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第62课时　直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求]　1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识点1　直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d．
由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ．
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ____0 Δ____0 Δ____0
几何观点 d____r d____r d____r
知识点2　圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝，则圆心距d＝|C1C2|＝．
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距与 半径的关系 ________ ________ ________ ________ ________
图示
公切线 条数 4 0 2 1 3
知识点3　直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝________．
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝．
[常用结论]
1．圆的切线方程的常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
①若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程．
②若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
1．(苏教版选择性必修第一册P66练习T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．不能确定
2．(北师大版选择性必修第一册P36练习T2改编)圆x2＋y2＝5在点P(1，2)处的切线方程为(　　)
A．x－2y＋3＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x＋2y－5＝0
D．2x－y－4＝0
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3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆C1与圆C2相交
B．圆C1与圆C2外切
C．两圆的圆心距为5
D．两圆的圆心距为3
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4．(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
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5．(湘教版选择性必修第一册P100练习T3改编)若圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是(　　)
A．x－1＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋1＝0
D．x－y－1＝0
考点一　直线与圆的位置关系
　位置关系的判断
[典例1]　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
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通性通法：判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
　弦长问题
[典例2]　(2025·肇庆三模)若直线l：x＋y－m＝0(m＞0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为m，则m＝(　　)
A． B．
C．2 D．2
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通性通法：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
　切线问题
[典例3]　若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
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[母题探究]
1．(变条件)若将本例3中“点P(2，3)”改为“点P(2，－2)”，其他条件不变，求直线l的方程．
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2．(变结论)若本例3中条件不变，求此切线长．
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通性通法：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
考点二　圆与圆的位置关系
[典例4]　(1)(2026·南昌模拟)已知圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－2y＋2＝0恰有三条公切线，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．2
(2)(2026·南京模拟)已知两圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0和C2：x2＋y2－6x－12y＋m＝0，
求：(i)当m取何值时两圆外切？
(ii)当m＝－9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
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通性通法：(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
[多维变迁]
1．(2025·上海黄浦区三模)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－9，11)
B．(－∞，－9)∪(11，＋∞)
C．(－25，－9)
D．(－25，－9)∪(11，＋∞)
2．(2025·马鞍山雨山区期末)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0的交点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x＋2y－3＝0
B．x2＋y2＋6x＋2y－3＝0
C．x2＋y2－6x－2y－3＝0
D．x2＋y2＋6x－2y－3＝0
1．(链接考向1)(2025·曲靖市期末)若直线y＝x＋a＋1与圆C：x2＋(y－2a)2＝a2相离，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)
C． D．
2．(链接考点二)(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．(链接考向2)(2025·泸州泸县期中)已知直线l：x－2y＋3＝0与圆C：x2＋y2－2x＋6y－15＝0相交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．5
C．2 D．10
4．(链接考向3)(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为___________________．
第62课时　直线与圆、圆与圆的位置关系
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　<　＝　>　>　＝　<
知识点2　d>r1＋r2　d<|r1－r2|　|r1－r2|知识点3　(1)2
