资源简介 第64课时 双曲线[考试要求] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用．知识点1 双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个________叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．①若________，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为________；③若________，则集合P为空集．知识点2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)图形性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R ________________对称性 对称轴：________；对称中心：________顶点 ________ A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线 y＝±x ____________离心率 e＝，e∈(1，＋∞)实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系 c2＝________1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(苏教版选择性必修第一册P106练习T3)若双曲线经过点(－，6)，且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则双曲线的方程是________．3．(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3改编)点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[常用结论]1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为．(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2．(5)若P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c．2．与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程为＝λ(λ≠0)．考点一 双曲线的定义及应用[典例1] (1)(多选)下列各选项正确的是( )A．已知动点M(x，y)满足＝4，则动点M的轨迹是双曲线的一支B．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1C．如果双曲线＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是4或12D．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究](综合变式)将本例(2)条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“＝0”，则△F1PF2的面积是多少？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑应用定义求解．考点二 双曲线的标准方程[典例2] (2025·景德镇昌江区校级期末)若双曲线C1与双曲线C2：＝1有相同渐近线，且C1过点(2，3)，则双曲线C1的标准方程为( )A．x2－＝1B．＝1C．＝1或＝1D．x2－＝1或y2－＝1_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2．(2)待定系数法：“先定型，再定量”，当双曲线焦点位置不确定时，可分类讨论；也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，求出m，n的值，即可得出双曲线方程．[多维变迁]1．(2025·保山一模)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝12．经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________________．考点三 双曲线的几何性质 离心率[典例3] (1)(2025·内江三模)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的焦距为2，则双曲线的离心率为( )A． B．C． D．(2)(2025·南昌月考)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则C的离心率等于( )A． B．C．2 D．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程，通过解方程求得离心率的值．[多维变迁](2025·上海月考)已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)的右焦点为F，点A(0，－a)，若双曲线的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A． B．(1，]C． D．[，＋∞) 渐近线[典例4] (1)(2026·杭州模拟)已知双曲线＝1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x(2)(2025·南昌期末)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且∠F1PF2＝，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：离心率与渐近线互求模型第1步 判断焦点位置．第2步 代公式．当焦点在x轴上时，e＝；当焦点在y轴上时，e＝(其中k为渐近线斜率)．第3步 解方程求渐近线斜率k或离心率e．[多维变迁](2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则实数m＝________． 几何性质的综合应用[典例5] (多选)(2025·深圳期末)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)经过点，且右焦点为F(，0)，C的虚轴为线段B1B2，P为C上任意一点，平面内一动点M满足|MB1|＝|MB2|，则( )A．C的渐近线方程为x±2y＝0B．C的实轴长为4C．|FM|的最大值为6D．|PM|的最小值为_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质．(2)利用函数，尤其是二次函数．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．[多维变迁]1．(多选)(2025·连云港月考)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)过点()和(2，3)，则下列说法正确的是( )A．实轴长为2B．焦距为4C．渐近线方程为y＝±xD．离心率为2．(2026·济南模拟)设双曲线C：＝1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点，则|PF1|＋的最小值为________．