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第63课时　椭圆
[考试要求]　1．理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．掌握椭圆的简单应用．
知识点1　椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的一半称为半焦距．
(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
①若________，则集合P为椭圆；
②若________，则集合P为线段；
③若________，则集合P为空集．
知识点2　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1 (a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为________；短轴B1B2的长为________
焦距 |F1F2|＝________
离心率 e＝∈________
a，b，c 的关系 c2＝________
[常用结论]
1．若点P在椭圆上，O为坐标原点，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c．
2．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ．
(1)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc．
3．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．
1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1)如果椭圆＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是________．
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2．(北师大版选择性必修第一册P57练习T2)与椭圆＝1的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程为________．
3．(湘教版选择性必修第一册P126练习T3)若直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为________．
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4．(用结论)已知F(1，0)是椭圆C的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为________．
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考点一　椭圆的定义及应用
[典例1]　(1)(2025·合肥月考)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2，0)，离心率为．若A(0，1)，点P是C上的任意一点，则|PA|＋|PF|的最大值为(　　)
A．3＋ B．6
C．4＋ D．6＋
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(2)已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
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[母题探究]
1．(变条件)本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
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2．(变条件)若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
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思维建模：定义转化最值模型
第1步　定义转化：椭圆、双曲线：曲线上一点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离．
抛物线：曲线上一点到焦点的距离与到准线的距离互化．
第2步　判断最值：结合图形，一般三点共线时取得最值．
[多维变迁]
若动点P(x，y)满足方程＝8，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
考点二　椭圆的标准方程
[典例2]　(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆经过(2，－)，两点，则此椭圆的标准方程为________．
(3)已知椭圆与椭圆＝1有相同的离心率，且经过点(2，－)，则此椭圆的标准方程为________．
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通性通法：根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0)．
[多维变迁]
1．(人教A版选择性必修第一册P107例1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2025·黄冈二模)设abc≠0，“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”是“ac＞0”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
考点三　椭圆的几何性质
　离心率
[典例3]　(1)(2025·广州开学考试)若椭圆C的短轴长为焦距的倍，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·开封月考)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，PF1⊥PF2，|PF1|＝3|PF2|，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2025·南阳期末)已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
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通性通法：求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(3)数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
　椭圆中的最值与范围
[典例4]　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　)
的最大值为4
B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C．不存在点P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值为2
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通性通法：利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
[多维变迁]
1．已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为(　　)
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
2．(2026·广州模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且∠PF2F1为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
1．(链接考点一)(2025·咸阳期末)已知椭圆＝1的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|＋|PF2|的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
2．(链接考点二)(2026·哈尔滨模拟)曲线C：＝1，则“1＜m＜3”是“曲线C表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
3．(链接考点三)(多选)(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则(　　)
A．长轴的长为5
B．离心率e＝
C．F(3，0)是一个焦点
D．椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10
4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P112练习T3改编)已知椭圆过点(3，0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．
第63课时　椭圆
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)椭圆　焦点　焦距　(2)a>c　a＝c　a知识点2　2a　2b　2c　(0，1)　a2－b2
链教材·夯基固本
1.14　[根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又a2＝100，即a＝10，
所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14．]