链教材·夯基固本
1．B　[由题意可得<1，
即a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．]
2．C　[圆心为O(0，0)，kOP＝2，故切线的斜率为－，故切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0．]
3．BC　[圆C1：x2＋y2＝4，圆心为C1(0，0)，半径r＝2；圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，即(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径R＝3．因为|C1C2|＝＝5，R＋r＝5＝|C1C2|，所以两圆外切．]
4．　[圆心坐标为(1，2)，半径r＝2．
圆心到直线的距离d＝<2，所以直线与圆相交，
所以弦长l＝2＝2．]
5．B　[由圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，
将两圆方程作差，有(x2＋y2＋4x＋3y＋2)－(x2＋y2＋2x＋y)＝0，
整理可得x＋y＋1＝0，即公共弦所在直线方程为x＋y＋1＝0．
故选B．]
考点深研·题型突破
考点一
考向1　典例1　ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确；
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2r，∴直线l与圆C相离，B正确；
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD．]
考向2　典例2　C　[圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(1，－1)，半径r＝2，
直线l的方程为x＋y－m＝0，圆心到直线l的距离d＝(m>0)，
因为直线l：x＋y－m＝0(m>0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为m，
则m＝2，解得m＝2，
将m＝2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果符合题意．
故选C．]
考向3　典例3　解：∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．
法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0．
∵直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，
∴＝1，∴k＝，
∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0．
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
法二：①若直线l的斜率存在，
设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
与圆的方程联立消去y，得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，
∴k＝．此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0．
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
母题探究
1．解：∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．
∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，
即直线l的方程为x＝2．
2．解：点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为，
∴切线长为＝5．
考点二
典例4　(1)C　[圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－2y＋2＝0化为标准方程分别为(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)，x2＋(y－)2＝1，
∵两圆恰有三条公切线，
∴两圆外切，
∴|C1C2|＝r1＋r2，
∴＝|a|＋1，
∴a2＋3＝a2＋2|a|＋1，
∴|a|＝1，
∴a＝±1．]
(2)解：(i)由已知可得两个圆的方程分别为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，(x－3)2＋(y－6)2＝45－m，
两圆的圆心距d＝＝5，两圆的半径之和r1＋r2＝3＋，
若两圆外切，则3＋＝5，可得m＝41．
(ii)当m＝－9时，两圆的方程分别为 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，x2＋y2－6x－12y－9＝0，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x＋3y＋5＝0．
圆C1的圆心(－1，3)到公共弦所在的直线的距离d＝＝2，
可得弦长为2＝2．
多维变迁
1．D　[化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，
则k>－25，圆心坐标为C2(3，4)，半径为，
圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为C1(0，0)，半径为1，
要使圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6k－8y－k＝0没有公共点，
则|C1C2|>＋1或|C1C2|<－1，
即5>＋1或5<－1，解得－2511，
所以实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．
故选D．]
2．A　[由x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0，解得两圆交点为M与N，
因为所求圆经过此两点，则连接MN，MN即是所求圆的一条弦．
因为MN的斜率k1＝1，
所以其垂直平分线的斜率k2＝－1，MN的中点P(1，1)，
所以垂直平分线的方程为y＝－x＋2，
垂直平分线与直线x－y－4＝0的交点即为所求圆的圆心，
联立
解得所以圆心坐标为(3，－1)，
圆的半径r＝
＝，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝13，即x2＋y2－6x＋2y－3＝0．
故选A．]
随堂·对点检测
1．B　[圆C：x2＋(y－2a)2＝a2的圆心为C(0，2a)，半径R＝，
因为直线y＝x＋a＋1与圆C相离，
所以点C到直线y＝x＋a＋1的距离d＝，解得a<，
结合R＝>0，a≠0，可得实数a的取值范围是(－∞，0)∪．故选B．]
2．D　[由x2－4x＋y2＝0，得(x－2)2＋y2＝22，则圆心坐标为(2，0)，半径为2；由x2＋y2＋4x＋3＝0，得(x＋2)2＋y2＝12，则圆心坐标为(－2，0)，半径为1．
故两圆的圆心距为4，半径之和为3，
因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
故选D．]
3．C　[根据题意可知，圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝25的圆心C(1，－3)，半径r＝5，
圆心C到直线l的距离
d＝＝2，
所以|AB|＝2＝2．
故选C．]
4.5x－12y＋45＝0或x－3＝0　[圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心O(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，解得k＝，此时直线方程为5x－12y＋45＝0．
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]
