资源简介 第65课时 抛物线[考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)．3．了解抛物线的简单应用．知识点1 抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的________．(2)抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．知识点2 抛物线的标准方程与几何性质图形标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性 质 顶点 O(0，0)对称轴 y＝0 x＝0焦点 F F F F离心率 e＝1准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口 方向 向右 向左 向上 向下焦半径 ________ －x0＋ y0＋ ________焦点弦 x1＋x2＋p ________ ________ p－y1－y2[常用结论]1．通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p．2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A． B．C．6 D．5_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(苏教版选择性必修第一册P116练习T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )A． B．C． D．3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－2)的抛物线方程为( )A．x2＝－y B．y2＝－xC．y2＝4x D．x2＝4y4．(人教B版选择性必修第一册P164例2)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为________．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点一 抛物线的定义及应用[典例1] (1)(多选)(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则( )A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2(2)设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点B(3，2)，当|PB|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]1．(综合变式)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．(综合变式)若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．考点二 抛物线的标准方程[典例2] (1)(2026·汉中模拟)如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面(不含碗底部分)是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A． cm B． cmC． cm D． cm(2)(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论；也可设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)．[多维变迁]1．(2025·北京海淀区三模)点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A．x2＝yB．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36y2．设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x考点三 抛物线的几何性质[典例3] (1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是( )A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y＝－4(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )A．焦点F的坐标为(4，0)B．|AB|＝x1＋x2＋4C．y1y2＝－8D．＝______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[多维变迁]1．已知A，B为抛物线x2＝4y上的动点，P(x0，y0)为线段AB的中点．若|AB|＝6，则y0的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．42．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t(t>1)，若|AB|＝，则实数t＝________．轨迹方程问题求轨迹方程的基本方法1．直接法：直接将几何条件或等量关系表示为代数方程．2．定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程．3．代入法(相关点法)：题中有两个动点，一个为所求，设为(x，y)，另一个在已知曲线上运动，设为(x0，y0)，利用已知条件找出两个动点坐标之间的关系，用所求表示已知，即将(x0，y0)代入已知曲线方程即得所求曲线方程．4．参数法：引入参数t，求出动点(x，y)与参数t之间的关系消去参数即得所求轨迹方程．[典例4] (1)(2025·沈阳一模)已知平面直角坐标系中不同的三点A(0，5)，B(x，0)，C(0，y)，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为(x，y)，则点M的轨迹方程为( )A．x2＝5y(y≠0) B．y2＝5x(x≠0)C．y2＝－5x(x≠0) D．x2＝－5y(y≠0)_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知点A(6，0)，O为坐标原点，若动点P(x，y)满足2|OP|＝|PA|．①试求动点P的轨迹方程；②过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(链接考点一)(2026·承德模拟)已知点P(4，1)在抛物线x2＝2py(p＞0)上，抛物线的焦点为F，则|PF|＝( )A．5 B．8C． D．2．(链接考点三)(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )A．9 B．8C．7 D．63．(链接考点三)(2024·北京卷)抛物线y2＝16x的焦点坐标为________．