2．＋y2＝1　[由题设，椭圆焦点为(±1，0)，则c＝1，
令椭圆的标准方程为＝1且a2>1，
又在椭圆上，
则＝1，
整理得4a4－9a2＋2＝(4a2－1)(a2－2)＝0，
解得a2＝2或a2＝(舍去)，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
3．　[x＝0时，y＝1，即b＝1；
y＝0时，x＝－2，即c＝2，
故a＝，
故e＝．]
4．＝1　[由题意可知|AB|＝3＝(a>0)，
又c＝1，解得a＝2，b2＝3，
所以椭圆C的方程为＝1．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)D　[已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为．
设C的左焦点为F'，半焦距为c(c>0)，
由题意得c＝2，e＝，
所以a＝3，
由椭圆的定义得|PF'|＋|PF|＝2a＝6，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF'|＋2a≤|AF'|＋2a＝6＋，
当点P为线段AF'的延长线与C的交点时取等号，
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋．
故选D．]
(2)解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．
母题探究
1．解：因为P，Q都在椭圆上，由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．
又因为|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周长为4×2＝8．
2．解：由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝3．
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|．
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以×|PF1|×|F1F2|＝××6＝，即△F1PF2的面积是．
多维变迁
A　[由题意得P(x，y)到A(－2，0)与B(2，0)的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹是以A(－2，0)与B(2，0)为焦点的椭圆，可得2a＝8，c＝2，所以a＝4，b2＝a2－c2＝16－4＝12，所以动点P的轨迹方程为＝1．故选A．]
考点二
典例2　(1)＋y2＝1或＝1
(2)＝1　(3)＝1或＝1　[(1)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＝1(a>b>0)．
由题意得
解得＋y2＝1．
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＝1(a>b>0)．
由题意得＝1．
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
法二：设椭圆的方程为＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意知
解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
(2)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－代入椭圆的一般方程，
得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(3)椭圆＝1的离心率e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＝1(a>b>0)，
所以
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
所以
所以
所以椭圆的标准方程为＝1．
所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
多维变迁
1．D　[由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知c＝2，
2a＝＋
＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为＝1．故选D．]
2．A　[若曲线ax2＋by2＝c为椭圆，
则椭圆的标准方程为＝1(a≠b)，
则>0，即ac>0，
所以由“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”可以推出“ac>0”，充分性成立；
当ac>0时，比如a＝b＝1，c＝1，此时曲线方程为x2＋y2＝1，它表示的是圆，而不是椭圆，
所以由“ac>0”不能推出“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”，必要性不成立，
所以“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件．
故选A．]
考点三
考向1　典例3　(1)B　(2)A　(3)C　[(1)由题意可得，2b＝2c，
所以b＝c，
所以a＝c，
所以e＝．
故选B．
(2)设|PF2|＝m，因为|PF1|＝3|PF2|，
所以|PF1|＝3m，
因为P为椭圆C上一点，所以3m＋m＝2a，即4m＝2a，
故|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF1⊥PF2，所以由勾股定理得
＝(2c)2，
得a2＝4c2，即，解得e＝，故A正确．
故选A．
(3)延长F1Q交F2P的延长线于M，连接OQ，
|PF1|＝|MP|，|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|OQ|＝|MF2|＝a，则Q的轨迹为以O为圆心、a为半径的圆，
∴Q与短轴顶点的最短距离为a－b＝，
∴a2＋b2－2ab＝，又a≠b，
∴，
则e＝．
故选C．]
考向2　典例4　AB　[对于A，依题意知a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴端点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，
所以|PB|＝，
又＝1，所以＝16－4，
所以|PB|＝
＝
＝，
又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝，故D错误．故选AB．]
多维变迁
1．D　[法一：由题意知A(－4，0)，F(2，0)，设M(x0，y0)，
则＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋＋2x0－8＋12－＋2x0＋4＝(x0＋4)2，因为－4≤x0≤4，
所以0≤≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F(2，0)，
设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，
连接MN，如图，
则
＝
＝－9＝(x0＋1)2＋－9＝＋2x0＋1＋12－－9＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因为－4≤x0≤4，
所以0≤≤16．故选D．]
2．　[由题意得，椭圆C上存在一点P，使得∠PF2F1为钝角，且|PF2|＝|F2F1|＝2c，
则|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，
因为∠PF2F1为钝角，所以∠PF2F1>45°，sin∠PF2F1>，
即，整理得a>(＋1)c，所以离心率e＝－1，
又点P不在x轴上时，a－c<|PF2|，
所以离心率的取值范围为．]
随堂·对点检测
1．D　[由已知得，a＝3，
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6．
故选D．]
2．B　[若曲线表示椭圆，则
解得1故“13．BCD　[把原方程化成标准方程，得＝1，于是a＝5，b＝4，c＝＝3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝，两个焦点坐标分别是(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点P到两焦点的距离的和等于2a＝10．故选BCD．]
4．＝1或＝1　[当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝3，，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为＝1．当椭圆的焦点在y轴上时，则b＝3，，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＝1．综上，椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
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第八章　解析几何
第63课时　椭圆
[考试要求]　1．理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．掌握椭圆的简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做____．这两个定点叫做椭圆的____，两焦点间的距离叫做椭圆的____，焦距的一半称为半焦距．
椭圆　
焦点
焦距
(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
