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第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求]　1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识点1　与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条______________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
(2)三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过________和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过________直线，有且只有一个平面
推论3 经过________直线，有且只有一个平面
知识点2　空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平 行 关 系 图形 语言
符号 语言 a∥b a∥α α∥β
相 交 关 系 图形 语言
符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独 有 关 系 图形 语言
符号 语言 a，b是 异面直线 a α
知识点3　基本事实4和等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________．
(2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角________．
知识点4　异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
[常用结论]
1．异面直线判定的一个定理
与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示．
2．唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
,
1．(人教A版必修第二册P128练习T2)下列说法正确的是(　　)
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．圆心和圆上两点确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
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2．(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．是异面直线　
D．可能平行，也可能是异面直线
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3．(北师大版必修第二册P225例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
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4．(湘教版必修第二册P156例5改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
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5．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
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考点一　基本事实的应用
[典例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
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通性通法：共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
考点二　空间两直线位置关系的判定
[典例2]　(1)(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．若α∩β＝l，a α，b β，a∩b＝A，则A∈l
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
(2)(多选)(2025·阜阳月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
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通性通法：(1)要判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法．
(2)异面直线的判定方法：①反证法；②直接法．
考点三　异面直线所成的角
[典例3]　(1)(2025·深圳期末)如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，则直线CD与AS所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
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通性通法：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移．
[多维变迁]
1．(2025·庆阳期末)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
2．(2026·潍坊模拟)如图，半球的球心为O，BC为底面大圆O的直径，点A在球面上，且AO垂直于底面，点M为的中点，点N为的中点，则直线MN与AO所成角的正切值为(　　)
A． B．
C． D．
截面问题
作截面的具体步骤
(1)找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；
方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点．
(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线．
(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面．
[典例4]　(2025·常州月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、D1三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面α，则截面α的面积为 ________．
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1．(链接考点二)(2025·合肥月考)下列说法错误的是(　　)
A．垂直于同一个平面的两条直线平行
B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．(链接考点一)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)
A．点P必在直线AC上
B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内
D．点P必在平面ABC外
3．(链接考点三)(2025·大理月考)在正四棱锥P-ABCD中，E是棱PC的中点，PA＝3AB，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是(　　)
A． B．
C． D．
4．(链接考点三)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
第52课时　空间点、直线、平面之间
的位置关系
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)不在一条直线上　两个点　过该点的公共直线　(2)一条直线　两条相交　两条平行　
知识点3　(1)平行　(2)相等或互补　
链教材·夯基固本
1．D　[对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故C错误．对于D，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故D正确．]
2．D　[∵α∥β，∴a与b无公共点，
∴a与b可能平行，也可能是异面直线．]
3．(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
[(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF＝EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，∴AC＝BD．
(2)要使四边形EFGH为正方形，
应有EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD．]
