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第54课时　空间直线、平面的垂直
[考试要求]　1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识点1　直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的________一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线________ a∥b
(3)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在________________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；直线与平面所成的角θ的取值范围是________．
知识点2　二面角
(1)从一条直线出发的________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)二面角的平面角α的范围：________．
知识点3　平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
[常用结论]
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
1．(人教A版必修第二册P150探究改编)如图，将一张三角形纸片ABC沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(　　)
A．150°　　　　 B．135°
C．90° D．60°
2．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T11改编)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心．
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3．(人教A版必修第二册P164习题8.6T18)如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，VC＝1，则二面角V-AB-C的余弦值为________．
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4．(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ
B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α
D．a∥α，a⊥β
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考点一　与线、面垂直相关命题的判定
[典例1]　(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若m α，α⊥β，则m⊥β
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通性通法：与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明线、面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
[多维变迁]
(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C．若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
考点二　直线与平面垂直的判定与性质
[典例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
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思维建模：线面垂直的证明模型
第1步　找线线垂直
翻译题干条件，转化出所有可能的线线垂直，为寻找目标直线做准备．
类型1：共面垂直；
类型2：已知线面垂直 线线垂直；
类型3：已知面面垂直 线面垂直 线线垂直．
第2步　分析法，逆向思考：确定要证的逆向逻辑链条．
第3步　正向写过程：根据正向表述的逻辑书写证明过程．
考点三　平面与平面垂直的判定与性质
[典例3]　(2025·北京期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AA1＝1，BC＝，D是棱AA1的中点，C1D⊥BD．
(1)求证：C1D⊥BC；
(2)求证：平面BCC1B1⊥平面ACC1A1；
(3)求四棱锥C-ABB1A1的体积．
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通性通法：1．证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直，则所有经过平面垂线的平面都与已知平面垂直，而面面垂直判定的常用两种方法：
(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
2．若条件中已知面面垂直，则通常会应用面面垂直证明线面垂直，即一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
考点四　平行、垂直关系的综合应用
[典例4]　(2026·沈阳模拟)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
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通性通法：求解三种平行、垂直的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用，可通过作辅助线进行线线、线面、面面平行、垂直间的转化．
几何法求线面角、二面角
1．求线面角的三个步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．
2．作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
[典例5]　(2025·衡水期末)如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB＝BC＝2，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．
(1)求证：CD⊥PB；
(2)求PC与平面BCD所成角的正弦值；
(3)求二面角P-BC-D的平面角的余弦值．
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三余弦定理与三正弦定理
1．三余弦定理．如图1，设A为平面α内一点，过点A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α内的一条直线．已知∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2．三余弦定理，也称最小角定理、折叠角公式、“爪子定理”等．该定理表明，直线与平面所成的角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值．
2．三正弦定理．如图2，设二面角α′-AB-β′的平面角为α，在平面α′内有一条射线AC，AC与棱AB所成的角为β，AC与平面β′所成的角为γ，则sin γ＝sin α·sin β．该定理表明，二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成角的最大值，即二面角是线面角的最大值．
