D，x2＋y2＋4y＋5＝x2＋(y＋2)2＋1，它表示圆上的点到点P(0，－2)的距离的平方再加1，所以x2＋y2＋4y＋5的最值，就是圆上的点与P(0，－2)距离的平方的最值再加1，结合图象(图略)易知，最大值为(|PC|＋)2＋1＝()2＋1＝9＋2，最小值为(|PC|－)2＋1＝()2＋1＝9－2．所以x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18，故D正确．故选ABD．]
教材拓展12　阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
[典例4]　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为(　　)
A．8 B．8
C．4 D．
√
A　[以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，半径r＝4，
如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8．
所以△MAB面积的最大值为8．]
1．(链接考点一)(苏教版选择性必修第一册P61习题2.1T2)已知圆的内接正方形相对的两个顶点分别是A(5，6)，C(3，－4)，则这个圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－4x－2y＋7＝0
B．x2＋y2－8x－2y－9＝0
C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0
D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
√
B　[根据题意，圆的内接正方形相对的两个顶点分别是A(5，6)，C(3，－4)，则圆的圆心坐标为(4，1)，半径r＝，则圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0．故选B．]
2．(链接考点一)(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
√
C　[法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r．因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a．
又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，解得a＝1，b＝1，所以r＝2．所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知条件得，线段AB的垂直平分线的方程是y＝x，
由
即圆心坐标为(1，1)，
所以r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．故选C．]
3．(链接考点三)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
√
C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
4．(链接考点二)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A(－3，0)，B(3，0)，动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为______________．
(x－5)2＋y2＝16　[设M(x，y)，由＝2，得＝4，可得(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，即x2－10x＋y2＋9＝0，
整理得(x－5)2＋y2＝16，故动点M的轨迹方程为(x－5)2＋y2＝16．]
(x－5)2＋y2＝16　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
√
课时作业(六十一)　圆的方程
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝3．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T7改编)已知点P(1，－2)在圆C：x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0的外部，则k的取值范围是
(　　)
A．(－2，1) B．(1，2)
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[由x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0，得＋(y＋2)2＝3－k2，
由3－k2>0，解得－2∵点P(1，－2)在圆C的外部，∴1＋4＋k－8＋k2＋1>0，即k2＋k－2>0，得k<－2或k>1，②
由①②得1故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(2025·宜宾长宁县期末)已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．(x＋3)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋3)2＝5 D．(x－3)2＋y2＝5
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[由题意知，△ABC是直角三角形，且A＝90°，
∴圆的半径为，圆心为(－3，0)，
∴圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5．故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＋4＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
二、多项选择题
5．(2025·赣州月考)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[根据题意，圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，其圆心为(k，k)，半径为2．
依次分析选项：
对于A，圆心为(k，k)，其圆心在直线y＝x上，A正确；
对于B，圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4，
将(3，0)代入圆的方程可得(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝36－40＝－4<0，方程无解，B正确；
对于C，将(2，2)代入圆的方程可得(2－k)2＋(2－k)2＝4，解得k＝2±，故C错误；