4．(链接考点二)(2026·三亚模拟)设点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过抛物线上一点P作其准线的垂线，垂足为Q，已知直线FQ交y轴于点A(0，2)，且△PQF的面积为8，则该抛物线的方程为 ________．第65课时 抛物线理法先行·题练固本梳必备·破题有方知识点1 (1)相等 准线知识点2 x0＋ －y0＋ p－x1－x2 y1＋y2＋p链教材·夯基固本1．D [由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5．故选D．]2．D [抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，所以焦点在y轴上，由2p＝．故选D．]3．AC [当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)，∴(－2)2＝2p×2，解得p＝2，∴y2＝4x．当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，∴22＝－2p×(－2)，解得p＝，∴x2＝－y．]4． [设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，而且|PA|2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝，又因为y≤0，所以当y＝－时，|PA．因此所求最小值为．]考点深研·题型突破考点一典例1 (1)ABC (2)(1，2) [(1)由题意得＝2，则p＝4，A正确；设M(x0，y0)，则|MF|＝x0＋，|OF|＝，又因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B正确；由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等，故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；当∠OFM＝120°时，不妨设M(x0，y0)在第一象限，则x0>2，y0>0，故kMF＝＝tan 60°＝，即x0＝＋2，又＝8x0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－(舍去)，所以S△OFM＝|OF|×|y0|＝×2×4＝4，D错误．(2)如图，过点B作准线x＝－1的垂线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，由抛物线定义，知|P1Q|＝|P1F|．则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，当B，P1，Q三点共线时，|PB|＋|PF|取最小值，把y＝2代入y2＝4x，得x＝1，所以当|PB|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为(1，2)．]母题探究1．解：由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部，所以|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，又F(1，0)，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2．2．解：由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1．易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1．考点二典例2 (1)B (2)y2＝－8x或x2＝－y[(1)以抛物线的顶点为坐标原点，该碗轴截面的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设该抛物线的方程为x2＝2py(p>0)(x，y的单位均为cm)，点A纵坐标为h，则A(5，h)，B(13，h＋10)，于是故该抛物线的焦点到准线的距离为 cm．故选B．(2)由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．将P(－2，－4)代入，分别得标准方程为y2＝－8x或x2＝－y．]多维变迁1．D [抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－，∵点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，∴3＋＝6，或－－3＝6，解得a＝，或a＝－，故抛物线的标准方程是x2＝12y或x2＝－36y，故选D．]2．A [因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0，2)，B(0，－2)，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0，2)，准线方程为y＝－2，所以动点P的轨迹方程为x2＝8y．故选A．]考点三典例3 (1)AC (2)BD [(1)由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2．故选AC．(2)由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；法一：易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，＝＝＝＝＝，故C错误，D正确．法二：因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，，故C错误，D正确．]多维变迁1．B [如图，F为抛物线的焦点，m为准线．作AC⊥m于点C，PN⊥m于点N，BD⊥m于点D，连接AF，BF．由抛物线定义，知2|PN|＝|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝6，所以|PN|≥3，当且仅当点F在线段AB上时，等号成立．故y0的最小值为2．故选B．]2．3 [由题意得焦点F(1，0)，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0，Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－4，①由＝t，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍)．]教材拓展14典例4 (1)D [由已知得线段AC是动圆的直径，故AB⊥CB，所以＝0，因为A(0，5)，B(x，0)，C(0，y)，所以＝(x，－5)，＝(x，－y)，所以＝x2＋5y＝0，可得x2＝－5y，又B，C不重合，所以原点除外，所以点M的轨迹方程为x2＝－5y(y≠0)．故选D．](2)解：①由动点P(x，y)满足2|OP|＝|PA|，得2，化简得x2＋y2＋4x－12＝0，所以动点P的轨迹方程是(x＋2)2＋y2＝16．