注意，以上两个定理在解答题中不能直接使用．
[典例6]　(多选)如图，三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC，则(　　)
A．EF⊥DB
B．EF⊥DC
C．二面角B-DC-A的正弦值为
D．DF与平面DBC所成角的正弦值为
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1．(链接考点二)(2025·陕西期中)已知直线m，n和平面α，且m∥α，则“n⊥m”是“n⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(链接考点一)(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
3．(链接考点三)(人教A版必修第二册P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
4．(链接考点四)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A．BC1⊥平面A1B1C1D1
B．BC1∥平面ACD1
C．平面A1C1B⊥平面B1D1C
D．平面A1C1B⊥平面B1CD
5．(链接考点四)在正四棱锥P-ABCD中，AB＝2，二面角P-CD-A的大小为，则该四棱锥的体积为________．
第54课时　空间直线、平面的垂直
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(1)任意　(2)相交　l⊥a　l⊥b
a∩b＝O　a，b α　平行　a⊥α　b⊥α
(3)平面上的射影　0°≤θ≤90°
知识点2　(1)两个半平面　垂直于棱
(2)0°≤α≤180°
知识点3　(1)直二面角　(2)垂线　交线
链教材·夯基固本
1．C　[由题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD 平面α，
所以AD⊥平面α，
所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°．故选C．]
2．(1)外　(2)垂　[(1)易证△POA≌△POB≌△POC，
故OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心．
(2)易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC．
而PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，
从而BC⊥平面PAO，
所以BC⊥AO．
同理AC⊥BO，
所以O为△ABC的垂心．]
3．　[如图所示，取AB的中点O，连接VO，CO，
因为VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，
所以VO⊥AB，CO⊥AB，
所以∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．
又VO＝CO＝，VC＝1，
在△VOC中，由余弦定理的推论，得
cos∠VOC＝．]
4．D　[α⊥γ，β⊥γ α与β相交或平行，故A不正确；
因为α∩β＝a，b⊥a，b β，
所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；
a∥β，a∥α α与β相交或平行，故C不正确；
a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，
又a⊥β，所以b⊥β，
又b α，所以α⊥β，故D正确．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　C　[对于A，若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；
对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；
对于D，若m α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m β，故D错误．
故选C．]
多维变迁
　AC　[根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m α时，只能有m∥α，正确；D中，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选AC．]
考点二
典例2　证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴CD⊥平面PAC．
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，
∴PD⊥平面ABE．
考点三
典例3　(1)证明：连接CD，
由于AC＝AA1＝1，BC＝，D是棱AA1的中点，则CD＝C1D＝，
因为CD2＋C1D2＝4＝C，所以C1D⊥CD，
又由C1D⊥BD，且CD∩BD＝D，CD，BD 平面BCD，则C1D⊥平面BCD，
而BC 平面BCD，所以C1D⊥BC．
(2)证明：由(1)知，BC⊥C1D，
因为CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，则CC1⊥BC，
因为CC1∩C1D＝C1，CC1 平面ACC1A1且C1D 平面ACC1A1，则BC⊥平面ACC1A1，又由BC 平面BCC1B1，
由面面垂直判定定理，必有平面BCC1B1⊥平面ACC1A1．
(3)解：根据题意，由(2)知，BC⊥平面ACC1A1，
由于AC 平面ACC1A1，则BC⊥AC，故AB＝，
过点C作CH⊥AB，交AB于点H，
如图，
又由×1×××CH，
解得CH＝．
因为AA1⊥平面ABC，而CH 平面ABC，则AA1⊥CH，
因为AA1∩AB＝A，而AA1，AB 平面ABB1A1，则CH⊥平面ABB1A1，
则CH为四棱锥C-ABB1A1的高，
故××CH＝×2××．
考点四
典例4　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，
因为SO，BD 平面SBD，
所以AC⊥平面SBD，因为SD 平面SBD，
所以AC⊥SD．
(2)解：连接OP，若SD⊥平面PAC，
则SD⊥OP，
设正方形ABCD的边长为a，
则SD＝a，OD＝a，
则OD2＝PD·SD，
可得PD＝a，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连接BN，BE．
在△BDN中知BN∥PO，
又NE∥PC，BN 平面APC，PO 平面APC，NE 平面APC，PC 平面APC，可知BN∥平面PAC，NE∥平面PAC，BN∩NE＝N，BN，NE 平面BEN，故平面BEN∥平面PAC，
得BE∥平面PAC，
由于SN∶NP＝2∶1，
故SE∶EC＝2∶1．
微点突破12
典例5　(1)证明：因为AD＝AB＝BC＝2，∠BAD＝90°，则BD＝CD＝2，
可得BD2＋CD2＝BC2，则BD⊥CD．
又因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
可得CD⊥平面PBD，
且PB 平面PBD，
所以CD⊥PB．
(2)解：过点P作PE⊥BD，交BD于点E．
因为PB＝PD，则E为BD的中点，
又因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PE 平面PBD，