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第八章　解析几何
　第62课时　直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求]　1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
理法先行·题练固本
知识点1　直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d．
由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ．
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ__0 Δ__0 Δ__0
几何观点 d__r d__r d__r
<
＝
>
>
＝
<
知识点2　圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝，
则圆心距d＝|C1C2|＝．
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距 与半径 的关系 _________ _____________ _____________________ _____________ ________
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2|d＝|r1－r2|　
d＝r1＋r2
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
图示
公切线 条数 4 0 2 1 3
知识点3　直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝___________．
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝．
2
[常用结论]
1．圆的切线方程的常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a) (x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
①若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程．
②若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
1．(苏教版选择性必修第一册P66练习T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．不能确定
√
B　[由题意可得<1，
即a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．]
2．(北师大版选择性必修第一册P36练习T2改编)圆x2＋y2＝5在点P(1，2)处的切线方程为(　　)
A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋2y－5＝0 D．2x－y－4＝0
√
C　[圆心为O(0，0)，kOP＝2，故切线的斜率为－，故切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆C1与圆C2相交
B．圆C1与圆C2外切
C．两圆的圆心距为5
D．两圆的圆心距为3
√
√
BC　[圆C1：x2＋y2＝4，圆心为C1(0，0)，半径r＝2；圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，即(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径R＝3．因为|C1C2|＝＝5，R＋r＝5＝|C1C2|，所以两圆外切．]
4．(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为______________．
　[圆心坐标为(1，2)，半径r＝2．
圆心到直线的距离d＝<2，
所以直线与圆相交，
所以弦长l＝2＝2．]
　
5．(湘教版选择性必修第一册P100练习T3改编)若圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是(　　)
A．x－1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋1＝0 D．x－y－1＝0
√
B　[由圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，
将两圆方程作差，有(x2＋y2＋4x＋3y＋2)－(x2＋y2＋2x＋y)＝0，
整理可得x＋y＋1＝0，即公共弦所在直线方程为x＋y＋1＝0．
故选B．]
考点深研·题型突破
考点一　直线与圆的位置关系
考向1　位置关系的判断
[典例1]　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
√
√
√
ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确；
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2r，∴直线l与圆C相离，B正确；
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD．]
通性通法：判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
考向2　弦长问题
[典例2]　(2025·肇庆三模)若直线l：x＋y－m＝0(m>0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为m，则m＝(　　)
A． B．
C．2 D．2
√
C　[圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(1，－1)，半径r＝2，
直线l的方程为x＋y－m＝0，圆心到直线l的距离d＝(m>0)，
因为直线l：x＋y－m＝0(m>0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为m，
则m＝2，
解得m＝2，
将m＝2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果符合题意．
故选C．]
通性通法：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
考向3　切线问题
[典例3]　若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
[解]　∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．
法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0．
∵直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，
∴＝1，∴k＝，∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0．
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
法二：①若直线l的斜率存在，
设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
与圆的方程联立消去y，得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，∴k＝．此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0．
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．
[母题探究]
1．(变条件)若将本例3中“点P(2，3)”改为“点P(2，－2)”，其他条件不变，求直线l的方程．
