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第66课时　直线与圆锥曲线
[考试要求]　1．理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法． 2．掌握圆锥曲线的弦长公式．3．掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题．
知识点1　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有________、________、________；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，当Δ>0时，直线l与曲线C________；当Δ＝0时，直线l与曲线C________；当Δ<0时，直线l与曲线C________．
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合．
知识点2　圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝__________＝
或|AB|＝____________＝，
k为直线的斜率且k≠0．
知识点3　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得椭圆中k＝－；双曲线中k＝________；抛物线中k＝(k为直线l的斜率)．
1．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则实数k的值是(　　)
A． B．－
C．± D．±
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2．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为________．
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3．(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13改编)已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A． B．
C． D．
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
[典例1]　(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)已知双曲线16x2－9y2＝144．
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)根据k的不同取值，讨论直线l：y＝kx＋1与该双曲线的交点个数．
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通性通法：(1)直线与双曲线只有一个公共点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个公共点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
[多维变迁]
1．(2026·鹰潭模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
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考点二　弦长问题
[典例2]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
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[考题探源]
(北师大版选择性必修第一册P90复习题二B组T5)已知点F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，直线l经过点F2，且与椭圆交于M，N两点，求△MF1N面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
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　通性通法：直线与圆锥曲线相交时弦长的求法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．
[多维变迁]
(2025·南京期末)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且椭圆C的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为－且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
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圆锥曲线弦长的万能公式
(破解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f (x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝·|x1－x2|＝
＝＝．
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝·|y1－y2|＝
＝＝．
[典例3]　已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|＝(　　)
A． B．
C．4 D．4
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考点三　中点弦问题
[典例4]　(2026·昆明模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
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思维建模：点差法模型
第1步　坐标代入：设出两个交点坐标，代入圆锥曲线方程．
第2步　方程作差：对两个方程作差处理．
第3步　转化为斜率、中点间的关系：变形转化为斜率与中点坐标的关系式进行求解．
最后要验证所求的方程是否满足题意．
[多维变迁]
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(2，0)
C． D．(1，1)
2．已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________．
1．(链接考点一)直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A． B．
C． D．
3．(链接考点三)(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T13改编)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0，1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，若线段P1P2的中点在直线x＝上，则直线l的斜率为________．
第66课时　直线与圆锥曲线
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)相交　相切　相离　(2)相交　相切　相离　渐近线　对称轴
知识点2　|x1－x2|
|y1－y2|
知识点3　(2)
链教材·夯基固本
1．C　[由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±．故选C．]
2．　[在＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，
所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
故左焦点为F1(－1，0)，而tan 60°＝，
故直线l的方程为y＝(x＋1)，
联立消去y得7x2＋12x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝．
则由弦长公式得|AB|＝．]
3．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∴＝1，＝1，两式相减得，∵M(3，2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，
∴kAB＝．
经验证Δ>0，符合题意．
故选D．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　解：(1)由题意得＝1，
可得a＝3，b＝4，c＝5，
故顶点坐标为(±3，0)，焦点坐标为(±5，0)，离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x．
(2)联立
消去y得(16－9k2)x2－18kx－153＝0，(*)
①当16－9k2＝0或Δ＝(－18k)2－4×(16－9k2)×(－153)＝0，
即k＝±或k＝±时，直线l与双曲线只有一个公共点．
②当16－9k2≠0，Δ＝(－18k)2－4×(16－9k2)×(－153)>0，即－直线l与双曲线有两个不同的公共点．
③当Δ＝(－18k)2－4×(16－9k2)×(－153)<0，即k<－或k>时，方程(*)没有实数根，可知原方程组没有实数解．直线l与双曲线没有公共点．
多维变迁
1．A　[由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－m)，
则消去y整理得
x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k的方程k2－4km＋4＝0有两个不同的解，