椭圆与双曲线的第二定义与第三定义1．第二定义：平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线．①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±．2．第三定义：平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)(或A(0，－a)，B(0，a))的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线，其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线．其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点．[典例6] 已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[典例7] (1)(2026·成都模拟)已知点A(1，0)，点B(－1，0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为( )A．－y2＝1B．－y2＝1(x≠±1)C．x2－＝1D．x2－＝1(x≠±1)(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在 C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )A． B．C． D．(3)椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )A． B．C． D．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(链接考点二)(苏教版选择性必修第一册P107习题3.2(2)T5，9改编)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＝1有相同的焦距，双曲线C的一条渐近线的方程为x－y＝0，则C的方程为( )A．－y2＝1或y2－＝1B．x2－＝1或y2－＝1C．－y2＝1或－x2＝1D．x2－＝1或－x2＝12．(链接考点一)(2026·榆林模拟)已知F1，F2分别为双曲线＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )A．＋4 B．－4C．－2 D．＋23．(链接考点三)(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．4．(链接考点三)(2025·连云港一模)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若＜0，则y0的取值范围是________．第64课时 双曲线理法先行·题练固本梳必备·破题有方知识点1 (1)定点 (2)ac知识点2 x∈R，y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) y＝±x a2＋b2链教材·夯基固本1.17 [根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17．又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17．]2．－x2＝1 [由题设，可设双曲线方程为x2－＝m且m≠0，又(－，6)在双曲线上，所以m＝3－＝－1，故双曲线的方程是－x2＝1．]3． [双曲线＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0．由点到直线的距离公式，得所求距离为．]考点深研·题型突破考点一典例1 (1)CD (2) [(1)对于A，设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|．故动点M的轨迹是射线，故选项A错误；对于B，设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1．又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)，故选项B错误；对于C，设双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝2，c＝＝4，则|PF2|＝8>6，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝4，即||PF1|－8|＝4，所以|PF1|＝4或|PF1|＝12，由于c－a＝2，故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选项C正确；对于D，不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2，故选项D正确．(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4，c2＝a2＋b2＝4，所以cos∠F1PF2＝＝．]母题探究 解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵＝0，∴⊥，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝2．考点二典例2 B [因为C1和C2有相同的渐近线，所以设双曲线C1的方程为＝1(λ≠0)，将(2，3)代入得＝1 λ＝－2，所以双曲线C1的标准方程为＝1．故选B．]多维变迁1．D [根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为y＝x，则过F2(c，0)且垂直于渐近线y＝x的直线方程为y＝－(x－c)，联立可得P，∴|PF2|＝＝b＝2，又F1(－c，0)，∴，∴，∴a2＋2＝2a，∴a＝，又b＝2，∴双曲线的方程为＝1．故选D．]2．＝1 [设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴∴双曲线的标准方程为＝1．]考点三考向1 典例3 (1)D (2)B [(1)因为双曲线－y2＝1(a>0)的焦距为2，即2c＝2，所以c＝，又b＝1，所以a＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝．故选D．(2)法一：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入＝1，解得y＝±，∴|AF1|＝．∵△ABF2为等边三角形，∴tan∠AF2F1＝＝tan 30°＝，∴．∴，即，解得离心率e＝(负值舍去)．法二：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入＝1，解得y＝±，∴|AF1|＝，|AB|＝，∵△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝|AB|＝，由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝2a，即＝2a，∴＝2，∴C的离心率e＝．故选B．]