②设点M(x0，y0)，由PQ⊥y轴于点Q，且M是PQ中点，得P(2x0，y0)，即由①知(x＋2)2＋y2＝16，因此(2x0＋2)2＋＝16，整理得＝1．所以点M的轨迹方程是＝1．随堂·对点检测1．A [因为P(4，1)在抛物线x2＝2py(p>0)上，所以16＝2p，所以p＝8，所以|PF|＝＋yP＝4＋1＝5．故选A．]2．B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．故选B．]3．(4，0) [由题意，知p＝8，则＝4，所以抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4，0)．]4．y2＝8x [由题意得F，A(0，2)，准线方程为x＝－，∴直线FQ的方程为y＝－x＋2，∴Q，把y＝4代入y2＝2px可得x＝．∴|PQ|＝，∴S△PQF＝××4＝8，解得p＝4．∴抛物线方程为y2＝8x．]1 / 8(共78张PPT)第八章 解析几何第65课时 抛物线[考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)．3．了解抛物线的简单应用．理法先行·题练固本知识点1 抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的____．(2)抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．相等准线知识点2 抛物线的标准方程与几何性质图形标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性 质 顶点 O(0，0)对称轴 y＝0 x＝0焦点 F F F F离心率 e＝1准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口 方向 向右 向左 向上 向下焦半径 ______ －x0＋ y0＋ ______焦点弦 x1＋x2＋p _________ _________ p－y1－y2x0＋－y0＋p－x1－x2y1＋y2＋p[常用结论]1．通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p．2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．【教用·常用结论】1．与焦点弦有关的常用结论如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；(3)焦半径：|AF|＝(点A在x轴上方)，|BF|＝(点B在x轴下方)，特别地；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝|OF|·|y1－y2|．2．若A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件．1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A． B．C．6 D．5√D [由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5．故选D．]2．(苏教版选择性必修第一册P116练习T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )A． B．C． D．√D [抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，所以焦点在y轴上，由2p＝．故选D．]3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－2)的抛物线方程为( )A．x2＝－ B．xC．y2＝4x D．x2＝4y√√AC [当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)，∴(－2)2＝2p×2，解得p＝2，∴y2＝4x．当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，∴22＝－2p×(－2)，解得p＝，∴x2＝－y．]4．(人教B版选择性必修第一册P164例2)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为______________． [设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，而且|PA|2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝，又因为y≤0，所以当y＝－时，|PA．因此所求最小值为．] 考点深研·题型突破考点一 抛物线的定义及应用[典例1] (1)(多选)(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则( )A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2√√√(2)设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点B(3，2)，当|PB|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为______________． (1，2) (1)ABC (2)(1，2) [(1)由题意得＝2，则p＝4，A正确；设M(x0，y0)，则|MF|＝x0＋，|OF|＝，又因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B正确；由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等，故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；当∠OFM＝120°时，不妨设M(x0，y0)在第一象限，则x0>2，y0>0，故kMF＝＝tan 60°＝，即x0＝＋2，又＝8x0，所以＝0，解得y0＝4或y0＝－(舍去)，所以S△OFM＝|OF|×|y0|＝×2×4，D错误．(2)如图，过点B作准线x＝－1的垂线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，由抛物线定义，知|P1Q|＝|P1F|．则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，当B，P1，Q三点共线时，|PB|＋|PF|取最小值，把y＝2代入y2＝4x，得x＝1，所以当|PB|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为(1，2)．][母题探究]1．(综合变式)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．