所以Δ1>0即16m2－16>0，解得m<－1或m>1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件．故选A．]
2．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③
方程③的根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．
(1)当Δ>0，即－3这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，
可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，
方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．
这时直线l与椭圆C没有公共点．
考点二
典例2　解：(1)由题意知
解得
∴c＝，∴C的离心率e＝．
(2)由题意知
|PA|＝，
设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝．
易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x0，y0)，
则
解得
∴B(0，－3)或B，
故l：y＝x－3或y＝x．
考题探源
　解：由＝1可知F1(－1，0)，F2(1，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|，
易知直线MN的斜率不为0，
设直线MN：x＝my＋1，由消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
＝|y1－y2|＝
＝，
令t＝，则t≥1，，
∵函数y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
∴3t＋≥4，故≤3，
所以△MF1N面积的最大值为3．
此时t＝＝1，即m＝0，
所以所求直线l的方程为x＝1．
多维变迁
　解：(1)由题意可知，2a＝4，则a＝2，
∵e＝，∴c＝，
∴b＝＝1，
∴椭圆C：＋y2＝1．
(2)由(1)可得F1(－，0)，F2(，0)，
∴直线l：y＝－x＋1，
联立
消去y得7x2－8x＝0，
解得x＝0或x＝，不妨设P(0，1)，Q，
所以|PQ|＝，
又点F1到直线PQ的距离d＝，
∴|PQ|·d＝××．
微点突破14
典例3　D　[联立双曲线与直线的方程，
得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1，
由弦长的万能公式，知|MN|＝＝4．故选D．]
考点三
典例4　A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程可得
两式作差可得，
＝0，
又线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
则，又直线AB的斜率为kAB＝，
所以，而a2－b2＝c2＝9，
所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为＝1．故选A．]
多维变迁
1．A　[∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x．设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
∴线段PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵线段PQ的中点在直线l上，
∴线段PQ中点的横坐标为－1＋2＝1．
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．故选A．]
2．x＋2y－3＝0　[法一：易知此弦所在直线的斜率存在，
设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，①
＝1，②
由①－②得
＝0．
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0．
又x2－x1≠0，∴k＝＝－．
经检验，k＝－满足题意．
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．
法二：利用结论
k＝－＝－×＝－，∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
随堂·对点检测
1．A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交．]
2．C　[由题意，得a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以椭圆右焦点的坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得5x2－8x＋8＝0，
Δ＝(－8)2－4×5×8＝32>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|
＝
＝×．
即弦AB的长为．]
3．－1　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
联立消去y并整理得(2－k2)·x2－2kx－3＝0．显然2－k2≠0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由Δ＝24－8k2>0，得－1 / 9(共87张PPT)
第八章　解析几何
第66课时　直线与圆锥曲线
[考试要求]　1．理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法． 2．掌握圆锥曲线的弦长公式．3．掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题．
理法先行·题练固本
知识点1　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有____、____、____；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
相交
相切
相离
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，当Δ>0时，直线l与曲线C____；当Δ＝0时，直线l与曲线C____；当Δ<0时，直线l与曲线C____．
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的______平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的______平行或重合．
相交
相切
相离
渐近线　
对称轴
知识点2　圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝______________
＝
或|AB|＝__________________
＝，k为直线的斜率且k≠0．
|x1－x2|
|y1－y2|
知识点3　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得椭圆中双曲线中k抛物线中(k为直线l的斜率)．
1．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则实数k的值是(　　)
A． B．
C．± D．±
√
C　[由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为______________．
　
　[在＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，
所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
故左焦点为F1(－1，0)，而tan 60°＝，
故直线l的方程为y＝(x＋1)，
联立消去y得7x2＋12x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝．
则由弦长公式得|AB|＝．]
3．(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13改编)已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∴＝1，＝1，两式相减得，∵M(3，2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，∴kAB＝．经验证Δ>0，符合题意．故选D．]
考点深研·题型突破
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
[典例1]　(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)已知双曲线16x2－9y2＝144．
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)根据k的不同取值，讨论直线l：y＝kx＋1与该双曲线的交点个数．
[解]　(1)由题意得＝1，
可得a＝3，b＝4，c＝5，
故顶点坐标为(±3，0)，焦点坐标为(±5，0)，离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x．
(2)联立
消去y得(16－9k2)x2－18kx－153＝0，(*)
①当16－9k2＝0或Δ＝(－18k)2－4×(16－9k2)×(－153)＝0，
即k＝±或k＝±时，直线l与双曲线只有一个公共点．
②当16－9k2≠0，Δ＝(－18k)2－4×(16－9k2)×(－153)>0，即－且k≠±时，方程(*)有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．