对于D，由圆的方程可知圆的半径为2，则圆的面积为4π，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(2026·渭南模拟)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，下列说法正确的是(　　)
A．的最小值为－
B．x＋y的最小值为2－2
C．(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为5
D．点(x，y)到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BD　[如图，方程(x－2)2＋y2＝4表示以C(2，0)为圆心，半径r＝2的圆．对于A，表示点(－1，0)与圆上的点(x，y)的连线的斜率，设过点(－1，0)的直线的斜率为k，则y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，所以圆心C到该直线的距离d1＝≤2，解得－≤k≤，故A错误；对于B，令x＋y＝z，即x＋y－z＝0，
直线x＋y－z＝0与圆必有交点，则圆心C到该
直线的距离d2＝≤2，解得2－2≤z≤2＋2，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
即2－2≤x＋y≤2＋2，故x＋y的最小值为2－2，即B正确；对于C，(x＋2)2＋(y＋3)2表示圆上的点(x，y)到A(－2，－3)的距离的平方，令圆上的点(x，y)到A(－2，－3)的距离为d3，因为|AC|＝＝5，所以|AC|－r≤d3≤|AC|＋r，即3≤d3≤7，所以9≤(x＋2)2＋(y＋3)2≤49，故C错误；对于D，因为直线y＝kx＋2恒过点D(0，2)，又|CD|＝＝2，所以点(x，y)到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2，故D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
三、填空题
7．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为______________．
x2＋y2－2x＝0　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
x2＋y2－2x＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2026·九江模拟)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是______________．
[－1，3]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[－1，3]　[将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，
所以圆心C的坐标为(2，0)．
所以＝(2－x，－y)，又＝(－x，－y)，
所以＝x2＋y2－2x．
因为x2＋y2－4x＋3＝0，
所以x2＋y2＝4x－3，
所以＝4x－3－2x＝2x－3．
因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．
所以－1≤2x－3≤3，
从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
四、解答题
9．(2025·衡阳期末)已知圆C的圆心在直线x－3y＝0上，与y轴正半轴相切，且截直线l：2x－y＝0所得的弦长为4．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点B(－5，1)，M为线段AB上一点且满足＝3，记点M的轨迹为曲线E．
①求曲线E的方程，并说明曲线E的形状；
②在直线l上是否存在异于原点的定点T，使得对于E上任意一点P，为定值；若存在，求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，说明理由．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解]　(1)设圆心坐标为(3t，t)，
则由圆与y轴正半轴相切，可得半径r＝3|t|．
∵圆心到直线l的距离d＝t，由4＋5t2＝9t2，解得t＝±1，
故圆心坐标为(3，1)或(－3，－1)，半径等于3．
∵圆与y轴正半轴相切，∴圆心坐标只能为(3，1)，
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
(2)①设M(x，y)，A(m，n)，
∵M为线段AB上一点且满足＝3，
∴＝3，
∴(x－m，y－n)＝3(－5－x，1－y)，
∴
∵点A在圆C上运动，
题号
1
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∴(4x＋15－3)2＋(4y－3－1)2＝9，
∴(4x＋12)2＋(4y－4)2＝9，
∴(x＋3)2＋(y－1)2＝，
所以曲线E的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝，
它是一个以(－3，1)为圆心，以为半径的圆．
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②假设存在一点T(a，2a)满足条件，设P(x，y)，＝λ，
则(x－a)2＋(y－2a)2＝λ2(x2＋y2)，
整理得λ2(x2＋y2)＝x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2，
∵P在轨迹E上，
∴(x＋3)2＋(y－1)2＝，
化简得x2＋y2＝－6x＋2y－，
∴x(6λ2－2a－6)＋y(－2λ2－4a＋2)－λ2＋5a2＝0，
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∴
∴∴T(0，0)，
∵T异于原点，∴T不存在．
谢谢！课时作业(六十一)　圆的方程
一、单项选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
2．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T7改编)已知点P(1，－2)在圆C：x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0的外部，则k的取值范围是(　　)
A．(－2，1) B．(1，2)
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
3．(2025·宜宾长宁县期末)已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．(x＋3)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋3)2＝5 D．(x－3)2＋y2＝5
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