[解] 由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部，所以|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，又F(1，0)，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝，即|PB|＋|PF|的最小值为2．2．(综合变式)若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解] 由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1．易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为，所以d1＋d2的最小值为3－1．通性通法：看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．【教用·备选题】1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A． B．C． D．0B [点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x0，y0)，则y0＋＝1，∴y0＝．故选B．]√2．(2026·安康模拟)已知抛物线x2＝16y上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴的距离为( )A．2 B．C．2 D．4B [已知抛物线x2＝16y上的点M到焦点F的距离为6，F(0，4)，则yM＋4＝6，即yM＝2，则＝32，则|xM|＝4，则点M到y轴的距离为4．故选B．]√考点二 抛物线的标准方程[典例2] (1)(2026·汉中模拟)如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面(不含碗底部分)是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A．cm B． cmC．cm D． cm√(2)(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________________． y2＝－8x或x2＝－y(1)B (2)y2＝－8x或x2＝－y [(1)以抛物线的顶点为坐标原点，该碗轴截面的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设该抛物线的方程为x2＝2py(p>0)(x，y的单位均为cm)，点A纵坐标为h，则A(5，h)，B(13，h＋10)，于是解得故该抛物线的焦点到准线的距离为 cm．故选B．(2)由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．将P(－2，－4)代入，分别得标准方程为y2＝－8x或x2＝－y．]通性通法：求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论；也可设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)．[多维变迁]1．(2025·北京海淀区三模)点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36y√D [抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－，∵点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，∴3＋＝6，或－－3＝6，解得a＝，或a＝－，故抛物线的标准方程是x2＝12y或x2＝－36y，故选D．]2．设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x√A [因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0，2)，B(0，－2)，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0，2)，准线方程为y＝－2，所以动点P的轨迹方程为x2＝8y．故选A．]考点三 抛物线的几何性质[典例3] (1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是( )A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y＝－4√√(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )A．焦点F的坐标为(4，0)B．|AB|＝x1＋x2＋4C．y1y2＝－8D．√√(1)AC (2)BD [(1)由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2．故选AC．(2)由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；法一：易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，＝＝＝＝＝，故C错误，D正确．法二：因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，，故C错误，D正确．]通性通法：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[多维变迁]1．已知A，B为抛物线x2＝4y上的动点，P(x0，y0)为线段AB的中点．若|AB|＝6，则y0的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．4√B [如图，F为抛物线的焦点，m为准线．作AC⊥m于点C，PN⊥m于点N，BD⊥m于点D，连接AF，BF．由抛物线定义，知2|PN|＝|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝6，所以|PN|≥3，当且仅当点F在线段AB上时，等号成立．故y0的最小值为2．故选B．]2．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，则实数t＝______． 3 [由题意得焦点F(1，0)，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0，Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－4，①3 由，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍)．]教材拓展14 轨迹方程问题求轨迹方程的基本方法1．直接法：直接将几何条件或等量关系表示为代数方程．2．定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程．