直线l与双曲线有两个不同的公共点．
③当Δ＝(－18k)2－4×(16－9k2)×(－153)<0，即k<－或k>时，方程(*)没有实数根，可知原方程组没有实数解．直线l与双曲线没有公共点．
通性通法：(1)直线与双曲线只有一个公共点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个公共点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
[多维变迁]
1．(2026·鹰潭模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
A　[由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－m)，
则消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k的方程k2－4km＋4＝0有两个不同的解，
所以Δ1>0即16m2－16>0，解得m<－1或m>1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件．故选A．]
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③
方程③的根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．
(1)当Δ>0，即－3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．
这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，
可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，
方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．
这时直线l与椭圆C没有公共点．
【教用·备选题】
(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则实数k的一个取值为______________．
　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
　
考点二　弦长问题
[典例2]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
[解]　(1)由题意知
解得
∴c＝，∴C的离心率e＝．
(2)由题意知|PA|＝，
设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝．
易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x0，y0)，
则
解得
∴B(0，－3)或B，
故l：y＝x－3或y＝x．
[考题探源]
(北师大版选择性必修第一册P90复习题二B组T5)已知点F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，直线l经过点F2，且与椭圆交于M，N两点，求△MF1N面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
[解]　由＝1可知F1(－1，0)，F2(1，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|，
易知直线MN的斜率不为0，
设直线MN：x＝my＋1，由消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
，
令t＝，则t≥1，，
∵函数y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
∴3t＋≥4，故≤3，
所以△MF1N面积的最大值为3．
此时t＝＝1，即m＝0，
所以所求直线l的方程为x＝1．
通性通法：直线与圆锥曲线相交时弦长的求法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．
[多维变迁]
(2025·南京期末)已知椭圆C：的长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左、右焦点分别为F1，F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为－且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
[解]　(1)由题意可知，2a＝4，则a＝2，
∵e＝，∴c＝，∴b＝＝1，
∴椭圆C：＋y2＝1．
(2)由(1)可得F1(－，0)，F2(，0)，
∴直线l：y＝－x＋1，
联立消去y得7x2－8x＝0，
解得x＝0或x＝，不妨设P(0，1)，Q，
所以|PQ|＝，
又点F1到直线PQ的距离
d＝，
∴|PQ|·d＝．
【教用·备选题】
1．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知过点(0，1)的直线与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是(　　)
A．( B．)
C．( D．]
√
D　[由02＋<1，得点(0，1)在椭圆内，
若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，联立椭圆方程与直线AB的方程，
整理得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，且Δ＝4k2＋4(2＋k2)>0，
所以xA＋xB＝－，xAxB＝－，
则|AB|＝
∈[，2)；
若直线AB的斜率不存在，则|AB|为长轴长，即2．
综上，|AB|∈[，2]．
故选D．]
2．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列不满足条件的直线l为(　　)
A．x＝ B．x＋2y－1＝0
C．x－ D．＝0
√
B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，则方程为x＝，
由得y＝±2，
∴|AB|＝4满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－)，
由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0．
当2－k2＝0时，不符合题意，
当2－k2≠0时，Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝＝4，
解得k＝±．
此时直线l的方程为x±＝0．
综上，满足条件的直线l的方程为x＝或x±＝0．故选B．]
微点突破14　圆锥曲线弦长的万能公式(破解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f (x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝·|x1－x2|＝
＝．
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝·|y1－y2|＝
＝．
[典例3]　已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|＝(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[联立双曲线与直线的方程，
得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1，
由弦长的万能公式，知|MN|＝．故选D．]
【教用·备选题】
(2025·上饶一模)已知双曲线C：的焦点F与抛物线x2＝8y的焦点重合，且双曲线C的离心率为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点Q(2，0)的直线l与双曲线C交于A，B两点，△OAB的面积为2，求直线l的方程．
[解]　(1)易知抛物线x2＝8y的焦点坐标为(0，2)，
因为双曲线C的焦点F与抛物线x2＝8y的焦点重合，
所以c＝2，
因为双曲线的离心率为，
所以e＝，
解得a＝，b2＝c2－a2＝2，
则双曲线方程为＝1．
(2)显然直线l斜率不能为0，
设直线l的方程为x＝my＋2，
易知点O到直线l的距离d＝，
联立消去x并整理得(m2－1)y2＋
4my＋6＝0，
此时m2≠1且Δ＝16m2－24(m2－1)＝24－8m2>0，
解得m2<3且m2≠1，
所以|AB|＝· ＝，
所以S△OAB＝|AB|·d＝，
解得m＝±．
则直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2．
考点三　中点弦问题
[典例4]　(2026·昆明模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A． B．＝1
C． D．＝1
√
A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程可得
两式作差可得，
＝0，
又线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
则，又直线AB的斜率为kAB＝，
所以，而a2－b2＝c2＝9，
所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为＝1．
故选A．]
思维建模：点差法模型
第1步　坐标代入：设出两个交点坐标，代入圆锥曲线方程．
第2步　方程作差：对两个方程作差处理．
第3步　转化为斜率、中点间的关系：变形转化为斜率与中点坐标的关系式进行求解．
最后要验证所求的方程是否满足题意．
【教用·通性通法】
弦及中点弦问题的解决方法