4．D　[连接BD(图略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角，
不妨设正方体的棱长为a，则BD＝a，BD1＝a，
所以cos∠DD1B＝．]
5．C　[与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　证明：
(1)如图所示，连接B1D1．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1．
在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β．
因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1．
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，
所以M∈CC1．
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
考点二
典例2　(1)ABD　(2)CD　[(1)对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；
对于B，若a α，b β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β，因为α∩β＝l，所以A∈l，B正确；
对于C，若l∩α＝A，则有l α，A∈l，但A∈α，C错误；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确．故选ABD．
(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．故选CD．]
考点三
典例3　(1)C　(2)C　[(1)取OA的中点E，连接DE，CE，
因为D为SO的中点，所以DE∥SA，
则直线CD与AS所成的角为∠CDE(或其补角)，不妨设AB＝2，
又圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，
则DE＝×2＝1，CE＝，CD＝，
在△CDE中，由余弦定理的推论，得
cos∠CDE＝，
即直线CD与AS所成角的余弦值为．
故选C．
(2)法一：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1．
易知AD1∥DE1，则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角．
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
所以DE1＝
＝＝2，
DB1＝，
B1E1＝，
在△B1DE1中，由余弦定理的推论，
得cos∠B1DE1＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
法二：
如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以AD1＝＝2，
DM＝，
DB1＝，
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，在△DMO中，由余弦定理的推论，
得cos∠MOD＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选C．]
多维变迁
1．D　[如图所示，连接CD1，AD1，根据长方体的性质易知BC1∥AD1，
所以∠D1AC(或其补角)为异面直线AC与BC1所成的角，
不妨设AA1＝AD＝2AB＝2a，
在△D1AC中，AD1＝2a，D1C＝AC＝a，
所以由余弦定理的推论，得
cos∠D1AC＝
＝，
所以异面直线AC与BC1所成角的余弦值为．
故选D．]
2．D　[如图，过点M作AO的平行线ME交OC于点E，连接EN，ON，MO，
则∠NME(或其补角)为直线MN与AO所成的角，
设球的半径为2，则AO＝OM＝ON＝2，
因为M为的中点，所以∠MOE＝45°，
又ME∥AO，AO垂直于底面，所以ME垂直于底面，ME⊥OE，ME⊥EN，
则ME＝OE＝OM＝，所以EN＝，
所以tan∠NME＝．故选D．]
微点突破11
典例4　　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线MN与直线DA，DC分别交于E，F，
连接D1E，D1F，分别与AA1，CC1交于点P，Q，连接PM，QN，
则五边形D1PMNQ是过M、N、D1的正方体的截面α，
由M为AB中点，N为BC中点，
得AM＝BM＝BN＝CN＝1，AE＝AM＝1，CF＝CN＝1，
所以，即AP＝，
同理CQ＝，D1E＝D1F＝，EF＝3EM＝3，
PE＝PM＝QN＝QF＝，
在等腰△D1EF中，
cos∠D1EF＝，
则sin∠D1EF＝
＝，
EF·D1E·sin∠D1EF＝×3××，
S△PEM＝EM·PE·sin∠D1EF＝×××，
所以截面α的面积S＝－2S△PEM＝－2×．]
随堂·对点检测
1．C　[对于A，由线面垂直的性质得：
垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；
对于B，由平面的基本性质得：
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故B正确；
对于C，由等角定理得：
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上，
所以它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确．
故选C．]
2．A　[如图，因为EF 平面ABC，而GH 平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]
3．C　[取CD的中点F，连接EF，BF，BE，
因为E，F分别是棱PC，CD的中点，所以EF∥PD，EF＝PD，
则∠BEF(或其补角)是异面直线PD与BE所成的角．
设AB＝BC＝2，则PD＝PA＝3AB＝6，CF＝1，
则EF＝PD＝3，BF＝，
因为PB＝PC＝6，BC＝2，所以cos∠PCB＝，所以BE＝
＝，
则cos∠BEF＝
＝．
故选C．]
4．　[如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点．
设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝．
连接ED，则ED＝．因为BC∥AD，所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE与BC所成的角．在△EAD中，cos∠EAD＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为．]
1 / 9(共110张PPT)
第七章　立体几何与空间向量
第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求]　1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
理法先行·题练固本
知识点1　与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过_______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
不在一条直线上
基本事实 内容 图形 符号
基本 事实2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条________________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
两个点
过该点的公共直线
(2)三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过________和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的
依据
推论2 经过________直线，有且只有一个平面
推论3 经过________直线，有且只有一个平面
一条直线
两条相交
两条平行
知识点2　空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平 行 关 系 图形 语言
符号 语言 a ∥b a ∥α α ∥β
相 交 关 系 图形 语言
符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
直线与直线 直线与平面 平面与平面
独 有 关 系 图形 语言
符号 语言 a，b是异面直线 a α
知识点3　基本事实4和等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线____．
(2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________．
知识点4　异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
平行
相等或互补
[常用结论]
1．异面直线判定的一个定理
与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的