①若____，则集合P为椭圆；
②若____，则集合P为线段；
③若____，则集合P为空集．
a>c
a＝c
a知识点2　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为__；短轴B1B2的长为__
焦距 |F1F2|＝__
离心率 e＝∈________
a，b，c 的关系 c2＝______
2a
2b
2c
(0，1)
a2－b2
[常用结论]
1．若点P在椭圆上，O为坐标原点，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c．
2．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＝1(a>b>0)时，设∠F1PF2＝θ．
(1)|PF1|·|PF2|≤＝a2．
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
(6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc．
3．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．
1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1)如果椭圆＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是______________．
14　[根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又a2＝100，即a＝10，
所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14．]
14　
2．(北师大版选择性必修第一册P57练习T2)与椭圆＝1的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程为______________．
＋y2＝1　[由题设，椭圆焦点为(±1，0)，则c＝1，
令椭圆的标准方程为＝1且a2>1，
又＝1，
整理得4a4－9a2＋2＝(4a2－1)(a2－2)＝0，
解得a2＝2或a2＝(舍去)，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
＋y2＝1
3．(湘教版选择性必修第一册P126练习T3)若直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为______________．
　[x＝0时，y＝1，即b＝1；
y＝0时，x＝－2，即c＝2，
故a＝，
故e＝．]
　
4．(用结论)已知F(1，0)是椭圆C的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为______________．
＝1　[由题意可知|AB|＝3＝(a>0)，
又c＝1，解得a＝2，b2＝3，
所以椭圆C的方程为＝1．]
＝1　
考点深研·题型突破
考点一　椭圆的定义及应用
[典例1]　(1)(2025·合肥月考)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为．若A(0，1)，点P是C上的任意一点，则|PA|＋|PF|的最大值为(　　)
A．3＋ B．6
C．4＋ D．6＋
√
(2)已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
(1)D　[已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为．
设C的左焦点为F'，半焦距为c(c>0)，
由题意得c＝2，e＝，
所以a＝3，
由椭圆的定义得|PF'|＋|PF|＝2a＝6，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF'|＋2a≤|AF'|＋2a＝6＋，
当点P为线段AF'的延长线与C的交点时取等号，
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋．
故选D．]
(2)[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．
[母题探究]
1．(变条件)本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
[解]　因为P，Q都在椭圆上，由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．
又因为|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周长为4×2＝8．
2．(变条件)若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝3．
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|．
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以×|PF1|×|F1F2|＝×6＝，即△F1PF2的面积是．
思维建模：定义转化最值模型
第1步　定义转化：椭圆、双曲线：曲线上一点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离．
抛物线：曲线上一点到焦点的距离与到准线的距离互化．
第2步　判断最值：结合图形，一般三点共线时取得最值．
【教用·通性通法】
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：判定椭圆的轨迹、求焦点三角形的周长、面积、弦长及离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
(3)利用定义实现距离的转化，利用三点共线关系求距离和差的最值问题．
[多维变迁]
若动点P(x，y)满足方程＝8，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
A　[由题意得P(x，y)到A(－2，0)与B(2，0)的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹是以A(－2，0)与B(2，0)为焦点的椭圆，可得2a＝8，c＝2，所以a＝4，b2＝a2－c2＝16－4＝12，所以动点P的轨迹方程为＝1．故选A．]
【教用·备选题】
(2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
B　[设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得
|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．
∵|AB|＝|BF1|，
∴|AF1|＋2|AB|＝4a．
又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，
∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，
又F2(1，0)，＝2，∴B．
将B点坐标代入椭圆方程＝1，得＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
考点二　椭圆的标准方程
[典例2]　(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_____________________．
(2)已知椭圆经过(2，－两点，则此椭圆的标准方程为______________．
(3)已知椭圆与椭圆＝1有相同的离心率，且经过点(2，－)，则此椭圆的标准方程为____________________________．
＋y2＝1或＝1　
＝1　
＝1或＝1
(1)＋y2＝1或＝1　(2)＝1　(3)＝1或＝1　[(1)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＝1(a>b>0)．
由题意得
解得＋y2＝1．
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＝1(a>b>0)．
由题意得＝1．
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
法二：设椭圆的方程为＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意知
解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
(2)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＝1．
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－代入椭圆的一般方程，
得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(3)椭圆＝1的离心率e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＝1(a>b>0)，
所以
解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
所以
所以
所以椭圆的标准方程为＝1．
所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
通性通法：根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0)．
[多维变迁]
1．(人教A版选择性必修第一册P107例1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程是