(1)根与系数的关系：联立直线与椭圆或双曲线方程，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦的两端点在椭圆或双曲线上，作差构造中点、斜率间的关系式．若已知弦的中点坐标，则可求弦所在直线的斜率．
[多维变迁]
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(2，0)
C． D．(1，1)
√
A　[∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x．设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
∴线段PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵线段PQ的中点在直线l上，
∴线段PQ中点的横坐标为－1＋2＝1．
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．
故选A．]
2．已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为______________．
x＋2y－3＝0　[法一：易知此弦所在直线的斜率存在，
设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，①
＝1，②
x＋2y－3＝0　
由①－②得
＝0．
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0．
又x2－x1≠0，∴k＝．
经检验，k＝－满足题意．
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．
法二：利用结论
k＝－，∴此弦所在的直线方程为y－1＝
－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
【教用·备选题】
(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
√
D　[结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9，即＝kAB·＝9，因此kAB＝9·．
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；
对于D选项，因为kAB＝9×<3，所以直线AB与
双曲线有两个交点，满足题意．故选D．]
1．(链接考点一)直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为
(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
√
A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交．]
2．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[由题意，得a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以椭圆右焦点的坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得5x2－8x＋8＝0，
Δ＝(－8)2－4×5×8＝32>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝．即弦AB的长为．]
3．(链接考点三)(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T13改编)已知双曲线C：x2－作直线l交双曲线于P1，P2两点，若线段P1P2的中点在直线上，则直线l的斜率为______________．
－1　
－1　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立消去y并整理得(2－k2)x2－2kx－3＝0．显然2－k2≠0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由Δ＝24－8k2>0，得－，则x1＋x2＝＝1，解得k＝－1±，所以k＝－1＋．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
√
一、单项选择题
1．(2025·包头二模)若直线l与双曲线－y2＝1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－3 B．y＝－x－3
C．y＝x＋5 D．y＝－x＋5
课时作业(六十六)　直线与圆锥曲线
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为线段PQ的中点为M(4，1)，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
联立，
即＝(y1＋y2)(y1－y2)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
所以＝1，
所以直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y－1＝x－4，
即y＝x－3，经检验符合题意．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
2．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1．若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－ B．)
C．[－ D．)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[联立整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，
所以
解得1题号
1
3
5
2
4
6
8
7
二、多项选择题
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
ACD　[由焦点F到准线的距离为4，
可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
则＝8x1，＝8x2，
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴＝8x1－8x2，即＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．故选ACD．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
4．(苏教版选择性必修第一册P125复习题T15改编)已知椭圆＋y2＝1，斜率存在且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l过椭圆焦点，则1<|AB|<4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
BD　[由题意，a＝2，b＝1．对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则＝1，＝1，两式作差可得＝－(y1＋y2)·(y1－y2)，∴，则kAB·kOM＝－≠－1，故A错误；对于B，若点M的坐标为，则kAB＝－，则直线l的方程为y－(x－1)，即x＋2y－2＝0，经检验，符合题意，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
故B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，则kOM＝－，故OM所在直线的方程为y＝－x，很显然点M的坐标不可能为，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为＝1，长轴最长，为4，
由直线l的斜率存在且不过原点，得1<|AB|<4，故D正确．故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
三、填空题
5．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8AT4节选)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1没有公共点，则实数k的取值范围是______________．
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
　[把y＝kx＋2代入＝1，消去y并整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意得Δ＝(12k)2－4×(2＋3k2)×6＝72k2－48<0，解得－．
故实数k的取值范围是．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
6．(2026·石家庄模拟)过点P(2，1)作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是______________．
4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
4　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为点P(2，1)是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
因为A，B为抛物线y2＝8x上的点，
所以＝8x1，＝8x2，
两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
所以＝4，则直线AB的斜率为4．