[解]　∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．
∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，
即直线l的方程为x＝2．
2．(变结论)若本例3中条件不变，求此切线长．
[解]　点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为，
∴切线长为＝5．
通性通法：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
【教用·备选题】
1．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．2
√
C　[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
圆的方程化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
2．(2025·上海普陀区期末)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)求过点(4，6)的圆的切线方程；
(2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交；
(3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程．
[解]　(1)根据题意，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，其圆心C(1，2)，半径为5，
设点(4，6)为点G，有(4－1)2＋(6－2)2＝25，
则点(4，6)在圆上，所以设要求切线斜率为k，
则kGC＝，则k＝－，
所以直线方程为y－6＝－(x－4)，即3x＋4y－36＝0．
(2)(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)变形为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得x＝3，y＝1，
所以直线l恒经过点(3，1)，
因为(3－1)2＋(1－2)2<25，所以点(3，1)在圆内部，
所以直线l与圆C恒相交．
(3)当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点(3，1)所在的直线垂直，
设弦的斜率为k1，则k1×＝－1，解得k1＝2，
弦方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，
所以圆心到直线的距离d＝，
所以弦长为2＝4．
考点二　圆与圆的位置关系
[典例4]　(1)(2026·南昌模拟)已知圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－2y＋2＝0恰有三条公切线，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．2
(2)(2026·南京模拟)已知两圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0和C2：x2＋y2－6x－12y＋m＝0，
求：(i)当m取何值时两圆外切？
(ii)当m＝－9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
√
(1)C　[圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－2y＋2＝0化为标准方程分别为(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)，x2＋(y－)2＝1，
∵两圆恰有三条公切线，∴两圆外切，
∴|C1C2|＝r1＋r2，
∴＝|a|＋1，
∴a2＋3＝a2＋2|a|＋1，
∴|a|＝1，
∴a＝±1．]
(2)[解]　(i)由已知可得两个圆的方程分别为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，(x－3)2＋(y－6)2＝45－m，
两圆的圆心距d＝＝5，两圆的半径之和r1＋r2＝3＋，
若两圆外切，则3＋＝5，可得m＝41．
(ii)当m＝－9时，两圆的方程分别为 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，x2＋y2－6x－12y－9＝0，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x＋3y＋5＝0．
圆C1的圆心(－1，3)到公共弦所在的直线的距离d＝＝2，可得弦长为2＝2．
通性通法：(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
[多维变迁]
1．(2025·上海黄浦区三模)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－9，11)
B．(－∞，－9)∪(11，＋∞)
C．(－25，－9)
D．(－25，－9)∪(11，＋∞)
√
D　[化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，
则k>－25，圆心坐标为C2(3，4)，半径为，
圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为C1(0，0)，半径为1，
要使圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6k－8y－k＝0没有公共点，
则|C1C2|>＋1或|C1C2|<－1，
即5>＋1或5<－1，解得－2511，
所以实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．
故选D．]
2．(2025·马鞍山雨山区期末)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0的交点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x＋2y－3＝0
B．x2＋y2＋6x＋2y－3＝0
C．x2＋y2－6x－2y－3＝0
D．x2＋y2＋6x－2y－3＝0
√
A　[由x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0，解得两圆交点为M与N，
因为所求圆经过此两点，则连接MN，MN即是所求圆的一条弦．
因为MN的斜率k1＝1，
所以其垂直平分线的斜率k2＝－1，MN的中点P(1，1)，所以垂直平分线的方程为y＝－x＋2，
垂直平分线与直线x－y－4＝0的交点即为所求圆的圆心，
联立
解得所以圆心坐标为(3，－1)，
圆的半径r＝，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝13，即x2＋y2－6x＋2y－3＝0．
故选A．]
1．(链接考向1)(2025·曲靖市期末)若直线y＝x＋a＋1与圆C：x2＋(y－2a)2＝a2相离，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)∪
C． D．
√
B　[圆C：x2＋(y－2a)2＝a2的圆心为C(0，2a)，半径R＝，
因为直线y＝x＋a＋1与圆C相离，
所以点C到直线y＝x＋a＋1的距离d＝，解得a<，
结合R＝>0，a≠0，可得实数a的取值范围是(－∞，0)∪．
故选B．]
2．(链接考点二)(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
√
D　[由x2－4x＋y2＝0，得(x－2)2＋y2＝22，则圆心坐标为(2，0)，半径为2；由x2＋y2＋4x＋3＝0，得(x＋2)2＋y2＝12，则圆心坐标为(－2，0)，半径为1．
故两圆的圆心距为4，半径之和为3，
因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
故选D．]
3．(链接考向2)(2025·泸州泸县期中)已知直线l：x－2y＋3＝0与圆C：x2＋y2－2x＋6y－15＝0相交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．5