二、多项选择题
5．(2025·赣州月考)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
6．(2026·渭南模拟)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，下列说法正确的是(　　)
A．的最小值为－
B．x＋y的最小值为2－2
C．(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为5
D．点(x，y)到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2
三、填空题
7．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
8．(2026·九江模拟)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是________．
四、解答题
9．(15分)(2025·衡阳期末)已知圆C的圆心在直线x－3y＝0上，与y轴正半轴相切，且截直线l：2x－y＝0所得的弦长为4．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点B(－5，1)，M为线段AB上一点且满足＝3，记点M的轨迹为曲线E．
(ⅰ)求曲线E的方程，并说明曲线E的形状；
(ⅱ)在直线l上是否存在异于原点的定点T，使得对于E上任意一点P，为定值；若存在，求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，说明理由．
课时作业(六十一)
1．D　[化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝3．]
2．B　[由x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0，得＋(y＋2)2＝3－k2，
由3－k2>0，解得－2∵点P(1，－2)在圆C的外部，∴1＋4＋k－8＋k2＋1>0，即k2＋k－2>0，得k<－2或k>1，②
由①②得13．B　[由题意知，△ABC是直角三角形，且A＝90°，
∴圆的半径为，圆心为(－3，0)，
∴圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5．故选B．]
4．A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＋4＝16(y0>0)，
即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
5．ABD　[根据题意，圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，其圆心为(k，k)，半径为2．
依次分析选项：
对于A，圆心为(k，k)，其圆心在直线y＝x上，A正确；
对于B，圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4，
将(3，0)代入圆的方程可得(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝36－40＝－4<0，方程无解，B正确；
对于C，将(2，2)代入圆的方程可得(2－k)2＋(2－k)2＝4，解得k＝2±，故C错误；
对于D，由圆的方程可知圆的半径为2，则圆的面积为4π，故D正确．
故选ABD．]
6．
BD　[如图，方程(x－2)2＋y2＝4表示以C(2，0)为圆心，半径r＝2的圆．对于A，表示点(－1，0)与圆上的点(x，y)的连线的斜率，设过点(－1，0)的直线的斜率为k，则y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，所以圆心C到该直线的距离d1＝≤2，解得－≤k≤，故A错误；对于B，令x＋y＝z，即x＋y－z＝0，直线x＋y－z＝0与圆必有交点，则圆心C到该直线的距离d2＝≤2，解得2－2≤z≤2＋2，即2－2≤x＋y≤2＋2，故x＋y的最小值为2－2，即B正确；对于C，(x＋2)2＋(y＋3)2表示圆上的点(x，y)到A(－2，－3)的距离的平方，令圆上的点(x，y)到A(－2，－3)的距离为d3，因为|AC|＝＝5，所以|AC|－r≤d3≤|AC|＋r，即3≤d3≤7，所以9≤(x＋2)2＋(y＋3)2≤49，故C错误；对于D，因为直线y＝kx＋2恒过点D(0，2)，又|CD|＝＝2，所以点(x，y)到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2，故D正确．故选BD．]
7．x2＋y2－2x＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
8．[－1，3]　[将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，
所以圆心C的坐标为(2，0)．
所以＝(2－x，－y)，
又＝(－x，－y)，
所以＝x2＋y2－2x．
因为x2＋y2－4x＋3＝0，
所以x2＋y2＝4x－3，
所以＝4x－3－2x＝2x－3．
因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．
所以－1≤2x－3≤3，
从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．]
9．解：(1)设圆心坐标为(3t，t)，
则由圆与y轴正半轴相切，可得半径r＝3|t|．
∵圆心到直线l的距离d＝t，由4＋5t2＝9t2，解得t＝±1，
故圆心坐标为(3，1)或(－3，－1)，半径等于3．
∵圆与y轴正半轴相切，∴圆心坐标只能为(3，1)，
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
(2)(i)设M(x，y)，A(m，n)，
∵M为线段AB上一点且满足＝3，
∴＝3，
∴(x－m，y－n)＝3(－5－x，1－y)，
∴
∵点A在圆C上运动，
∴(4x＋15－3)2＋(4y－3－1)2＝9，
∴(4x＋12)2＋(4y－4)2＝9，
∴(x＋3)2＋(y－1)2＝，
所以曲线E的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝，
它是一个以(－3，1)为圆心，以为半径的圆．
(ii)假设存在一点T(a，2a)满足条件，设P(x，y)，＝λ，
则(x－a)2＋(y－2a)2＝λ2(x2＋y2)，
整理得λ2(x2＋y2)＝x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2，
∵P在轨迹E上，
∴(x＋3)2＋(y－1)2＝，
化简得x2＋y2＝－6x＋2y－，
∴x(6λ2－2a－6)＋y(－2λ2－4a＋2)－λ2＋5a2＝0，
∴
∴∴T(0，0)，
∵T异于原点，∴T不存在．
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