(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
D　[由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知c＝2，2a＝＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为＝1．故选D．]
2．(2025·黄冈二模)设abc≠0，“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”是“ac>0”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
√
A　[若曲线ax2＋by2＝c为椭圆，
则椭圆的标准方程为＝1(a≠b)，
则>0，即ac>0，
所以由“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”可以推出“ac>0”，充分性成立；
当ac>0时，比如a＝b＝1，c＝1，此时曲线方程为x2＋y2＝1，它表示的是圆，而不是椭圆，
所以由“ac>0”不能推出“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”，必要性不成立，
所以“曲线ax2＋by2＝c为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件．
故选A．]
考点三　椭圆的几何性质
考向1　离心率
[典例3]　(1)(2025·广州开学考试)若椭圆C的短轴长为焦距的倍，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·开封月考)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，PF1⊥PF2，|PF1|＝3|PF2|，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
√
(3)(2025·南阳期末)已知F1，F2是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
√
(1)B　(2)A　(3)C　[(1)由题意可得，2b＝2c，
所以b＝c，
所以a＝c，
所以e＝．
故选B．
(2)设|PF2|＝m，因为|PF1|＝3|PF2|，
所以|PF1|＝3m，
因为P为椭圆C上一点，所以3m＋m＝2a，即4m＝2a，
故|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF1⊥PF2，所以由勾股定理得＝(2c)2，
得a2＝4c2，即，解得e＝，故A正确．
故选A．
(3)延长F1Q交F2P的延长线于M，连接OQ，
|PF1|＝|MP|，|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|OQ|＝|MF2|＝a，则Q的轨迹为以O为圆心、a为半径的圆，
∴Q与短轴顶点的最短距离为a－b＝，
∴a2＋b2－2ab＝，又a≠b，∴，
则e＝．
故选C．]
通性通法：求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(3)数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
考向2　椭圆中的最值与范围
[典例4]　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　)
A．的最大值为4
B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C．不存在点P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值为2
√
√
AB　[对于A，依题意知a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴端点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，
所以|PB|＝，
又＝1，所以＝16－4，
所以|PB|＝＝，
又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝，故D错误．
故选AB．]
通性通法：利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
[多维变迁]
1．已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为(　　)
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
√
D　[法一：由题意知A(－4，0)，F(2，0)，设M(x0，y0)，
则＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋＋2x0－8＋12－＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因为－4≤x0≤4，
所以0≤≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F(2，0)，
设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，
连接MN，如图，
则＝－9＝(x0＋1)2＋－9＝＋2x0＋1＋12－－9＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因为－4≤x0≤4，
所以0≤≤16．故选D．]
2．(2026·广州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且∠PF2F1为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围为______________．
　
　[由题意得，椭圆C上存在一点P，使得∠PF2F1为钝角，且|PF2|＝|F2F1|＝2c，
则|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，
因为∠PF2F1为钝角，所以∠PF2F1>45°，sin∠PF2F1>，
即，整理得a>(＋1)c，所以离心率e＝－1，
又点P不在x轴上时，a－c<|PF2|，
所以离心率的取值范围为．]
【教用·教材拓展】
椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆＝1上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN．
性质2：PO平分切点弦MN．
性质3：S△MON的最大值为，S△MON的最小值为．
[典例]　(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何学创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：＝1的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则(　　)
A．椭圆Γ的离心率为
B．△MPQ面积的最大值为a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
√
√
√
ABD　[依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以＝2×a，所以△MPQ面积的最大值为a2，故B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为
F，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝a2，所以＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋ax0，又－a≤x0≤a，所以a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A，D，则B，k1＝，k2＝，
又＝0，
所以＝－，
所以k1k2＝－，故D正确．
故选ABD．]
1．(链接考点一)(2025·咸阳期末)已知椭圆＝1的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|＋|PF2|的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
D　[由已知得，a＝3，
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6．
故选D．]
√
2．(链接考点二)(2026·哈尔滨模拟)曲线C：＝1，则“1A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
√
B　[若曲线表示椭圆，则解得1故选B．]
3．(链接考点三)(多选)(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则(　　)
A．长轴的长为5
B．离心率e＝
C．F(3，0)是一个焦点
D．椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10
√
√
√
BCD　[把原方程化成标准方程，得＝1，于是a＝5，b＝4，c＝＝3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝，两个焦点坐标分别是(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点P到两焦点的距离的和等于2a＝10．故选BCD．]