所以PE⊥平面BCD．
连接CE，则∠PCE为PC与平面BCD所成的角．
由(1)知BD＝CD＝2，
因为PE＝，CE＝，
则PC＝＝2，
所以直线PC与平面BCD所成角的正弦值sin∠PCE＝．
(3)解：由(2)知PE⊥平面BCD，BC 平面BCD，所以PE⊥BC．
过点E作EF⊥BC交BC于点F，连接PF，
因为PE∩EF＝E，PE，EF 平面PEF，所以BC⊥平面PEF，
且PF 平面PEF，所以BC⊥PF，
可知∠PFE为二面角P-BC-D的平面角．
在△BCD中，EF＝BC＝1，则PF＝，
可得cos∠PFE＝，
所以二面角P-BC-D的平面角的余弦值为．
教材拓展10
典例6　ACD　[由三余弦定理，得cos∠BCD＝cos∠ACD·cos∠ACB＝cos 45°·cos 45°＝，所以∠BCD＝60°．由DC＝2BC，得BC⊥DB．又EF∥BC，所以EF⊥DB，故A正确，B错误．
如图，过点B作BH⊥AC于点H，HK⊥DC于点K，连接BK．
因为平面ADFC⊥ 平面ABC，平面ADFC∩平面ABC＝AC，所以BH⊥平面ADFC．易得BK⊥DC．
设BC＝1，则BK＝，BH＝．
所以sin∠BKH＝，故C正确．
因为AC∥DF，所以DF与平面DBC所成角，即为AC与平面DBC所成角，设为θ．
由三正弦定理，得sin θ＝sin∠ACD·sin∠BKH＝×，故D正确．故选ACD．]
随堂·对点检测
1．B　[若m∥α，n⊥m，则n α或n∥α或直线n和平面α相交，则“n⊥m”不是“n⊥α”的充分条件；
若m∥α，n⊥α，则n⊥m，则“n⊥m”是“n⊥α”的必要条件，
所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件．
故选B．]
2．D　[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l β或l∥β或l与β相交，A错误；
若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；
若α⊥β，l α，则l β或l∥β或l与β相交，C错误；
若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．
故选D．]
3．B　[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，
因为AC∩AD＝A，AC，AD 平面ACD，
所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．]
4．BD　[选项A，由题意知，BC1和CC1是两条不同的直线，
由正方体的性质知，CC1⊥平面A1B1C1D1，
若BC1⊥平面A1B1C1D1，则这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故选项A错误；
选项B，由正方体的性质知，AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，
而AD1 平面ACD1，BC1 平面ACD1，
所以BC1∥平面ACD1，故选项B正确；
选项C，连接BD，因为正方形A1B1C1D1，
所以A1C1⊥B1D1，
由正方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，
因为A1C1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
又B1D1∩BB1＝B1，
所以A1C1⊥平面BDD1B1，
而A1C1 平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面BDD1B1，
若平面A1C1B⊥平面B1D1C，则这与过同一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，故选项C错误；
选项D，因为正方形BCC1B1，所以BC1⊥B1C，
由正方体的性质知，CD⊥平面BCC1B1，
因为BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，
又B1C∩CD＝C，B1C，CD 平面B1CD，所以BC1⊥平面B1CD，
而BC1 平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面B1CD，故选项D正确．
故选BD．]
5．　[连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD的中心，
故PH⊥底面ABCD，
取CD的中点Q，连接HQ，PQ，
则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ＝AD＝1，
故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角，
所以∠PQH＝，
故PH＝HQ＝1，
所以该四棱锥的体积为×AB2·PH＝．]
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第七章　立体几何与空间向量
第54课时　空间直线、平面的垂直
[考试要求]　1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
任意
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条____直线垂直，那么该直线与此平面垂直
相交
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线____
平行
(3)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在____________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
②一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；直线与平面所成的角θ的取值范围是____________．
平面上的射影
　0°≤θ≤90°
知识点2　二面角
(1)从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)二面角的平面角α的范围：_____________．
两个半平面
垂直于棱
0°≤α≤180°
知识点3　平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直
直二面角
垂线
文字语言 图形语言 符号语言
性 质 定 理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面垂直
交线
[常用结论]
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
1．(人教A版必修第二册P150探究改编)如图，将一张三角形纸片ABC沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(　　)
A．150°
B．135°
C．90°
D．60°
√
C　[由题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD 平面α，
所以AD⊥平面α，
所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°．故选C．]