多维变迁 C [A(0，－a)，设双曲线的左焦点为F'，则|FP|－|PF'|＝2a，故而|PA|＋|PF|＝2a＋|PF'|＋|PA|≥2a＋|F'A|，∴|PA|＋|PF|的最小值为2a＋|F'A|＝2a＋，∵C的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，∴2a＋≤7，即≤7－2a，∴c2＋a2≤4a2－28a＋49，又c2＝a2＋1，可得a2－14a＋24≥0 a≥12(舍)或a≤2，∴a2≤4＝4(c2－a2)，可得e≥，∴离心率的取值范围是．故选C．]考向2 典例4 (1)B (2)D [(1)双曲线＝1的离心率为，则，解得m＝－4，故a＝，b＝2，则渐近线方程为y＝±x＝±x．故选B．(2)由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝3a，∵∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，∴cos∠F1PF2＝＝，即，化简得7a2＝4c2，又c2＝a2＋b2，∴，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选D．]多维变迁 －3 [双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±＝±x，故实数m＝－3．]考向3 典例5 ABD [设双曲线半焦距为c，则由已知可得c＝，因为双曲线C经过点＝1，联立所以双曲线C的方程为－y2＝1．对于A，因为a＝2，b＝1，所以C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故A正确；对于B，C的实轴长为2a＝4，故B正确；依题意，不妨设B1(0，1)，B2(0，－1)，设M(x，y)，动点M满足|MB1|＝|MB2|，所以，化简得x2＋(y＋2)2＝3，则点M的轨迹是以N(0，－2)为圆心，半径为的圆．对于C，点F到圆心N的距离d＝＝3，所以|FM|的最大值为3＋，故C错误；对于D，设P(x0，y0)为双曲线上任一点，则－4＝4，P到圆心N的距离为|PN|＝＝＝，当y0＝－时，|PN|最小，最小值为，故|PM|的最小值为，故D正确．故选ABD．]多维变迁1．ABC [因为双曲线＝1(a>0，b>0)过点()和(2，3)，所以则c＝＝2．对于A选项，实轴长为2a＝2，故A正确；对于B选项，焦距为2c＝4，故B正确；对于C选项，渐近线方程为y＝±x＝±x，故C正确；对于D选项，离心率为＝2，故D错误．故选ABC．]2.8 [a＝2，b＝，c＝5，|PF2|≥c－a＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝|PF2|＋4，|PF1|＋＝|PF2|＋＋4，|PF2|≥3，而函数y＝x＋＋4(x>0)在[3，＋∞)上单调递增，所以当且仅当x＝3时，ymin＝8．]教材拓展13典例6 [设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知，＝e＝，∴d＝|MF2|，∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－．]典例7 (1)D (2)A (3)B [(1)设动点M(x，y)，由于A(1，0)，B(－1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为4，整理得＝4，化简得x2－＝1(x≠±1)．故选D．(2) 法一(设而不求)：设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则由kAP·kAQ＝得kAP·kAQ＝＝1，得，所以，所以椭圆C的离心率e＝．法二(第三定义)：设右顶点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kAP·kAQ＝kPA·(－kPB)＝，由椭圆第三定义得kPA·kPB＝－，所以椭圆C的离心率e＝．(3)设点P(x，y)，则直线PA1的斜率为k1＝，直线PA2的斜率为k2＝，k1·k2＝．∵点P(x，y)满足＝1，∴x2＋＝4，即x2－4＝－，故k1·k2＝＝－，k1＝－，∵k2∈[－2，－1]，∴k1∈．故选B．]随堂·对点检测1．A [椭圆＝1的半焦距c＝＝2，则C的半焦距c'＝2．∵C的一条渐近线的方程为x－y＝0，∴可设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为＝1．当λ>0时，c'＝＝2，得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c'＝＝2，得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1．综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1．]2．C [因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝．故|AP|＋|AF2|的最小值为－2．]3.10 y＝±x [双曲线＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，∴实轴长为2a＝10，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．]4． [因为F1(－，0)，F2(，0)，＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3<0，即3－1<0，解得－1 / 10(共105张PPT)第八章 解析几何第64课时 双曲线[考试要求] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用．理法先行·题练固本知识点1 双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个____叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．定点(2)数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．①若____，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为________；③若____，则集合P为空集．a两条射线a>c知识点2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)图形标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R __________________对称性 对称轴：______；对称中心：____顶点 ________________________ A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线 y＝±x ________x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)y＝±x 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)性质 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系 c2＝______a2＋b21．