C．2 D．10
√
C　[根据题意可知，圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝25的圆心C(1，－3)，半径r＝5，
圆心C到直线l的距离d＝＝2，
所以|AB|＝2＝2．
故选C．]
4．(链接考向3)(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________________________．
5x－12y＋45＝0或x－3＝0
5x－12y＋45＝0或x－3＝0　[圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心O(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，解得k＝，此时直线方程为5x－12y＋45＝0．
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·永州市期末)已知圆E：x2＋y2－6x－8y＝0，圆F：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，则这两圆的位置关系为(　　)
A．内含 B．相切
C．相交 D．外离
课时作业(六十二)　直线与圆、圆与圆的位置关系
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[根据题意，化简得E：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心为E(3，4)，r1＝5．
圆F：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为F(1，2)，半径r2＝1．
可得圆心距|EF|＝＝2，因为|EF|故选A．]
√
2．(2025·长沙月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，则直线l与圆C的公共点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．与m有关，不能确定
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[将直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，整理可得(2x＋y－13)m＋x＋y－9＝0，
令即直线l恒过定点P(4，5)，
将点P的坐标代入圆C中，可得(4－2)2＋(5－3)2＝8<16，
所以点P在圆C内，所以直线与圆相交，即直线与圆的公共点有2个．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2026·长春模拟)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(　　)
A． B．2
C． D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[联立
两式相减可得公共弦方程为x－y＋2＝0，
法一：联立
得x2＋2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝－2，即公共弦的端点坐标为(0，2)，(－2，0)，
根据两点之间的距离公式可得公共弦长d＝＝2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
法二：圆x2＋y2－4＝0的圆心坐标为(0，0)，半径r＝2，
圆心到公共弦的距离d1＝，
公共弦长d＝2＝2．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·吉林月考)已知直线l：ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则点P(a，b)(　　)
A．可能不在l上 B．一定在l上
C．可能在C外 D．一定在C上
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0，0)，半径r＝2，
可得圆心C到直线l：ax＋by－1＝0的距离d＝，
所以弦长|AB|＝2＝2＝2，
可得a2＋b2＝1，
将点P(a，b)代入直线l的方程可得a2＋b2＝1，所以点P在直线l上．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A． B．3
C．2 D．2－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝，要使切线长最小，则|PC|最小，而|PC|的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|min＝＝2．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则实数r的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2．当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当10)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－8y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB的方程为x－2y＝0
B．|AB|＝
C．线段AB的垂直平分线方程为2x＋y－2＝0
D．若点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为＋1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[根据题意，由x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心O1(1，0)，半径r＝1，由x2＋y2＋2x－8y＝0，得(x＋1)2＋(y－4)2＝17，则圆心O2(－1，4)，半径R＝．
对于A，联立得x－2y＝0，即直线AB的方程为x－2y＝0，A正确；对于B，圆心O1到直线AB的距离d＝，则|AB|＝2×，B错误；对于C，线段AB的垂直平分线即直线O1O2，由O1(1，0)，O2(－1，4)，易得直线O1O2的方程为2x＋y－2＝0，C正确；对于D，由圆心O1到直线AB的距离d＝，知点P到直线AB的距离的最大值为＋1，D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·昭通市期中)已知直线l：x＝ty－2，圆C：x2＋y2－4x－4＝0，则下列说法正确的有(　　)
A．若t＝1，则l与圆C相切
B．若l与圆C相交，则t<－1或t>1
C．圆C可能关于l对称
D．若t＝，则l被圆C截得的弦长为4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[由题可知，直线l过定点(－2，0)，
因为圆C：(x－2)2＋y2＝8，
所以圆心为C(2，0)，半径为2．
对于A，若t＝1，则圆心C(2，0)到直线x－y＋2＝0的距离为＝2，即圆心到直线的距离等于半径，
所以l与圆C相切，故A正确；
对于B，依题意，由圆心C(2，0)到直线x－ty＋2＝0的距离为<2，
解得t>1或t<－1，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，将(2，0)代入到l的方程，得2＝t×0－2不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C错误；
对于D，若t＝，圆心C(2，0)到直线x－y＋2＝0的距离为＝2，
则弦长为2＝4，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·盐城一模)已知圆O：x2＋y2＝4，点P(x0，y0)是圆O上的点，直线l：x－y＋＝0，则(　　)
A．直线l被圆O截得的弦长为2
B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1
C．