3．代入法(相关点法)：题中有两个动点，一个为所求，设为(x，y)，另一个在已知曲线上运动，设为(x0，y0)，利用已知条件找出两个动点坐标之间的关系，用所求表示已知，即将(x0，y0)代入已知曲线方程即得所求曲线方程．4．参数法：引入参数t，求出动点(x，y)与参数t之间的关系消去参数即得所求轨迹方程．[典例4] (1)(2025·沈阳一模)已知平面直角坐标系中不同的三点A(0，5)，B(x，0)，C(0，y)，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为(x，y)，则点M的轨迹方程为( )A．x2＝5y(y≠0) B．y2＝5x(x≠0)C．y2＝－5x(x≠0) D．x2＝－5y(y≠0)(2) 已知点A(6，0)，O为坐标原点，若动点P(x，y)满足2|OP|＝|PA|．①试求动点P的轨迹方程；②过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．√(1)D [由已知得线段AC是动圆的直径，故AB⊥CB，所以＝0，因为A(0，5)，B(x，0)，C(0，y)，所以＝(x，－5)，＝(x，－y)，所以＝x2＋5y＝0，可得x2＝－5y，又B，C不重合，所以原点除外，所以点M的轨迹方程为x2＝－5y(y≠0)．故选D．](2)[解] ①由动点P(x，y)满足2|OP|＝|PA|，得2，化简得x2＋y2＋4x－12＝0，所以动点P的轨迹方程是(x＋2)2＋y2＝16．②设点M(x0，y0)，由PQ⊥y轴于点Q，且M是PQ中点，得P(2x0，y0)，即由①知(x＋2)2＋y2＝16，因此(2x0＋2)2＋＝16，整理得＝1．所以点M的轨迹方程是＝1．1．(链接考点一)(2026·承德模拟)已知点P(4，1)在抛物线x2＝2py(p>0)上，抛物线的焦点为F，则|PF|＝( )A．5 B．8C． D．√A [因为P(4，1)在抛物线x2＝2py(p>0)上，所以16＝2p，所以p＝8，所以|PF|＝＋yP＝4＋1＝5．故选A．]2．(链接考点三)(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )A．9 B．8C．7 D．6√B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．故选B．]3．(链接考点三)(2024·北京卷)抛物线y2＝16x的焦点坐标为______________． (4，0) [由题意，知p＝8，则＝4，所以抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4，0)．](4，0)4．(链接考点二)(2026·三亚模拟)设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过抛物线上一点P作其准线的垂线，垂足为Q，已知直线FQ交y轴于点A(0，2)，且△PQF的面积为8，则该抛物线的方程为 ______________． y2＝8x y2＝8x [由题意得F，A(0，2)，准线方程为x＝－，∴直线FQ的方程为y＝－x＋2，∴Q，把y＝4代入y2＝2px可得x＝．∴|PQ|＝，∴S△PQF＝×4＝8，解得p＝4．∴抛物线方程为y2＝8x．]题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·烟台期末)已知抛物线y2＝4x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点之间的距离为( )A．2 B．3C．4 D．5课时作业(六十五) 抛物线题号135246879101112D [抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，点A的横坐标是4，∴点A到焦点F的距离是4＋1＝5．故选D．]√2．(2025·新乡月考)抛物线y＝－5x2的准线方程为( )A．y＝ B．C．x＝ D．题号135246879101112A [由题可得抛物线方程为x2＝－y，2p＝，且开口向下，所以抛物线y＝－5x2的准线方程为y＝．故选A．]题号135246879101112√3．(2025·桂林秀峰区期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(－9，0)与点F关于直线l对称，则C的方程为( )A．y2＝3x B．y2＝6xC．y2＝12x D．y2＝24x题号135246879101112C [由抛物线C：y2＝2px(p>0)，知准线方程为x＝－，F，根据对称性得＋(－9)＝2×，因此p＝6，故C的方程为y2＝12x．故选C．]题号135246879101112√4．(2025·荆州调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )A．3 B．6C．9 D．12题号135246879101112B [抛物线y2＝6x的焦点为F，准线l：x＝－．设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则Q，因为直线QF的倾斜角为120°，所以kQF＝，即y0＝3，所以x0＝，所以|PF|＝x0＋＝6．]题号135246879101112√5．在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝( )A．6 B．8C．9 D．12题号135246879101112D [因为F为△ABC的重心，故)＝)．设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．因为抛物线y2＝8x，F为其焦点，所以F(2，0)，所以＝(2－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)．因为)，所以2－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，所以x1＋x2＋x3＝6，所以||＝x1＋x2＋x3＋6＝12，即|AF|＋|BF|＋|CF|＝12．]题号135246879101112√6．(2025·南阳期末)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，A是该抛物线上一动点，且|AF|的最小值为1，点P(2，3)，则|AP|＋|AF|的最小值为( )A． B．4C．2 D．题号135246879101112B [因为抛物线x2＝2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，当x＝2时，y＝1<3，因此点P(2，3)在抛物线x2＝4y的上方．过点P作PP'⊥准线l于P'，交抛物线于点Q，连接QF，过点A作AA'⊥准线l于A'，连接PA'，如图，显然|AP|＋|AF|＝|AP|＋|AA'|≥|PA'|≥|PP'|＝|PQ|＋|QP'|＝|PQ|＋|QF|，当且仅当点A与点Q重合时取等号，所以(|AP|＋|AF|)min＝|PP'|＝3－(－1)＝4．