4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P112练习T3改编)已知椭圆过点(3，0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为______________________________．
＝1或＝1　
＝1或＝1　[当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝3，，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为＝1．当椭圆的焦点在y轴上时，则b＝3，，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＝1．综上，椭圆的标准方程为＝1或＝1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
一、单项选择题
1．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
课时作业(六十三)　椭圆
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
D　[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝，故选D．]
√
2．(2025·秦皇岛山海关区二模)若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是(　　)
A．(0，36) B．(0，12)
C．(6，＋∞) D．(36，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B　[因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以0故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
3．(2025·成都期末)若焦点在y轴上的椭圆，则实数m的值为(　　)
A． B．9
C． D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B　[根据题意可知，
a2＝2m，b2＝16，c2＝2m－16，
所以e2＝，
解得m＝9．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
4．(2025·南宁月考)已知椭圆E：＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆E上任意一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．以上答案均不正确
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C　[因为椭圆E的方程为＝1，
所以a＝2，b＝，
则c＝＝1，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
5．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝－1，则C的方程为(　　)
A． B．＝1
C． D．＋y2＝1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B　[因为离心率e＝，b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，
因为＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
6．(2025·深圳龙岗区一模)若点O和点F分别为椭圆的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C　[由椭圆＝1可得F(－1，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
则(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
7．椭圆是椭圆上关于原点对称的两个点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A　[点A(0，b)，设 P(x0，y0)，Q(－x0，－y0)，
则kAP·kAQ＝，
又＝1，所以，得e＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
二、多项选择题
8．(苏教版选择性必修第一册P93习题3.1(2)T13改编)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　　)
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
ACD　[圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝，离心率e＝．以椭圆的中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为y轴、x轴建立平面直角坐标系(图略)，可得椭圆的方程为＝1．椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
9．(2026·洛阳模拟)已知椭圆C：＝1，则(　　)
A．a的取值范围为(－14，8)
B．若C的焦点在x轴上，则a>－2
C．若a＝，则C的焦距为6
D．若a＝2，则C的离心率为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
CD　[由椭圆C：＝1，
可得可得a∈(－14，－3)∪(－3，8)，A选项错误；
若C的焦点在x轴上，则14＋a>8－a>0，可得a∈(－3，8)，B选项错误；
若a＝，则C的焦距为2×＝6，C选项正确；
若a＝2，则C的离心率为，D选项正确．
故选CD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
10．下列说法正确的是(　　)
A．若F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为10
B．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为＝1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C．已知M为圆P：(x＋2)2＋y2＝36上的一个动点，定点Q(2，0)，线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N，则点N的轨迹方程为直线
D．已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
13
BD　[由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20，A错误；
设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＝1，B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
根据题意，作图如图所示，
易知|NM|＝|NQ|，则|NP|＋|NM|＝6，即|NP|＋|NQ|＝6>|PQ|＝4，故点N的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为＝1(a>b>0)，
则c＝2，2a＝6，则a＝3，故b＝，
则椭圆方程为＝1，C错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
所以m＋n＝10．在△PF1F2中，由余弦定理可得
(2c)2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·，可得64＝100－mn，得mn＝mnsin∠F1PF2＝，D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
三、填空题
11．(2026·株洲模拟)直线2x＋y－2＝0经过椭圆my2－nx2＝1的两个顶点，则该椭圆的离心率e＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
13
　
　[由题意知，直线2x＋y－2＝0过点(1，0)，(0，2)，
代入椭圆方程得解得m＝，n＝－1，
所以椭圆方程为＋x2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，所以离心率e＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
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13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
12．(2026·亳州模拟)已知P是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，则△F1PF2的面积为______________．
3　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
3　[由题意知，a＝5，b＝3，c＝＝4，所以||＝10，
因为cos〈〉＝，
且0°<〈〉<180°，所以∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝，
解得||＝12，则|·||sin∠F1PF2＝×12×．]
四、解答题
13．(2022·天津卷)已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N(N异于M)．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