直线是异面直线，如图所示．
2．唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
1．(人教A版必修第二册P128练习T2)下列说法正确的是(　　)
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．圆心和圆上两点确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
√
D　[对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故C错误．对于D，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故D正确．]
2．(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α ∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．是异面直线　
D．可能平行，也可能是异面直线
√
D　[∵α ∥β，∴a与b无公共点，
∴a与b可能平行，也可能是异面直线．]
3．(北师大版必修第二册P225例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件______________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件____________________时，四边形EFGH为正方形．
AC＝BD
AC＝BD且AC⊥BD
(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
[(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF＝EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，∴AC＝BD．
(2)要使四边形EFGH为正方形，
应有EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD．]
4．(湘教版必修第二册P156例5改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　)
A．　　　　　 B．
C．　　 D．
√
D　[连接BD(图略)，由于AA1 ∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角，
不妨设正方体的棱长为a，则BD＝a，BD1＝a，
所以cos∠DD1B＝．]
5．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
C　[与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C．]
考点深研·题型突破
考点一　基本事实的应用
[典例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
[证明]　(1)如图所示，
连接B1D1．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF ∥B1D1．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1 ∥BD，
所以EF ∥BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β．
因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF ∥BD且EF所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1．
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，
所以M∈CC1．
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
通性通法：共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
考点二　空间两直线位置关系的判定
[典例2]　(1)(多选)下列推断中，正确的是(　　)
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．若α∩β＝l，a α，b β，a∩b＝A，则A∈l
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
√
√
√
(2)(多选)(2025·阜阳月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
√
√
(1)ABD　(2)CD　[(1)对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；
对于B，若a α，b β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β，因为α∩β＝l，所以A∈l，B正确；
对于C，若l∩α＝A，则有l α，A∈l，但A∈α，C错误；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确．
故选ABD．
(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．故选CD．]
通性通法：(1)要判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法．
(2)异面直线的判定方法：①反证法；②直接法．
考点三　异面直线所成的角
[典例3]　(1)(2025·深圳期末)如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，则直线CD与AS所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
(1)C　(2)C　[(1)取OA的中点E，连接DE，CE，
因为D为SO的中点，
所以DE ∥SA，
则直线CD与AS所成的角为∠CDE(或其补角)，
不妨设AB＝2，
又圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，
则DE＝×2＝1，CE＝，CD＝，
在△CDE中，由余弦定理的推论，得cos∠CDE＝，
即直线CD与AS所成角的余弦值为．
故选C．
(2)法一：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1．
易知AD1 ∥DE1，则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角．
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1
＝，
所以DE1＝＝2，
DB1＝，
B1E1＝，
在△B1DE1中，由余弦定理的推论，
得cos∠B1DE1＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
法二：如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1 ∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以AD1＝＝2，
DM＝，
DB1＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，在△DMO中，由余弦定理的推论，
得cos∠MOD＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选C．]
通性通法：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移．
[多维变迁]
1．(2025·庆阳期末)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[如图所示，连接CD1，AD1，根据长方体的性质易知BC1 ∥AD1，
所以∠D1AC(或其补角)为异面直线AC与BC1所成的角，
不妨设AA1＝AD＝2AB＝2a，
在△D1AC中，AD1＝2a，D1C＝AC＝a，
所以由余弦定理的推论，得
cos∠D1AC＝＝，
所以异面直线AC与BC1所成角的余弦值为．
故选D．]
2．(2026·潍坊模拟)如图，半球的球心为O，BC为底面大圆O的直径，点A在球面上，且AO垂直于底面，点M为的中点，点N为的中点，则直线MN与AO所成角的正切值为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[如图，过点M作AO的平行线ME交OC于点E，连接EN，ON，MO，
则∠NME(或其补角)为直线MN与AO所成的角，
设球的半径为2，则AO＝OM＝ON＝2，
因为M为的中点，所以∠MOE＝45°，
又ME∥AO，AO垂直于底面，所以ME垂直于底面，ME⊥OE，ME⊥EN，则ME＝OE＝OM＝，所以EN＝，
所以tan∠NME＝．
故选D．]
微点突破11　截面问题
作截面的具体步骤