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝______________． 17 17 [根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17．又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17．]2．(苏教版选择性必修第一册P106练习T3)若双曲线经过点(－，6)，且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则双曲线的方程是______________． －x2＝1 [由题设，可设双曲线方程为x2－＝m且m≠0，又(－，6)在双曲线上，所以m＝3－＝－1，故双曲线的方程是－x2＝1．]－x2＝1 3．(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3改编)点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为______________． [双曲线＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0．由点到直线的距离公式，得所求距离为．] [常用结论]1．双曲线＝1(a>0，b>0)中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为．(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2．(5)若P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c．2．与双曲线＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为＝λ(λ≠0)．考点深研·题型突破考点一 双曲线的定义及应用[典例1] (1)(多选)下列各选项正确的是( )A．已知动点M(x，y)满足＝4，则动点M的轨迹是双曲线的一支B．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1C．如果双曲线＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是4或12D．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为2(2)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝______________． (1)CD (2) [(1)对于A，设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|．故动点M的轨迹是射线，故选项A错误；对于B，设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1．又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)，故选项B错误；对于C，设双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝2，c＝＝4，则|PF2|＝8>6，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝4，即||PF1|－8|＝4，所以|PF1|＝4或|PF1|＝12，由于c－a＝2，故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选项C正确；对于D，不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2，故选项D正确．(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4，c2＝a2＋b2＝4，所以cos∠F1PF2＝＝＝．][母题探究](综合变式)将本例(2)条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“＝0”，则△F1PF2的面积是多少？[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵＝0，∴⊥，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝2．通性通法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑应用定义求解．【教用·备选题】如图，F1，F2是双曲线＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解] 双曲线的标准方程为＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5．(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22．又c－a＝2，故点M到另一个焦点的距离为10 或22．(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，△F1PF2为直角三角形，∴|PF1|·|PF2|＝×32＝16．考点二 双曲线的标准方程[典例2] (2025·景德镇昌江区校级期末)若双曲线C1与双曲线C2：＝1有相同渐近线，且C1过点(2，3)，则双曲线C1的标准方程为( )A．x2－＝1 B．＝1C．＝1 D．x2－＝1√B [因为C1和C2有相同的渐近线，所以设双曲线C1的方程为＝1(λ≠0)，将(2，3)代入得＝1 λ＝－2，所以双曲线C1的标准方程为＝1．故选B．]通性通法：求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2．(2)待定系数法：“先定型，再定量”，当双曲线焦点位置不确定时，可分类讨论；也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，求出m，n的值，即可得出双曲线方程．[多维变迁]1．(2025·保山一模)双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )A． B．＝1C． D．＝1√D [根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为y＝x，则过F2(c，0)且垂直于渐近线y＝x的直线方程为y＝－(x－c)，联立可得P，∴|PF2|＝＝b＝2，又F1(－c，0)，∴，∴，∴a2＋2＝2a，∴a＝，又b＝2，∴双曲线的方程为＝1．故选D．]2．经过点P(3，2，7)的双曲线的标准方程为______________． ＝1 [设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴∴双曲线的标准方程为＝1．]＝1 【教用·备选题】已知双曲线的离心率e＝)，则该双曲线的标准方程为______________． －x2＝1 [由题意，知e＝，解得a＝2b，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，－x2＝1 ∵点(2，2)在该双曲线上，∴＝1，即＝1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，∵点(2，2)在该双曲线上，∴＝1，即＝1，解得b＝1，∴a＝2，∴该双曲线的标准方程为－x2＝1．]