故选B．]题号135246879101112√二、多项选择题7．(人教A版选择性必修第一册P136练习T3改编)已知直线l：x＝ty＋2与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m，2)，则( )A．t＝B．m＝3C．|AB|＝8D．点(－2，2)在以线段AB为直径的圆内题号135246879101112√AB [对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8ty－16＝0，Δ＝64t2＋64>0，∴y1＋y2＝8t，又线段AB的中点为M(m，2)，∴＝4t＝2，解得t＝，A正确；对于B，∵M(m，2)在直线l：x＝y＋2上，∴m＝1＋2＝3，B正确；对于C，题号135246879101112∵直线l：x＝y＋2过点(2，0)，且点(2，0)为抛物线y2＝8x的焦点，∴|AB|＝x1＋x2＋4＝(y1＋y2)＋8＝10，C错误；对于D，以AB为直径的圆的圆心为M，半径为5，设P(－2，2)，连接MP，则|MP|＝＝5，∴点P(－2，2)在以AB为直径的圆上，D错误．故选AB．]题号135246879101112√8．设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )A．抛物线的准线方程是x＝－1B．焦点到准线的距离为4C．若A(2，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为3D．以线段PF为直径的圆与y轴相切题号135246879101112√√ACD [抛物线的准线为x＝－1，故A正确；焦点到准线距离为p＝2，故B错误；当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为(2，2)，此点位于点A(2，1)的上面，故点A在抛物线内部，由抛物线的定义知当直线PA垂直准线时，|PA|＋|PF| 取最小值，即为xA＋＝3，故C正确；根据题意，可得抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设P(m，n)，PF的中点为B(x1，y1)，可得x1＝(1＋m)，由抛物线的定义，得|PF|＝m＋1，则x1＝|PF|，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选ACD．]题号135246879101112√9．(2025·常州期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：y＝x－2经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与抛物线相交于A，B两点，则( )A．p＝2B．|AB|＝16C．线段AB的中点到y轴的距离为6D．OA⊥OB题号135246879101112√BC [如图，因为直线l：y＝x－2经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，焦点在x轴上，直线l：y＝x－2与x轴的交点为(2，0)，所以抛物线的焦点为F(2，0)，故＝2，所以p＝4，A错误．联立整理得x2－12x＋4＝0，Δ＝(－12)2－16＝128>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16，B正确．题号135246879101112线段AB的中点到y轴的距离为＝6，C正确．由于＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－2)·(x2－2)＝2x1x2－2(x1＋x2)＋4＝8－24＋4＝－12≠0，故不垂直，所以OA，OB不垂直，D错误．故选BC．]题号135246879101112三、填空题10．(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______________． 题号1352468791011124 [设P(x0，y0)，因为点P到准线x＝－1的距离为9，所以x0＋1＝9，则x0＝8，＝4x0＝32，则y0＝±4，即点P到x轴的距离为4．]4 11．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为______________． 题号135246879101112 [由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．由可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝．]题号135246879101112题号13524687910111212．(2025·三明期末)已知一座南北坐向的桥，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大桥孔如图所示，当孔顶到水面的距离为8 m时，跨度达到了13 m．若水面从图中示意位置上升4 m，则水面宽变为______________m． 题号135246879101112 [以孔顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py，其中p>0，由题意可得点在抛物线上，则p＝，即x2＝－y，当y＝－4时，x2＝－×(－4)＝，即x＝±，则水面宽变为2×(m)．]谢谢！课时作业(六十五) 抛物线一、单项选择题1．(2025·烟台期末)已知抛物线y2＝4x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点之间的距离为( )A．2 B．3C．4 D．52．(2025·新乡月考)抛物线y＝－5x2的准线方程为( )A．y＝ B．y＝－C．x＝ D．x＝－3．(2025·桂林秀峰区期末)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(－9，0)与点F关于直线l对称，则C的方程为( )A．y2＝3x B．y2＝6xC．y2＝12x D．y2＝24x4．(2025·荆州调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )A．3 B．6C．9 D．125．在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝( )A．6 B．8C．9 D．126．(2025·南阳期末)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，A是该抛物线上一动点，且|AF|的最小值为1，点P(2，3)，则|AP|＋|AF|的最小值为( )A． B．4C．2 D．2二、多项选择题7．(人教A版选择性必修第一册P136练习T3改编)已知直线l：x＝ty＋2与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m，2)，则( )A．t＝ B．m＝3C．|AB|＝8 D．