题号
1
3
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4
6
8
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11
12
13
[解]　(1)由题意得 4a2＝3(b2＋a2) a2＝3b2，
所以椭圆的离心率e＝．
(2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，由题意易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－a2＝0，
由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0 3m2＝a2(1＋3k2)，①
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
xM＝－，yM＝kxM＋m＝，
由|OM|＝|ON|，可得m2＝，②
由S△OMN＝|m|·，③
联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6，
故椭圆的标准方程为＝1．
题号
1
3
5
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6
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13
谢谢！课时作业(六十三)　椭圆
一、单项选择题
1．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
2．(2025·秦皇岛山海关区二模)若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是(　　)
A．(0，36) B．(0，12)
C．(6，＋∞) D．(36，＋∞)
3．(2025·成都期末)若焦点在y轴上的椭圆＝1的离心率为，则实数m的值为(　　)
A． B．9
C． D．12
4．(2025·南宁月考)已知椭圆E：＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆E上任意一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．以上答案均不正确
5．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
6．(2025·深圳龙岗区一模)若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
7．椭圆＝1(a＞b＞0)的上顶点为A，点P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，若直线AP和AQ的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
8．(苏教版选择性必修第一册P93习题3.1(2)T13改编)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　　)
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
9．(2026·洛阳模拟)已知椭圆C：＝1，则(　　)
A．a的取值范围为(－14，8)
B．若C的焦点在x轴上，则a＞－2
C．若a＝，则C的焦距为6
D．若a＝2，则C的离心率为
10．下列说法正确的是(　　)
A．若F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为10
B．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为＝1
C．已知M为圆P：(x＋2)2＋y2＝36上的一个动点，定点Q(2，0)，线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N，则点N的轨迹方程为直线
D．已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为
三、填空题
11．(2026·株洲模拟)直线2x＋y－2＝0经过椭圆my2－nx2＝1的两个顶点，则该椭圆的离心率e＝________．
12．(2026·亳州模拟)已知P是椭圆＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为________．
四、解答题
13．(15分)(2022·天津卷)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足＝．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N(N异于M)．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
课时作业(六十三)
1．D　[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝，故选D．]
2．B　[因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以0可得椭圆短轴长：2∈(0，12)．
故选B．]
3．B　[根据题意可知，
a2＝2m，b2＝16，c2＝2m－16，
所以e2＝，
解得m＝9．
故选B．]
4．C　[因为椭圆E的方程为＝1，
所以a＝2，b＝，
则c＝＝1，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6．
故选C．]
5．B　[因为离心率e＝，
解得，b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，
则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，
因为＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
6．C　[由椭圆＝1可得F(－1，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6．]
7．A　[点A(0，b)，设 P(x0，y0)，Q(－x0，－y0)，
则kAP·kAQ＝＝－，
又＝1，所以，
得e＝．
故选A．]
8．ACD　[圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝，离心率e＝．以椭圆的中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为y轴、x轴建立平面直角坐标系(图略)，可得椭圆的方程为＝1．椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－．故选ACD．]
9．CD　[由椭圆C：＝1，
可得可得a∈(－14，－3)∪(－3，8)，A选项错误；
若C的焦点在x轴上，则14＋a>8－a>0，可得a∈(－3，8)，B选项错误；
若a＝，则C的焦距为2×
＝6，C选项正确；
若a＝2，则C的离心率为，D选项正确．
故选CD．]
10．BD　[由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20，A错误；
设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＝1，B正确；
根据题意，作图如图所示，
易知|NM|＝|NQ|，
则|NP|＋|NM|＝6，
即|NP|＋|NQ|＝6>|PQ|＝4，故点N的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为＝1(a>b>0)，
则c＝2，2a＝6，则a＝3，
故b＝，
则椭圆方程为＝1，C错误；
由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
所以m＋n＝10．在△PF1F2中，由余弦定理可得
(2c)2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·，可得64＝100－mn，得mn＝，
故mnsin∠F1PF2＝××，D正确．]
11．　[由题意知，直线2x＋y－2＝0过点(1，0)，(0，2)，
代入椭圆方程得解得m＝，n＝－1，
所以椭圆方程为＋x2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以离心率e＝．]
12.3　[由题意知，a＝5，b＝3，c＝＝4，所以||＋||＝10，
因为cos〈〉＝，
且0°<〈〉<180°，
所以∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得cos∠F1PF2
＝
＝
＝，
解得||||＝12，
则||·||sin∠F1PF2
＝×12×＝3．]
13．解：(1)由题意得 4a2＝3(b2＋a2) a2＝3b2，
所以椭圆的离心率e＝．
(2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，由题意易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－a2＝0，
由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0 3m2＝a2(1＋3k2)，①
xM＝－，yM＝kxM＋m＝，由|OM|＝|ON|，
可得m2＝，②
由S△OMN＝|m|·，③
联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6，
故椭圆的标准方程为＝1．
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