D．过点P向圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AD　[圆O：x2＋y2＝4的半径r＝2，圆心为O(0，0)．
对于A，点O到直线l的距离d＝＝1，所以弦长为2＝2，A正确；
对于B，因为圆心O到直线l的距离d＝1<2＝r，所以直线l与圆O相交，
此时劣弧上的点到直线l的距离的最大值为r－d＝1，所以劣弧上只有一个点满足题意，
优弧上有两个点符合题意，即圆O上共有3个点到直线l的距离为1，B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，令＝k，则y＝k(x－4)，由题意，直线kx－y－4k＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，
则≤2，解得－≤k≤，
所以式子，C错误；
对于D，由题意知，M(3，4)，且|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－1，
所以问题转化为求|PM|的最小值，
易知|PM|min＝|OM|－2＝－2＝3，
此时|PA|＝＝2，故D正确．
故选AD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
10．(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则实数r＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2　
2　[对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6．因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2．圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1，3)，圆心到直线l1的距离d＝，所以r＝＝2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2026·南昌模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若弦长|AB|＝，则实数a＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
0或－4　
0或－4　[圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1两个方程相减，
化简得2x－2y－a＝0，
即为直线AB的方程．
圆O2：x2＋(y－1)2＝1的圆心为O2(0，1)，半径r2＝1，
设点O2到直线AB的距离为d，则|AB|＝2，解得d＝，
解得a＝0或a＝－4．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2026·晋江模拟)若直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，则实数k＝ ______________．
　[圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，
圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为(6，0)，半径r2＝1，
显然两圆相离．
直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，
则解得k2＝，又k>0，则k＝．]
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·丽江二模)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．2x＋y－1＝0
阶段检测(十三)　第59～62课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意，设直线的方程为x－2y＋c＝0(c≠3)，
因为所求直线过点P(－1，3)，
所以－1－6＋c＝0，解得c＝7，
故所求直线的方程为x－2y＋7＝0．
故选A．]
√
2．(2026·绵阳模拟)若直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，则这两条直线间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：kx－2y＋1＝0(k∈R)平行，
则，解得k＝－1，
故直线l1：x＋2y－3＝0，直线l2：x＋2y－1＝0，
这两条直线间的距离为．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·大连期末)直线mx＋y－m－1＝0被圆x2＋y2＋2x－8＝0截得的最短的弦长为(　　)
A． B．2
C．4 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由题意，圆的方程x2＋y2＋2x－8＝0可化为(x＋1)2＋y2＝32，
所以圆心坐标为(－1，0)，半径r＝3，
直线mx＋y－m－1＝0化简可得直线y＝m(1－x)＋1，
所以直线过定点(1，1)，因为定点和圆心的距离d＝<3，
所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，
所以弦长最短为2＝4．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到
点(0，－2)的距离为＝2，
由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ，所以cos ，所以sin α＝2sin cos ＝2×．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·秦皇岛模拟)平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A(－2，1)，B(4，1)，△ABC的垂心为G(3，3)，则△ABC的九点圆的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋ B．(x＋2)2＋
C．(x－2)2＋ D．(x＋2)2＋
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[根据题意，设△ABC的九点圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由于A(－2，1)，B(4，1)，G(3，3)，
设AB中点为D，其坐标为(1，1)，AG中点为E，其坐标为，BG中点为F，其坐标为，
由△ABC的九点圆过D，E，F，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
则有
解得
故△ABC的九点圆的标准方程为(x－2)2＋．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2026·石家庄模拟)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋7＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由已知(x－1)2＋(y－1)2＝9，可知圆心坐标为(1，1)，半径r＝3，
圆心(1，1)到直线的距离为r＝，
所以圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上到直线3x－4y＋7＝0的距离为1的点共有4个．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·南京校级月考)下列说法错误的是(　　)
A．点(0，2)到直线y＝x＋1的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C．直线x－2y＋4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