考点三 双曲线的几何性质考向1 离心率[典例3] (1)(2025·内江三模)已知双曲线，则双曲线的离心率为( )A． B．C． D．√(2)(2025·南昌月考)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则C的离心率等于( )A． B．C． D．√(1)D (2)B [(1)因为双曲线－y2＝1(a>0)的焦距为2，即2c＝2，所以c＝，又b＝1，所以a＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝．故选D．(2)法一：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入＝1，解得y＝±，∴|AF1|＝．∵△ABF2为等边三角形，∴tan∠AF2F1＝＝tan 30°＝，∴．∴，即，解得离心率e＝(负值舍去)．法二：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入＝1，解得y＝±，∴|AF1|＝，|AB|＝，∵△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝|AB|＝，由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝2a，即＝2a，∴＝2，∴C的离心率e＝．故选B．]通性通法：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程，通过解方程求得离心率的值．[多维变迁](2025·上海月考)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A(0，－a)，若双曲线的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A． B．]C． D．，＋∞)√C [A(0，－a)，设双曲线的左焦点为F'，则|FP|－|PF'|＝2a，故而|PA|＋|PF|＝2a＋|PF'|＋|PA|≥2a＋|F'A|，∴|PA|＋|PF|的最小值为2a＋|F'A|＝2a＋，∵C的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，∴2a＋≤7，即≤7－2a，∴c2＋a2≤4a2－28a＋49，又c2＝a2＋1，可得a2－14a＋24≥0 a≥12(舍)或a≤2，∴a2≤4＝4(c2－a2)，可得e≥，∴离心率的取值范围是．故选C．]考向2 渐近线[典例4] (1)(2026·杭州模拟)已知双曲线，则此双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x√(2)(2025·南昌期末)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且∠F1PF2＝，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x√(1)B (2)D [(1)双曲线＝1的离心率为，则，解得m＝－4，故a＝，b＝2，则渐近线方程为y＝±x＝±x．故选B．(2)由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝3a，∵∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，∴cos∠F1PF2＝，即，化简得7a2＝4c2，又c2＝a2＋b2，∴，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选D．]思维建模：离心率与渐近线互求模型第1步 判断焦点位置．第2步 代公式．当焦点在x轴上时，e＝；当焦点在y轴上时，e＝(其中k为渐近线斜率)．第3步 解方程求渐近线斜率k或离心率e．【教用·通性通法】渐近线的求法：求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程是±．[多维变迁](2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则实数m＝______________． －3 [双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±＝±x，故实数m＝－3．]－3 考向3 几何性质的综合应用[典例5] (多选)(2025·深圳期末)已知双曲线C：且右焦点为C的虚轴为线段B1B2，P为C上任意一点，平面内一动点M满足|MB2|，则( )A．C的渐近线方程为x±2y＝0B．C的实轴长为4C．|FM|的最大值为6D．|PM|的最小值为√√√ABD [设双曲线半焦距为c，则由已知可得c＝，因为双曲线C经过点＝1，联立所以双曲线C的方程为－y2＝1．对于A，因为a＝2，b＝1，所以C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故A正确；对于B，C的实轴长为2a＝4，故B正确；依题意，不妨设B1(0，1)，B2(0，－1)，设M(x，y)，动点M满足|MB1|＝|MB2|，所以，化简得x2＋(y＋2)2＝3，则点M的轨迹是以N(0，－2)为圆心，半径为的圆．对于C，点F到圆心N的距离d＝＝3，所以|FM|的最大值为3＋，故C错误；对于D，设P(x0，y0)为双曲线上任一点，则＝4，P到圆心N的距离为|PN|＝，当y0＝－时，|PN|最小，最小值为，故|PM|的最小值为，故D正确．故选ABD．]通性通法：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质．(2)利用函数，尤其是二次函数．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．[多维变迁]1．(多选)(2025·连云港月考)已知双曲线)和(2，3)，则下列说法正确的是( )A．实轴长为2B．焦距为4C．渐近线方程为y＝±xD．离心率为√√√ABC [因为双曲线＝1(a>0，b>0)过点()和(2，3)，所以则c＝＝2．对于A选项，实轴长为2a＝2，故A正确；对于B选项，焦距为2c＝4，故B正确；对于C选项，渐近线方程为y＝±x＝±x，故C正确；对于D选项，离心率为＝2，故D错误．故选ABC．]2．(2026·济南模拟)设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点，则的最小值为______________． 8 [a＝2，b＝，c＝5，|PF2|≥c－a＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝|PF2|＋4，|PF1|＋＋4，|PF2|≥3，而函数y＝x＋＋4(x>0)在[3，＋∞)上单调递增，所以当且仅当x＝3时，ymin＝8．]8 教材拓展13 椭圆与双曲线的第二定义与第三定义1．第二定义：平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线．①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±．2．