经检验，直线AB符合题意．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
四、解答题
7．(2025·泸州二模)已知双曲线C：．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，M(4，2)是弦AB的中点，求线段AB的长度．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解]　(1)设焦点F(c，0)，其到渐近线y＝x的距离d＝，
又因为双曲线经过点P(2＝1，解得a＝2，
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为M(4，2)是弦AB的中点，则
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
由于两式相减得
，
即，
所以直线l的方程为y＝x－4，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
联立消去y得6x2－48x＋76＝0，Δ＝482－4×6×76＝480>0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝，
所以|AB|＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
8．已知椭圆C：，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的☉E与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点Q(1，0)且斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若＝－2，求实数k的值及△MON的面积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解]　(1)已知椭圆C的离心率e＝，
所以e2＝，即a2＝b2，①
因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的☉E与直线x－y＋＝0相切，
所以b＝，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝3，
则椭圆C的方程为＝1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(2)不妨设直线MN的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝144k2＋144>0，
则
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
此时y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝，
因为＝－2，
解得k2＝2，即k＝±
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
则|MN|＝，
又点O到直线MN的距离d＝，
故△MON的面积S＝．
谢谢！课时作业(六十六)　直线与圆锥曲线
一、单项选择题
1．(2025·包头二模)若直线l与双曲线－y2＝1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－3 B．y＝－x－3
C．y＝x＋5 D．y＝－x＋5
2．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1．若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－) B．[1，)
C．[－] D．(1，)
二、多项选择题
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
4．(苏教版选择性必修第一册P125复习题T15改编)已知椭圆＋y2＝1，斜率存在且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l过椭圆焦点，则1<|AB|<4
三、填空题
5．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8AT4节选)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1没有公共点，则实数k的取值范围是________．
6．(2026·石家庄模拟)过点P(2，1)作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是________．
四、解答题
7．(13分)(2025·泸州二模)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)经过点P(2)，焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，M(4，2)是弦AB的中点，求线段AB的长度．
8．(15分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点Q(1，0)且斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若＝－2，求实数k的值及△MON的面积．
课时作业(六十六)
1．A　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为线段PQ的中点为M(4，1)，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
联立
两式相减可得，
即＝(y1＋y2)(y1－y2)，
所以＝1，
所以直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y－1＝x－4，
即y＝x－3，经检验符合题意．故选A．]
2．D　[联立整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，
所以
解得13．ACD　[由焦点F到准线的距离为4，
可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
则＝8x1，＝8x2，
若M(m，2)是线段AB的中点，
则y1＋y2＝4，
∴＝8x1－8x2，
即＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．故选ACD．]
4．BD　[由题意，a＝2，b＝1．对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则＝1，＝1，两式作差可得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，∴＝－＝－，则kAB·kOM＝－≠－1，故A错误；对于B，若点M的坐标为，则kAB＝－，则直线l的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－2＝0，经检验，符合题意，故B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，则kOM＝－，故OM所在直线的方程为y＝－x，很显然点M的坐标不可能为，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为＝1，长轴最长，为4，
由直线l的斜率存在且不过原点，得1<|AB|<4，故D正确．故选BD．]
5．　[把y＝kx＋2代入＝1，消去y并整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意得Δ＝(12k)2－4×(2＋3k2)×6＝72k2－48<0，解得－故实数k的取值范围是．]
6.4　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为点P(2，1)是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
因为A，B为抛物线y2＝8x上的点，
所以＝8x1，＝8x2，
两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
所以＝4，则直线AB的斜率为4．
经检验，直线AB符合题意．]
7．解：(1)设焦点F(c，0)，其到渐近线y＝x的距离d＝＝b＝，
又因为双曲线经过点P(2＝1，解得a＝2，
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为M(4，2)是弦AB的中点，
则
由于两式相减得
，
即，
所以直线l的方程为y＝x－4，
联立消去y得6x2－48x＋76＝0，Δ＝482－4×6×76＝480>0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|＝×．
8．解：(1)已知椭圆C的离心率e＝，
所以e2＝，即a2＝b2，①
因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的☉E与直线x－y＋＝0相切，
所以b＝，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝3，
则椭圆C的方程为＝1．
(2)不妨设直线MN的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝144k2＋144>0，
则
此时y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝，
因为＝x1x2＋y1y2＝＝－2，
解得k2＝2，即k＝±，
此时
则|MN|＝
＝
＝，
又点O到直线MN的距离d＝，
故△MON的面积S＝××．
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