D．经过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－4＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[对于A，点(0，2)到直线y＝x＋1的距离为d＝，选项A错误；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，如与x轴垂直的直线，所以选项B正确；
对于C，直线x－2y＋4＝0与两坐标轴的交点为A(－4，0)和B(0，2)，与两坐标轴围成的三角形面积是S△AOB＝×4×2＝4，选项C错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于D，直线过原点时，过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为y＝x，
直线不过原点时，过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－4＝0，所以选项D错误．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2026·苏州模拟)已知点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　)
A．两个圆外离
B．|PQ|的取值范围为[3，7]
C．两个圆上任意一点关于直线4x＋3y＝0的对称点仍在该圆上
D．两个圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[易知圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1．
将C2的方程化为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，得圆心为C2(3，－4)，半径r2＝1．
对于A，两圆的圆心距|C1C2|＝5>r1＋r2，所以两圆外离，故A正确；
对于B，|PQ|的最小值为|C1C2|－r1－r2＝3，最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝7，所以|PQ|的取值范围为[3，7]，故B正确；
对于C，两圆的圆心C1(0，0)，C2(3，－4)都在直线4x＋3y＝0上，所以直线4x＋3y＝0为两圆的对称轴，故C正确；
对于D，由A项知两圆外离，所以不存在公共弦，故D错误．故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值_________________________________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2(2，－2，，－中任意一个均可)　
2(2，－2，，－中任意一个均可)　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C(1，0)，半径R＝2，点C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2．由S△ABC＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_______________________________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3， 4)，半径为4，
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1　
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)，
点O到l的距离d＝＝1，
解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由题意得
解得y＝x－，
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．(北师大版选择性必修第一册P46复习题一C组T3)已知直线l与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，是否存在斜率为1的直线l使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　存在．设直线l的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为以AB为直径的圆恰好经过原点，
所以＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0．
由
得x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
整理得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，
由题意Δ＝(2b＋2)2－4×2(b2＋4b－4)>0，
即b2＋6b－9<0(*)．
而x1＋x2＝－＝－b－1，
x1x2＝，
所以b2＋4b－4＋b(－b－1)＋b2＝0，
所以b＝1或b＝－4，满足(*)式，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(人教B版选择性必修第一册P116练习B T4)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)若|AB|＝2，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求过点P(4，4)的圆C的切线方程．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)依题意，所求直线过圆心且与x－y＋1＝0垂直，易得圆心C(2，1)，
所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3．
(2)圆心(2，1)到直线AB：x－y＋1＝0的距离
d＝．
所以圆的半径r＝＝2，
所以＝2，解得m＝1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3)由题意知点P(4，4)在圆外，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y－4k＋4＝0，
由圆心到切线的距离等于半径2，
即＝2，解得k＝，
所以所求切线方程为5x－12y＋28＝0．
②当所求切线的斜率不存在时，过P点的直线方程为x＝4，圆心C到x＝4的距离为2，等于半径，故直线x＝4是圆C的切线．
综上，所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0．
谢谢！课时作业(六十二)　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单项选择题
1．(2025·永州市期末)已知圆E：x2＋y2－6x－8y＝0，圆F：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，则这两圆的位置关系为(　　)
A．内含 B．相切
C．相交 D．外离
2．(2025·长沙月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，则直线l与圆C的公共点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．与m有关，不能确定
3．(2026·长春模拟)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(　　)
A． B．2
C． D．2
4．(2025·吉林月考)已知直线l：ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则点P(a，b)(　　)
A．可能不在l上 B．一定在l上
C．可能在C外 D．一定在C上
5．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A． B．3
C．2 D．2－1