2．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T11改编)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的______________心．
外　
垂
(1)外　(2)垂　[(1)易证△POA≌△POB≌△POC，
故OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心．
(2)易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC．
而PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，
从而BC⊥平面PAO，所以BC⊥AO．
同理AC⊥BO，
所以O为△ABC的垂心．]
3．(人教A版必修第二册P164习题8.6T18)如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，VC＝1，则二面角V-AB-C的余弦值为______________．
　
　[如图所示，
取AB的中点O，连接VO，CO，
因为VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，
所以VO⊥AB，CO⊥AB，
所以∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．
又VO＝CO＝，VC＝1，
在△VOC中，由余弦定理的推论，
得cos∠VOC＝．]
4．(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
√
D　[α⊥γ，β⊥γ α与β相交或平行，故A不正确；
因为α∩β＝a，b⊥a，b β，
所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；
a∥β，a∥α α与β相交或平行，故C不正确；
a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β，
又b α，所以α⊥β，故D正确．]
考点深研·题型突破
考点一　与线、面垂直相关命题的判定
[典例1]　(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若m α，α⊥β，则m⊥β
√
C　[对于A，若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；
对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；
对于D，若m α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m β，故D错误．故选C．]
通性通法：与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明线、面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
[多维变迁]
(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C．若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
√
√
AC　[根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m α时，只能有m∥α，正确；D中，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选AC．]
考点二　直线与平面垂直的判定与性质
[典例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
[证明]　(1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴CD⊥平面PAC．
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE．
思维建模：线面垂直的证明模型
第1步　找线线垂直
翻译题干条件，转化出所有可能的线线垂直，为寻找目标直线做准备．
类型1：共面垂直；
类型2：已知线面垂直 线线垂直；
类型3：已知面面垂直 线面垂直 线线垂直．
第2步　分析法，逆向思考：确定要证的逆向逻辑链条．
第3步　正向写过程：根据正向表述的逻辑书写证明过程．
【教用·通性通法】
证明线面垂直的常用方法及关键
(1) 证明直线与平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2) 证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
【教用·备选题】
(人教A版必修第二册P163习题8.6T4改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可
使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝．
[证明]　(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B．
(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF．
如图，连接A1B，
∴DF∥A1B．
在△ABC中，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，则AB＝，
又AA1＝，
则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．
∵DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，
∴AB1⊥平面C1DF．
考点三　平面与平面垂直的判定与性质
[典例3]　(2025·北京期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AA1＝1，BC＝，D是棱AA1的中点，C1D⊥BD．
(1)求证：C1D⊥BC；
(2)求证：平面BCC1B1⊥平面ACC1A1；
(3)求四棱锥C-ABB1A1的体积．
[解]　(1)证明：连接CD，
由于AC＝AA1＝1，BC＝，D是棱AA1的中点，则CD＝C1D＝，
因为CD2＋C1D2＝4＝C，所以C1D⊥CD，
又由C1D⊥BD，且CD∩BD＝D，CD，BD 平面BCD，
则C1D⊥平面BCD，
而BC 平面BCD，所以C1D⊥BC．
(2)证明：由(1)知，BC⊥C1D，
因为CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，则CC1⊥BC，
因为CC1∩C1D＝C1，CC1 平面ACC1A1且C1D 平面ACC1A1，则BC⊥平面ACC1A1，
又由BC 平面BCC1B1，
由面面垂直判定定理，必有平面BCC1B1⊥平面ACC1A1．
(3)根据题意，由(2)知，BC⊥平面ACC1A1，
由于AC 平面ACC1A1，则BC⊥AC，故AB＝
，
过点C作CH⊥AB，交AB于点H，
如图，
又由×1××CH，解得CH＝．
因为AA1⊥平面ABC，而CH 平面ABC，则AA1⊥CH，
因为AA1∩AB＝A，而AA1，AB 平面ABB1A1，则CH⊥平面ABB1A1，
则CH为四棱锥C-ABB1A1的高，
故×CH＝×2×．
通性通法：1．证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直，则所有经过平面垂线的平面都与已知平面垂直，而面面垂直判定的常用两种方法：
(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