第三定义：平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)(或A(0，－a)，B(0，a))的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线，其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线．其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点．[典例6] 已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A|MF2|的最小值为______________． [设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知，，∴d＝|MF2|，∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－．][典例7] (1)(2026·成都模拟)已知点A(1，0)，点B(－1，0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为( )A．－y2＝1B．－y2＝1(x≠±1)C．x2－＝1D．x2－＝1(x≠±1)√(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：，则C的离心率为( )A． B．C． D．√(3)椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )A． B．C． D．√(1)D (2)A (3)B [(1)设动点M(x，y)，由于A(1，0)，B(－1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为4，整理得＝4，化简得x2－＝1(x≠±1)．故选D．(2) 法一(设而不求)：设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则由kAP·kAQ＝得kAP·kAQ＝＝1，得，所以椭圆C的离心率e＝．法二(第三定义)：设右顶点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kAP·kAQ＝kPA·(－kPB)＝，由椭圆第三定义得kPA·kPB＝－，所以椭圆C的离心率e＝．(3)设点P(x，y)，则直线PA1的斜率为k1＝，直线PA2的斜率为k2＝，k1·k2＝．∵点P(x，y)满足＝1，∴x2＋＝4，即x2－4＝－，故k1·k2＝，k1＝－，∵k2∈[－2，－1]，∴k1∈．故选B．]【教用·备选题】(人教A版选择性必修第一册P113例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝，求动点M的轨迹．[解] 如图所示，设d是点M到直线l：x＝的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝．由此得．将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，即＝1．所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．1．(链接考点二)(苏教版选择性必修第一册P107习题3.2(2)T5，9改编)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，双曲线C的一条渐近线的方程为y＝0，则C的方程为( )A．＝1 B．x2－＝1C．－x2＝1 D．x2－－x2＝1√A [椭圆＝1的半焦距c＝＝2，则C的半焦距c'＝2．∵C的一条渐近线的方程为x－y＝0，∴可设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为＝1．当λ>0时，c'＝＝2，得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c'＝＝2，得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1．综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1．]2．(链接考点一)(2026·榆林模拟)已知F1，F2分别为双曲线＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )A． B．－4C． D．√C [因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝．故|AP|＋|AF2|的最小值为．]3．(链接考点三)(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为___，离心率为____，渐近线方程为________． 10 y＝±x [双曲线＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，∴实轴长为2a＝10，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．]10 y＝±x 4．(链接考点三)(2025·连云港一模)已知M(x0，y0)是双曲线C：y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，<0，则y0的取值范围是______________． [因为F1(－，0)，F2(，0)，＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3<0，即3－1<0，解得－．] 题号135246879101112√一、单项选择题1．(2026·黄山模拟)“m>－1”是“＝1为双曲线方程”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件课时作业(六十四) 双曲线题号135246879101112A [若＝1为双曲线方程，则(m＋1)(m＋2)>0，解得m>－1或m<－2，又{m|m>－1} {m|m>－1或m<－2}，故“m>－1”是“＝1为双曲线方程”的充分不必要条件．故选A．]√2．(2025·郑州期末)已知双曲线C：y＝0，则C的离心率为( )A． B．C． D．题号135246879101112B [渐近线方程为y＝0，即y＝x，根据双曲线的渐近线斜率为±，e2＝1＋，因此，离心率e＝．故选B．]题号135246879101112√3．(2026·山东济南模拟)已知双曲线C：，虚半轴长为2，则C的焦距为( )A．2 B．C． D．题号135246879101112D [双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚半轴长为2，即b＝2，e＝，可得a＝，c＝，2c＝2，所以双曲线的焦距为2．故选D．]题号135246879101112√4．(2025·泰州月考)设P是双曲线＝1(a>0)上一点，该双曲线的一条渐近线方程是4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝15，则|PF2|＝( )A．3 B．9C．27 D．3或27题号135246879101112C [由题意得b＝8且，所以a＝6，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝12，则|PF2|＝3或|PF2|＝27．当|PF2|＝3时，|PF1|＋|PF2|＝18<|F1F2|＝20，故舍去；当|PF2|＝27时，|PF1|＋|PF2|＝42>|F1F2|＝20，满足题意．