(1)找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；
方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点．
(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线．
(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面．
[典例4]　(2025·常州月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、D1三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面α，则截面α的面积为 ______________．
　
　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线MN与直线DA，DC分别交于E，F，
连接D1E，D1F，分别与AA1，CC1交于点P，Q，连接PM，QN，
则五边形D1PMNQ是过M、N、D1的正方体的截面α，
由M为AB中点，N为BC中点，
得AM＝BM＝BN＝CN＝1，AE＝AM＝1，CF＝CN＝1，
所以，即AP＝，
同理CQ＝，D1E＝D1F＝，EF＝3EM＝3，
PE＝PM＝QN＝QF＝，
在等腰△D1EF中，cos∠D1EF＝，
则sin∠D1EF＝＝，
EF·D1E·sin∠D1EF＝×3，S△PEM＝EM·PE·sin∠D1EF＝，
所以截面α的面积S＝－2S△PEM＝－2×．]
1．(链接考点二)(2025·合肥月考)下列说法错误的是(　　)
A．垂直于同一个平面的两条直线平行
B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
√
C　[对于A，由线面垂直的性质得：
垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；
对于B，由平面的基本性质得：
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故B正确；
对于C，由等角定理得：
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上，
所以它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确．故选C．]
2．(链接考点一)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)
A．点P必在直线AC上
B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内
D．点P必在平面ABC外
√
A　[如图，因为EF 平面ABC，而GH 平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]
3．(链接考点三)(2025·大理月考)在正四棱锥P-ABCD中，E是棱PC的中点，PA＝3AB，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[取CD的中点F，连接EF，BF，BE，
因为E，F分别是棱PC，CD的中点，所以EF ∥PD，EF＝PD，
则∠BEF(或其补角)是异面直线PD与BE所成的角．
设AB＝BC＝2，则PD＝PA＝3AB＝6，CF＝1，
则EF＝PD＝3，BF＝，
因为PB＝PC＝6，BC＝2，所以cos∠PCB＝，
所以BE＝，
则cos∠BEF＝＝．
故选C．]
4．(链接考点三)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______________．
　
　[如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，
连接AF，易知F为的中点．
设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，
AF＝，所以AE＝．连接ED，则ED＝．因为BC∥AD，所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE与BC所成的角．在△EAD中，cos∠EAD＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
一、单项选择题
1．(2025·上饶期末)已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于(　　)
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
√
课时作业(五十二)　空间点、直线、平面之间的位置关系
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[∵AB∥PQ，BC∥QR，
且∠ABC＝60°，
∴∠PQR＝60°或120°．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2025·肥城期末)长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，A1C1与B1D1交于点O，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O三点确定一个平面
C．D，D1，M，O四点共面
D．A，B1，B，M四点共面
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A　[如图，根据题意，连接AO，AC，则A1C1∥AC，
所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C 平面ACC1A1，
又M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理可得点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
所以A，M，O三点共线，
故A正确，B错误；
由上面分析知OM 平面AB1D1，又DD1 平面AB1D1，
DD1∩平面AB1D1＝D1，所以OM与DD1为异面直线，
故C错误；
连接BM，易知AB1与BM为异面直线，故D错误．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2025·淄博期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[取CC1的中点F，连接BF，D1F，EF(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，
因为AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，
所以四边形ABFE为平行四边形，
所以BF∥AE，则∠D1BF(或其补角)为异面直线AE与BD1所成的角，
BD1＝a，D1F＝BF＝a，
在△BD1F中，由余弦定理的推论得cos∠D1BF＝．
故选B．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A　[如图，
连接DM，取DM的中点P，连接PN，PC，
因为M，N分别是BC与AD的中点，所以NP∥AM，
则∠CNP(或其补角)为异面直线AM与CN 所成的角，
又AM＝CN＝，DM⊥BC，
所以PM＝PN＝，
PC＝，
在△CPN中，由余弦定理的推论，得cos∠CNP＝．
故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、多项选择题
5．(人教A版必修第二册P131练习T4改编)已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a∥b，b α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
C．若α∥β，a α，则a∥β
D．若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
BC　[
故选BC．]
选项 正误 原因
A × 若α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面
B √ 若a∥b，b α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行
C √ 若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a α，所以a∥β
D × 若α∩β＝b，a α，则当a∥b时，a∥β
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　)
A．AB1 B．A1C
C．A1A D．AD1
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
BCD　[对于A，如图1，连接AB1，C1D，BD，
当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；
对于B，如图2，连接A1C，A1C1，AC，