2．若条件中已知面面垂直，则通常会应用面面垂直证明线面垂直，即一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
【教用·备选题】
(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥
A1-BB1C1C的高．
[解]　(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H 平面ACC1A1，
所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H．
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠ACB＝∠A1CB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1．
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝．
法一：由·CA1·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
考点四　平行、垂直关系的综合应用
[典例4]　(2026·沈阳模拟)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若
不存在，试说明理由．
[解]　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，
因为SO，BD 平面SBD，
所以AC⊥平面SBD，因为SD 平面SBD，
所以AC⊥SD．
(2)连接OP，若SD⊥平面PAC，
则SD⊥OP，
设正方形ABCD的边长为a，
则SD＝a，OD＝a，
则OD2＝PD·SD，
可得PD＝a，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，
连接BN，BE．
在△BDN中知BN∥PO，
又NE∥PC，BN 平面APC，PO 平面APC，NE 平面APC，PC 平面APC，可知BN∥平面PAC，NE∥平面PAC，BN∩NE＝N，BN，NE 平面BEN，故平面BEN∥平面PAC，
得BE∥平面PAC，
由于SN∶NP＝2∶1，
故SE∶EC＝2∶1．
通性通法：求解三种平行、垂直的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用，可通过作辅助线进行线线、线面、面面平行、垂直间的转化．
【教用·备选题】
1．(多选)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时(　　)
A．AB⊥CD
B．直线BD与平面ABC所成角的大小为
C．二面角A-BD-C的余弦值为－
D．四面体ABCD的内切球的半径为2－
√
√
√
BCD　[如图所示，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，记E为AC的中点，连接BE，DE，此时DE⊥平面BAC．对于A，因为AB 平面BAC，所以AB⊥DE，因为CD∩DE＝D，所以AB与CD不垂直，A错误；
对于B，直线BD与平面ABC所成的角即为∠EBD，因为tan∠EBD＝＝1，
故∠EBD＝，B正确；
对于C，由于BC＝CD＝BA＝AD，取BD的中点G，连接AG，CG，则有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA为二面角A-BD-C的平面角．则
cos∠CGA＝＝＝－，C正确；
对于D，设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知，
V四面体ABCD＝V三棱锥I-ABC＋V三棱锥I-BCD＋V三棱锥I-ACD＋
V三棱锥I-ABD＝rS四面体ABCD，
其中，V四面体ABCD＝BE·S△ACD＝，
S四面体ABCD＝2×＋2，
故r＝＝2－，D正确．]
2．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB．沿DE将△AED折起到△A1ED的位置．连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图2．
(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求证：MN∥平面A1ED；
(3)在棱A1B上是否存在一点G，
使得EG⊥平面A1BC？若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，
∴DE⊥A1E，DE⊥BE．
∵A1E∩BE＝E，A1E，BE 平面A1BE，
∴DE⊥平面A1BE，
又A1B 平面A1BE，∴DE⊥A1B．
(2)证明：取CD的中点H，连接NH，MH，
如图．
∵M，N分别为A1C，BE的中点，
∴MH∥A1D，NH∥DE．
∵MH 平面A1ED，A1D 平面A1ED，
∴MH∥平面A1ED，
∵NH 平面A1ED，DE 平面A1ED，
∴NH∥平面A1ED，
又NH∩MH＝H，NH，MH 平面MNH，
∴平面A1ED∥平面MNH，
又MN 平面MNH，
∴MN∥平面A1ED．
(3)取A1B的中点G，连接EG，如图．
在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，
∴BC∥DE，∵AB＝2CD，
∴AE＝BE，即A1E＝BE，∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，
又EG 平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC＝B，A1B，BC 平面A1BC，
∴EG⊥平面A1BC．
故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时＝1．
微点突破12　几何法求线面角、二面角
1．求线面角的三个步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．
2．作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
[典例5]　(2025·衡水期末)如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB＝BC＝2，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．
(1)求证：CD⊥PB；
(2)求PC与平面BCD所成角的
正弦值；
(3)求二面角P-BC-D的平面角
的余弦值．
[解]　(1)证明：因为AD＝AB＝BC＝2，∠BAD＝90°，则BD＝CD＝2，
可得BD2＋CD2＝BC2，则BD⊥CD．
又因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
可得CD⊥平面PBD，
且PB 平面PBD，
所以CD⊥PB．
(2)过点P作PE⊥BD，交BD于点E．
因为PB＝PD，则E为BD的中点，
又因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PE 平面PBD，
所以PE⊥平面BCD．
连接CE，则∠PCE为PC与平面BCD所成的角．
由(1)知BD＝CD＝2，
因为PE＝，CE＝，
则PC＝＝2，
所以直线PC与平面BCD所成角的正弦值sin∠PCE＝．
(3)由(2)知PE⊥平面BCD，BC 平面BCD，所以PE⊥BC．
过点E作EF⊥BC交BC于点F，连接PF，