故选C．]题号135246879101112√5．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )A． B．＝1C． D．＝1题号135246879101112C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，题号135246879101112设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝，所以双曲线的方程为＝1．故选C．]题号135246879101112√6．(2025·银川三模)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，则△MF1N的周长为( )A．8＋2 B．8C．4＋2 D．题号135246879101112C [以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，如图所示，设|MF2|＝n，|MF1|＝m，由M在以F1F2为直径的圆上可得MF1⊥MF2，题号135246879101112∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，四边形MF1NF2为矩形，则|MN|＝|F1F2|＝2c，|MF2|＝|F1N|＝n．由双曲线C：－y2＝1，得a2＝3，b2＝1，c2＝a2＋b2＝4，∴m2＋n2＝16，又由双曲线的定义有m－n＝2a＝2，∴m2－2mn＋n2＝12，得mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝16＋4＝20，即m＋n＝2，而|MN|＝|F1F2|＝2c＝4，∴m＋n＋|MN|＝4＋2，∴△MF1N的周长为4＋2．故选C．]题号135246879101112√二、多项选择题7．(2025·南通一模)已知双曲线C：＝1，则下列关于双曲线C的结论正确的是( )A．实轴长为6B．焦距为5C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为4题号135246879101112√AD [已知双曲线C：＝1，则a＝3，b＝4，c＝＝5．对于A，双曲线的实轴长为6，故选项A正确；对于B，双曲线的焦距为10，故选项B错误；对于C，双曲线的离心率为，故选项C错误；对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为＝4，故选项D正确．故选AD．]题号135246879101112√8．(2026·宜城模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是( )A．若a＝2，b＝，则双曲线C的两条渐近线的方程是y＝±xB．若点P的坐标为(2，4)，则双曲线C的离心率大于3C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2D．若双曲线C为等轴双曲线，且|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝题号135246879101112√√BCD [对于A，双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，当a＝2，b＝时，双曲线的渐近线方程是y＝±x，故A错误；对于B，因为点(2，4)在C上，则＝1，得＋8>8，所以双曲线的离心率e＝>3，故B正确；对于C，因为|PF1|－|PF2|＝2a，若PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，题号135246879101112即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，得|PF1|·|PF2|＝2(c2－a2)＝2b2，所以|PF1|·|PF2|＝b2，故C正确；对于D，若C为等轴双曲线，则a＝b，从而|F1F2|＝2c＝2a，若|PF1|＝3|PF2|，结合|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，故D正确．故选BCD．]题号135246879101112√9．(2025·全国二卷)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则( )A．∠A1MA2＝B．|MA1|＝2|MA2|C．C的离心率为D．当a＝题号135246879101112√√ACD [根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝．故A正确．题号135246879101112不妨设M(x0>0)，根据|OM|＝c，得＝c2，解得x0＝a，故M(a，b)，N(－a，－b)，所以∠MA2A1＝，又因为∠A1MA2＝，所以|MA2|＝|MA1|，故B错误．在Rt△MA1A2中，|MA2|＝b，|A1A2|＝2a，∠A1MA2＝，题号135246879101112所以tan∠A1MA2＝，故e＝，故C正确．当a＝时，b＝2＝2××2 ×2，故D正确．故选ACD．]题号135246879101112三、填空题10．(人教B版选择性必修第一册P156习题2－6AT3改编)已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，它的焦点是椭圆＝1的长轴的端点，则此双曲线的标准方程为______________． 题号135246879101112＝1 ＝1 [依题意，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，由题意得解得a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为＝1．]题号13524687910111211．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是_____________________． 题号135246879101112＝1(x≥3) [由双曲线的定义，知点M的轨迹是双曲线的右支，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为＝1(x≥3)．]＝1(x≥3) 题号13524687910111212．(2026·宜宾模拟)已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点，设点A的坐标为(3，0)，则|PA|的最小值为______________． 题号135246879101112 [设P(x，y)，因为－y2＝1，所以y2＝－1，所以|PA|＝＝，因此当x＝时，满足x≥2，|PA|取最小值，最小值是．]谢谢！课时作业(六十四) 双曲线一、单项选择题1．(2026·黄山模拟)“m＞－1”是“＝1为双曲线方程”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2025·郑州期末)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－y＝0，则C的离心率为( )A． B．C．2 D．3．(2026·山东济南模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚半轴长为2，则C的焦距为( )A．