因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，
所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；
对于C，如图2，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1A，P 平面AA1C1C，
所以直线A1A与直线OP一定是异
面直线，故C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于D，如图3，连接AD1，D1C，AC，
因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
三、填空题
7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为______________．
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
　[如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，连接BC1交B1C于点O，取A1C1的中点F，
连接OF，显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，则∠B1OF(或其补角)是A1B与B1C所成的角．在△OB1F中，B1F＝，OB1＝B1C＝，OF＝A1B＝，
则cos∠B1OF＝，所以直线A1B与
直线B1C所成角的余弦值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，则MN的长为 ______________．
4或4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4或4　[取BD的中点E，连接ME，NE．
因为M，N分别是BC，AD的中点，所以ME∥CD
且ME＝CD＝4，NE∥AB且NE＝AB＝4，
可得∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角．
因为异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN＝60°或120°，
当∠MEN＝120°时，由余弦定理可知MN＝
＝4；
当∠MEN＝60°时，由余弦定理可知MN＝
＝4．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
四、解答题
9．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是AB，BC上的点，且．求证：
(1)四边形EFGH为梯形；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[证明]　(1)连接EF，HG，如图，因为空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
所以HG∥AC，且HG＝AC，
又因为，所以EF∥AC，且EF＝AC，所以HG∥EF，且HG≠EF，
故四边形EFGH为梯形．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)由(1)知四边形EFGH为梯形，且EH，FG是
梯形的两腰，
所以EH，FG相交于一点．
设交点为P，
因为EH 平面ABD，所以P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，
故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
10．(2025·金华期末)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点．
(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A1-D1EF的体积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解]　(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，A1D1＝CB＝HF，
因此四边形A1D1FH是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F＝A1H，
因此∠EA1H(或其补角)是异面直线A1E与D1F所成的角．因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
所以A1E＝A1H＝，
EH＝，
由余弦定理的推论，得cos∠EA1H＝＝，
所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)因为A1D1∥HF，HF 平面A1D1E，A1D1 平面A1D1E，
所以HF∥平面A1D1E，
因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，
即，
D1A1·＝×2×＝1，
所以三棱锥A1-D1EF的体积为1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·盐城期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是(　　)
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．圆台的轴截面不可能为直角梯形
阶段检测(十)　第50～52课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误；
对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件，但该几何体不是棱台，B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C，连接圆柱上、下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误；
对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，这是因为圆台由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上、下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形，故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，D正确．
故选D．]
√
2．(2025·无锡月考)如图，圆锥底面半径为3，母线长PA＝12，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为(　　)
A．6 B．16
C．4 D．12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[把圆锥侧面沿母线PA剪开，展在同一平面内得扇形APA'，连接AB，如图，
设扇形APA'圆心角大小为θ，
则12θ＝2π×3，
解得θ＝，在Rt△PAB中，PB＝PA'＝4，
则AB＝＝4，
所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为4．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·宝鸡期中)如图，是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中A'B'∥C'D'，A'B'＝2C'D'＝8，梯形A'B'C'D'的面积为30，则梯形ABCD的高为(　　)
A．5 B．10
C．10 D．20
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[根据题意，设原图梯形ABCD的高为h，
直观图梯形A'B'C'D'的面积为30，
则原图的面积S＝2×30＝60，
原图中，AB∥CD，且AB＝8，CD＝4，
则有＝60，则h＝10．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·宁乡期末)中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”ABC-A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3，AC＝2，则其中“阳马”B-A1ACC1与“堑堵”ABC-A1B1C1的体积之比为(　　)
A．1∶2 B．2∶3
C．1∶4 D．4∶5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[设BC＝a，由“阳马”的定义及AC⊥BC可知，
四边形A1ACC1是矩形，BC⊥平面A1ACC1，
所以“阳马”B-A1ACC1的体积为
V1＝×AC×CC1×BC＝×2×3×a＝2a，
由“堑堵”的定义可知，AC⊥BC，且CC1⊥平面ABC，
所以“堑堵”ABC-A1B1C1的体积为
V2＝S△ABC·CC1＝×AC×BC×CC1＝×2×a×3＝3a，