点(－2，2)在以线段AB为直径的圆内8．设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )A．抛物线的准线方程是x＝－1B．焦点到准线的距离为4C．若A(2，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为3D．以线段PF为直径的圆与y轴相切9．(2025·常州期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：y＝x－2经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与抛物线相交于A，B两点，则( )A．p＝2B．|AB|＝16C．线段AB的中点到y轴的距离为6D．OA⊥OB三、填空题10．(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．11．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．12．(2025·三明期末)已知一座南北坐向的桥，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大桥孔如图所示，当孔顶到水面的距离为8 m时，跨度达到了13 m．若水面从图中示意位置上升4 m，则水面宽变为________m．课时作业(六十五)1．D [抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，点A的横坐标是4，∴点A到焦点F的距离是4＋1＝5．故选D．]2．A [由题可得抛物线方程为x2＝－y，2p＝，且开口向下，所以抛物线y＝－5x2的准线方程为y＝．故选A．]3．C [由抛物线C：y2＝2px(p>0)，知准线方程为x＝－，F，根据对称性得＋(－9)＝2×，因此p＝6，故C的方程为y2＝12x．故选C．]4．B [抛物线y2＝6x的焦点为F，准线l：x＝－．设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则Q，因为直线QF的倾斜角为120°，所以kQF＝＝－，即y0＝3，所以x0＝，所以|PF|＝x0＋＝6．]5．D [因为F为△ABC的重心，故×)＝)．设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．因为抛物线y2＝8x，F为其焦点，所以F(2，0)，所以＝(2－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)．因为)，所以2－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，所以x1＋x2＋x3＝6，所以||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋6＝12，即|AF|＋|BF|＋|CF|＝12．]6．B [因为抛物线x2＝2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，当x＝2时，y＝1<3，因此点P(2，3)在抛物线x2＝4y的上方．过点P作PP'⊥准线l于P'，交抛物线于点Q，连接QF，过点A作AA'⊥准线l于A'，连接PA'，如图，显然|AP|＋|AF|＝|AP|＋|AA'|≥|PA'|≥|PP'|＝|PQ|＋|QP'|＝|PQ|＋|QF|，当且仅当点A与点Q重合时取等号，所以(|AP|＋|AF|)min＝|PP'|＝3－(－1)＝4．故选B．]7．AB [对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8ty－16＝0，Δ＝64t2＋64>0，∴y1＋y2＝8t，又线段AB的中点为M(m，2)，∴＝4t＝2，解得t＝，A正确；对于B，∵M(m，2)在直线l：x＝y＋2上，∴m＝1＋2＝3，B正确；对于C，∵直线l：x＝y＋2过点(2，0)，且点(2，0)为抛物线y2＝8x的焦点，∴|AB|＝x1＋x2＋4＝(y1＋y2)＋8＝10，C错误；对于D，以AB为直径的圆的圆心为M，半径为5，设P(－2，2)，连接MP，则|MP|＝＝5，∴点P(－2，2)在以AB为直径的圆上，D错误．故选AB．]8．ACD [抛物线的准线为x＝－1，故A正确；焦点到准线距离为p＝2，故B错误；当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为(2，2)，此点位于点A(2，1)的上面，故点A在抛物线内部，由抛物线的定义知当直线PA垂直准线时，|PA|＋|PF| 取最小值，即为xA＋＝3，故C正确；根据题意，可得抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设P(m，n)，PF的中点为B(x1，y1)，可得x1＝(1＋m)，由抛物线的定义，得|PF|＝m＋1，则x1＝|PF|，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选ACD．]9．BC [如图，因为直线l：y＝x－2经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，焦点在x轴上，直线l：y＝x－2与x轴的交点为(2，0)，所以抛物线的焦点为F(2，0)，故＝2，所以p＝4，A错误．联立整理得x2－12x＋4＝0，Δ＝(－12)2－16＝128>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16，B正确．线段AB的中点到y轴的距离为＝6，C正确．由于＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－2)(x2－2)＝2x1x2－2(x1＋x2)＋4＝8－24＋4＝－12≠0，故不垂直，所以OA，OB不垂直，D错误．故选BC．]10.4 [设P(x0，y0)，因为点P到准线x＝－1的距离为9，所以x0＋1＝9，则x0＝8，＝4x0＝32，则y0＝±4，即点P到x轴的距离为4．]11． [由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．由可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝．]12． [以孔顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py，其中p>0，由题意可得点在抛物线上，则p＝，即x2＝－y，当y＝－4时，x2＝－×(－4)＝，即x＝±，则水面宽变为2×(m)．]1 / 3 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第八章 第65课时 抛物线.docx 第八章 第65课时 抛物线.pptx 课时作业65 抛物线.docx
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