2 B．2C．4 D．24．(2025·泰州月考)设P是双曲线＝1(a＞0)上一点，该双曲线的一条渐近线方程是4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝15，则|PF2|＝( )A．3 B．9C．27 D．3或275．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝16．(2025·银川三模)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，则△MF1N的周长为( )A．8＋2 B．8C．4＋2 D．8＋2二、多项选择题7．(2025·南通一模)已知双曲线C：＝1，则下列关于双曲线C的结论正确的是( )A．实轴长为6 B．焦距为5C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为48．(2026·宜城模拟)设双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是( )A．若a＝2，b＝，则双曲线C的两条渐近线的方程是y＝±xB．若点P的坐标为(2，4)，则双曲线C的离心率大于3C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2D．若双曲线C为等轴双曲线，且|PF1|＝3|PF2|，则cos ∠F1PF2＝9．(2025·全国二卷)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则( )A．∠A1MA2＝B．|MA1|＝2|MA2|C．C的离心率为D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8三、填空题10．(人教B版选择性必修第一册P156习题2－6AT3改编)已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，它的焦点是椭圆＝1的长轴的端点，则此双曲线的标准方程为________．11．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．12．(2026·宜宾模拟)已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点，设点A的坐标为(3，0)，则|PA|的最小值为________．课时作业(六十四)1．A [若＝1为双曲线方程，则(m＋1)(m＋2)>0，解得m>－1或m<－2，又{m|m>－1} {m|m>－1或m<－2}，故“m>－1”是“＝1为双曲线方程”的充分不必要条件．故选A．]2．B [渐近线方程为x－y＝0，即y＝x，根据双曲线的渐近线斜率为±，e2＝1＋＝1＋，因此，离心率e＝．故选B．]3．D [双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚半轴长为2，即b＝2，e＝，可得a＝，c＝，2c＝2，所以双曲线的焦距为2．故选D．]4．C [由题意得b＝8且，所以a＝6，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝12，则|PF2|＝3或|PF2|＝27．当|PF2|＝3时，|PF1|＋|PF2|＝18<|F1F2|＝20，故舍去；当|PF2|＝27时，|PF1|＋|PF2|＝42>|F1F2|＝20，满足题意．故选C．]5．C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，所以双曲线的方程为＝1．故选C．]6．C [以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，如图所示，设|MF2|＝n，|MF1|＝m，由M在以F1F2为直径的圆上可得MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，四边形MF1NF2为矩形，则|MN|＝|F1F2|＝2c，|MF2|＝|F1N|＝n．由双曲线C：－y2＝1，得a2＝3，b2＝1，c2＝a2＋b2＝4，∴m2＋n2＝16，又由双曲线的定义有m－n＝2a＝2，∴m2－2mn＋n2＝12，得mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝16＋4＝20，即m＋n＝2，而|MN|＝|F1F2|＝2c＝4，∴m＋n＋|MN|＝4＋2，∴△MF1N的周长为4＋2．故选C．]7．AD [已知双曲线C：＝1，则a＝3，b＝4，c＝＝5．对于A，双曲线的实轴长为6，故选项A正确；对于B，双曲线的焦距为10，故选项B错误；对于C，双曲线的离心率为，故选项C错误；对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为＝4，故选项D正确．故选AD．]8．BCD [对于A，双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，当a＝2，b＝时，双曲线的渐近线方程是y＝±x，故A错误；对于B，因为点(2，4)在C上，则＝1，得＋8>8，所以双曲线的离心率e＝>3，故B正确；对于C，因为|PF1|－|PF2|＝2a，若PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，得|PF1|·|PF2|＝2(c2－a2)＝2b2，所以|PF1|·|PF2|＝b2，故C正确；对于D，若C为等轴双曲线，则a＝b，从而|F1F2|＝2c＝2a，若|PF1|＝3|PF2|，结合|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，故D正确．故选BCD．]9．ACD [根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝．故A正确．不妨设M(x0>0)，根据|OM|＝c，得＝c2，解得x0＝a，故M(a，b)，N(－a，－b)，所以∠MA2A1＝，又因为∠A1MA2＝，所以|MA2|＝|MA1|，故B错误．在Rt△MA1A2中，|MA2|＝b，|A1A2|＝2a，∠A1MA2＝，所以tan∠A1MA2＝，即＝2，故e＝，故C正确．当a＝时，b＝2＝2＝2××2×2＝8，故D正确．故选ACD．]10．＝1 [依题意，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，由题意得解得a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为＝1．]11．＝1(x≥3) [由双曲线的定义，知点M的轨迹是双曲线的右支，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为＝1(x≥3)．]12． [设P(x，y)，因为－y2＝1，所以y2＝－1，所以|PA|＝＝＝，因此当x＝时，满足x≥2，|PA|取最小值，最小值是．]1 / 3 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第八章 第64课时 双曲线.docx 第八章 第64课时 双曲线.pptx 课时作业64 双曲线.docx
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