所以“阳马”B-A1ACC1与“堑堵”ABC-A1B1C1的体积之比为．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·齐齐哈尔模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，∠BAC＝120°，D是棱B1C1的中点，则异面直线AD与B1C所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[取CC1的中点E，连接AE，DE，A1D，
因为在△B1CC1中，DE是中位线，所以DE∥B1C，且B1C＝2DE，
所以∠ADE(或其补角)就是异面直线AD与B1C所成的角，
在△A1B1C1中，A1B1＝A1C1＝2，∠B1A1C1＝120°，
所以A1D⊥B1C1，A1D＝A1B1cos 60°＝1，
可得AD＝，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
在Rt△ACE中，CE＝CC1＝1，所以AE＝，
在△A1B1C1中，由余弦定理，得B1C1＝＝2，
所以B1C＝＝4，可得DE＝B1C＝2，
在△ADE中，cos∠ADE＝，
所以异面直线AD与B1C所成角的余弦值为．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·庆阳期末)已知三棱锥P-ABC，PA⊥AB，PA⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，PA＝2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为
(　　)
A．28π B．7π
C．14π D．π
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，
如图，经补形可知球心在直三棱柱ABC-PDE高的中点处O，O'为△ABC外接圆的圆心，外接球的半径R＝OA＝，2O'A＝＝2r＝4，
∴r＝O'A＝2，OO'＝，R＝，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2＝28π．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·泊头期末)已知一直角三角形的两条直角边分别为1 cm，2 cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是(　　)
A．π cm3 B．π cm3
C．π cm3 D．π cm3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[由已知，直角三角形斜边长为(cm)，若以 cm斜边为轴，则斜边上的高为(cm)，所求体积为×π×π(cm3)，
若以1 cm直角边为轴，则所求体积为×1×π×22＝π(cm3)，
若以2 cm直角边为轴，则所求体积为×2×π×12＝π(cm3)．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(2025·武威月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．C1，O，A，M四点共面
B．直线C1O与直线A1C为异面直线
C．直线A1A与直线OM相交
D．D1，D，O，M四点共面
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[对于A选项，如图，连接A1C1，
因为O为AC，BD的交点，直线A1C交平面C1BD
于点M，
所以点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的
交线上，即C1，M，O三点共线，
则点C1，O，A，M四点共面，故选项A正确；
对于B选项，由选项A的分析可知C1，M，O三点共线，所以直线C1O与直线A1C相交，故选项B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于C选项，因为O为AC的中点，点M为直线A1C与平面C1BD的交点，所以M不是A1C的中点，
又因为A1A，OM 平面A1AC，且A1A与OM不平行，所以直线A1A与直线OM相交，故选项C正确；
对于D选项，连接D1B1，因为点D1，D，O均在平面D1DBB1内，点M不在平面D1DBB1内，
且直线OM与直线DD1没有交点，所以直线OM与直线DD1异面，
则点D1，D，O，M四点不共面，故选项D错误，
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2025·吐鲁番期中)随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体．如图，已知该圆锥的高为3 m，圆柱的高为4 m，底面直径为8 m，该蒙古包的表面积是 ______________m2 (不含底面)，体积是 ______________m3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
52π　
80π
52π　80π　[由圆锥的高为3 m，圆柱的高为4 m，底面直径为8 m，
可得AE＝3，ED＝4，AD＝＝5，又DC＝4，
所以该蒙古包的表面积为π·ED·AD＋2π·ED·DC＝20π＋32π＝52π(m2)；
蒙古包的体积为π·ED2·AE＋π·ED2·BE＝16π＋64π＝80π(m3)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的表面积为 ______________，体积为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5＋3　　[作出示意图如图，
5＋3　
　
过A1作A1M⊥AC于M，连接AC，BD，A1C1，B1D1，
因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，
所以上底面面积为12＝1，下底面面积为22＝4，
所以棱台的侧高为，
所以侧面积为4××(1＋2)×＝3，
所以该棱台的表面积为1＋4＋3＝5＋3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
因为A1O1＝A1C1＝A1B1＝，AO＝AC＝AB＝，
所以AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝，
所以该棱台的体积为×(1＋4＋2)×．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．(湘教版必修第二册P156例5)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体．
(1)求异面直线AA1与BC所成的角；
(2)求异面直线BC1与AC所成的角．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)因为AD∥BC，
所以∠A1AD即为直线AA1与BC所成的角．
因为∠A1AD＝90°，
所以直线AA1与BC所成的角为90°．
(2)连接A1C1，A1B．
因为AA1綉CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，
所以AC∥A1C1．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
因此∠A1C1B就是直线BC1与AC所成的角．
因为A1B＝a，BC1＝a，A1C1＝a．
所以△A1BC1是等边三角形．
因此，∠A1C1B＝60°，
从而直线BC1与AC所成的角为60°．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2025·海宁期中)如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴将四边形ABCD旋转一周．
(1)求旋转体的表面积；
(2)求旋转体的体积；
(3)求图中所示圆锥CO的内切球体积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，
∴DD'＝AA'－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD'＝a，
∵以l为轴将梯形ABCD旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
且圆柱高为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，
圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，
圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面的面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积V1＝π(2a)2·a＝4πa3，
圆锥的体积V2＝πa2·a＝πa3，
∴旋转体的体积V＝V1－V2＝4πa3－πa3＝πa3．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3)如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为M，球的半径为R，N为切点，连接MN，