6．(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则实数r的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
二、多项选择题
7．(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－8y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB的方程为x－2y＝0
B．|AB|＝
C．线段AB的垂直平分线方程为2x＋y－2＝0
D．若点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为＋1
8．(2025·昭通市期中)已知直线l：x＝ty－2，圆C：x2＋y2－4x－4＝0，则下列说法正确的有(　　)
A．若t＝1，则l与圆C相切
B．若l与圆C相交，则t＜－1或t＞1
C．圆C可能关于l对称
D．若t＝，则l被圆C截得的弦长为4
9．(2025·盐城一模)已知圆O：x2＋y2＝4，点P(x0，y0)是圆O上的点，直线l：x－y＋＝0，则(　　)
A．直线l被圆O截得的弦长为2
B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1
C．的最大值是
D．过点P向圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为2
三、填空题
10．(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则实数r＝________．
11．(2026·南昌模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若弦长|AB|＝，则实数a＝________．
12．(2026·晋江模拟)若直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，则实数k＝ ________．
课时作业(六十二)
1．A　[根据题意，化简得E：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心为E(3，4)，r1＝5．
圆F：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为F(1，2)，半径r2＝1．
可得圆心距|EF|＝＝2，因为|EF|故选A．]
2．C　[将直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，整理可得(2x＋y－13)m＋x＋y－9＝0，
令即直线l恒过定点P(4，5)，
将点P的坐标代入圆C中，可得(4－2)2＋(5－3)2＝8<16，
所以点P在圆C内，所以直线与圆相交，即直线与圆的公共点有2个．
故选C．]
3．B　[联立
两式相减可得公共弦方程为x－y＋2＝0，
法一：联立
得x2＋2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝－2，即公共弦的端点坐标为(0，2)，(－2，0)，
根据两点之间的距离公式可得公共弦长d＝＝2．
法二：圆x2＋y2－4＝0的圆心坐标为(0，0)，半径r＝2，
圆心到公共弦的距离d1＝，
公共弦长d＝2＝2．
故选B．]
4．B　[圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0，0)，半径r＝2，
可得圆心C到直线l：ax＋by－1＝0的距离d＝，
所以弦长|AB|＝2
＝2＝2，
可得a2＋b2＝1，
将点P(a，b)代入直线l的方程可得a2＋b2＝1，所以点P在直线l上．
故选B．]
5．A　[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝，要使切线长最小，则|PC|最小，而|PC|的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|min＝＝2．故选A．]
6．B　[由题意得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2．当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当10)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B．]
7．ACD　[根据题意，由x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心O1(1，0)，半径r＝1，由x2＋y2＋2x－8y＝0，得(x＋1)2＋(y－4)2＝17，则圆心O2(－1，4)，半径R＝．
对于A，联立得x－2y＝0，即直线AB的方程为x－2y＝0，A正确；对于B，圆心O1到直线AB的距离d＝，则|AB|＝2×，B错误；对于C，线段AB的垂直平分线即直线O1O2，由O1(1，0)，O2(－1，4)，易得直线O1O2的方程为2x＋y－2＝0，C正确；对于D，由圆心O1到直线AB的距离d＝，知点P到直线AB的距离的最大值为＋1，D正确．故选ACD．]
8．ABD　[由题可知，直线l过定点(－2，0)，
因为圆C：(x－2)2＋y2＝8，
所以圆心为C(2，0)，半径为2．
对于A，若t＝1，则圆心C(2，0)到直线x－y＋2＝0的距离为＝2，即圆心到直线的距离等于半径，
所以l与圆C相切，故A正确；
对于B，依题意，由圆心C(2，0)到直线x－ty＋2＝0的距离为<2，
解得t>1或t<－1，故B正确；
对于C，将(2，0)代入到l的方程，得2＝t×0－2不成立，
故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C错误；
对于D，若t＝，圆心C(2，0)到直线x－y＋2＝0的距离为＝2，
则弦长为2＝4，故D正确．
故选ABD．]
9．AD　[圆O：x2＋y2＝4的半径r＝2，圆心为O(0，0)．
对于A，点O到直线l的距离d＝＝1，所以弦长为2＝2，A正确；
对于B，因为圆心O到直线l的距离d＝1<2＝r，所以直线l与圆O相交，
此时劣弧上的点到直线l的距离的最大值为r－d＝1，所以劣弧上只有一个点满足题意，
优弧上有两个点符合题意，即圆O上共有3个点到直线l的距离为1，B错误；
对于C，令＝k，则y＝k(x－4)，由题意，直线kx－y－4k＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，
则≤2，解得－≤k≤，
所以式子，C错误；
对于D，由题意知，M(3，4)，且|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－1，
所以问题转化为求|PM|的最小值，易知|PM|min＝|OM|－2＝－2＝3，
此时|PA|＝＝2，故D正确．
故选AD．]
10.2　[对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6．因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2．圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1，3)，圆心到直线l1的距离d＝，所以r＝＝2．]
11.0或－4　[圆O1：x2＋y2－2x＋a＝0与圆O2：x2＋(y－1)2＝1两个方程相减，
化简得2x－2y－a＝0，
即为直线AB的方程．
圆O2：x2＋(y－1)2＝1的圆心为O2(0，1)，半径r2＝1，
设点O2到直线AB的距离为d，则|AB|＝2，
解得d＝，
所以，
解得a＝0或a＝－4．]
12．　[圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，
圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为(6，0)，半径r2＝1，
显然两圆相离．
直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，
则解得k2＝，又k>0，则k＝．]
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