则MN⊥CD，MN＝MO＝R，
则△CMN∽△CDO，可得，
即，解得R＝a，
∴球的体积V＝πR3＝π×a3＝πa3．
谢谢！课时作业(五十二)　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单项选择题
1．(2025·上饶期末)已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于(　　)
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
2．(2025·肥城期末)长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，A1C1与B1D1交于点O，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O三点确定一个平面
C．D，D1，M，O四点共面
D．A，B1，B，M四点共面
3．(2025·淄博期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
4．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
5．(人教A版必修第二册P131练习T4改编)已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a∥b，b α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
C．若α∥β，a α，则a∥β
D．若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　)
A．AB1 B．A1C
C．A1A D．AD1
三、填空题
7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为________．
8．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，则MN的长为 ________．
四、解答题
9．(13分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是AB，BC上的点，且＝＝．求证：
(1)四边形EFGH为梯形；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
10．(15分)(2025·金华期末)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点．
(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A1-D1EF的体积．
课时作业(五十二)
1．B　[∵AB∥PQ，BC∥QR，且∠ABC＝60°，
∴∠PQR＝60°或120°．
故选B．]
2．A　[如图，根据题意，连接AO，AC，
则A1C1∥AC，
所以A1，C1，C，A四点共面，
所以A1C 平面ACC1A1，
又M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理可得点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
所以A，M，O三点共线，
故A正确，B错误；
由上面分析知OM 平面AB1D1，又DD1 平面AB1D1，DD1∩平面AB1D1＝D1，
所以OM与DD1为异面直线，故C错误；
连接BM，易知AB1与BM为异面直线，故D错误．
故选A．]
3．B　[取CC1的中点F，连接BF，D1F，EF(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，因为AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，
所以四边形ABFE为平行四边形，
所以BF∥AE，
则∠D1BF(或其补角)为异面直线AE与BD1所成的角，
BD1＝a，D1F＝BF＝a，
在△BD1F中，由余弦定理的推论得
cos∠D1BF＝
＝．
故选B．]
4．A　[如图，
连接DM，取DM的中点P，连接PN，PC，
因为M，N分别是BC与AD的中点，所以NP∥AM，
则∠CNP(或其补角)为异面直线AM与CN 所成的角，
又AM＝CN＝，DM⊥BC，
所以PM＝PN＝×，
PC＝，
在△CPN中，由余弦定理的推论，得
cos∠CNP＝
＝．
故选A．]
5．BC　[
选项 正误 原因
A × 若α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面
B √ 若a∥b，b α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行
C √ 若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a α，所以a∥β
D × 若α∩β＝b，a α，则当a∥b时，a∥β
故选BC．]
6．BCD　[对于A，如图1，连接AB1，C1D，BD，
当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；
对于B，如图2，连接A1C，A1C1，AC，
因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，
所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；
对于C，如图2，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1A，P 平面AA1C1C，
所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；
对于D，如图3，连接AD1，D1C，AC，
因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，
所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．]
7．　[如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，连接BC1交B1C于点O，取A1C1的中点F，
连接OF，显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，则∠B1OF(或其补角)是A1B与B1C所成的角．在△OB1F中，B1F＝，OB1＝B1C＝，OF＝A1B＝，
则cos∠B1OF＝，所以直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为．]
8．4或4　[取BD的中点E，连接ME，NE．
因为M，N分别是BC，AD的中点，所以ME∥CD且ME＝CD＝4，NE∥AB且NE＝AB＝4，
可得∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角．
因为异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN＝60°或120°，
当∠MEN＝120°时，由余弦定理可知MN＝＝4；
当∠MEN＝60°时，由余弦定理可知MN＝＝4．]
9．证明：(1)连接EF，HG，如图，因为空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
所以HG∥AC，且HG＝AC，
又因为，
所以EF∥AC，且EF＝AC，
所以HG∥EF，且HG≠EF，
故四边形EFGH为梯形．
(2)由(1)知四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，
所以EH，FG相交于一点．
设交点为P，
因为EH 平面ABD，所以P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，
故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点．
10．解：
(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，
A1D1＝CB＝HF，
因此四边形A1D1FH是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F＝A1H，
因此∠EA1H(或其补角)是异面直线A1E与D1F所成的角．因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，
所以A1E＝A1H＝，
EH＝，
由余弦定理的推论，得cos∠EA1H＝，
所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为．
(2)因为A1D1∥HF，HF 平面A1D1E，A1D1 平面A1D1E，所以HF∥平面A1D1E，
因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，
即
＝，
D1A1·
＝×2×＝1，
所以三棱锥A1-D1EF的体积为1．
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