因为PE∩EF＝E，PE，EF 平面PEF，所以BC⊥平面PEF，
且PF 平面PEF，所以BC⊥PF，
可知∠PFE为二面角P-BC-D的平面角．
在△BCD中，EF＝BC＝1，则PF＝，
可得cos∠PFE＝，
所以二面角P-BC-D的平面角的余弦值为．
【教用·备选题】
1．(2025·西安质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A． B．2
C． D．
√
D　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
所以∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，
连接AC，
且AC 平面ABCD，
则AA1⊥AC，
又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，所以AC＝，
在Rt△A1CA中，tan∠A1CA＝，即A1C与平面ABCD所成角的正切值为．]
2．(2025·嘉兴调研)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝，则二面角P-MN-O的大小为(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
√
B　[取MN的中点E，连接OE，PE，
因为OM＝ON，
所以OE⊥MN，
因为PM＝PN，
所以PE⊥MN，
所以∠PEO是二面角P-MN-O的平面角，
因为PO⊥平面OMN，OE 平面OMN，
所以PO⊥OE，因为∠MON＝，OM＝2，
所以OE＝OM·cos＝2×，
因为PO＝1，
所以PE＝＝2，
所以cos∠PEO＝，
结合图知∠PEO＝．
所以二面角P-MN-O的大小为．]
教材拓展10　三余弦定理与三正弦定理
1．三余弦定理．如图1，设A为平面α内一点，过点A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α内的一条直线．已知∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则cos θ＝cos θ1·cos θ2．三余弦定理，也称最小角定理、折叠角公式、“爪子定理”等．该定理表明，直线与平面所成的角是斜线与平面内任意直线所成
角的最小值，即线面角是线线角的最小值．
2．三正弦定理．如图2，设二面角α'-AB-β'的平面角为α，在平面α'内有一条射线AC，AC与棱AB所成的角为β，AC与平面β'所成的角为γ，则sin γ＝sin α·sin β．该定理表明，二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成角的最大值，即二面角是线面角的最大值．
注意，以上两个定理在解答题中不能直接使用．
[典例6]　(多选)如图，三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC，则(　　)
A．EF⊥DB
B．EF⊥DC
C．二面角B-DC-A的正弦值为
D．DF与平面DBC所成角的正弦值为
√
√
√
ACD　[由三余弦定理，得cos∠BCD＝cos∠ACD·cos∠ACB＝cos 45°
·cos 45°＝，所以∠BCD＝60°．由DC＝2BC，得BC⊥DB．又EF∥BC，所以EF⊥DB，故A正确，B错误．
如图，过点B作BH⊥AC于点H，HK⊥DC于点K，连接BK．
因为平面ADFC⊥ 平面ABC，平面ADFC∩平面ABC＝AC，所以BH⊥平面ADFC．易得BK⊥DC．
设BC＝1，则BK＝，BH＝．
所以sin∠BKH＝，故C正确．
因为AC∥DF，所以DF与平面DBC所成角，即为AC与平面DBC所成角，设为θ．
由三正弦定理，得sin θ＝sin∠ACD·sin∠BKH＝，故D正确．
故选ACD．]
【教用·教材拓展】
三垂线定理及其逆定理
1．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和该平面的一条斜线垂直，
那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
如图：若 PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，
OA是PA在平面α上的射影，a α，则a⊥OA a⊥PA．
[典例]　(1)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
√
(2)如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有_______条．
4　
(1)C　(2)4　[(1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MA．
又点M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
(2)因为PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PO⊥AC．又AC⊥BO，PO∩BO＝O，PO，BO 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，
所以图中共有4条直线与AC垂直．]
通性通法：三垂线定理的几种应用
(1)证明线线垂直：在几何证明中，可以通过构造平面内的垂线和射影，利用三垂线定理证明两条直线垂直．
(2)计算几何量：三垂线定理可以用于计算三角形的面积和三角形的垂心，以及其他相关的几何量．
(3)解决空间几何问题：在解决空间几何问题时，三垂线定理可以用来找出平面角的度数或者异面直线所成的角．
1．(链接考点二)(2025·陕西期中)已知直线m，n和平面α，且m∥α，则“n⊥m”是“n⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[若m∥α，n⊥m，则n α或n∥α或直线n和平面α相交，则“n⊥m”不是“n⊥α”的充分条件；
若m∥α，n⊥α，则n⊥m，则“n⊥m”是“n⊥α”的必要条件，
所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件．
故选B．]
2．(链接考点一)(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
√
D　[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l β或l∥β或l与β相交，A错误；
若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；
若α⊥β，l α，则l β或l∥β或l与β相交，C错误；
若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．
故选D．]
3．(链接考点三)(人教A版必修第二册P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
√
B　[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，
因为AC∩AD＝A，AC，AD 平面ACD，
所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．
故选B．]
4．(链接考点四)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A．BC1⊥平面A1B1C1D1
B．BC1∥平面ACD1
C．平面A1C1B⊥平面B1D1C
D．平面A1C1B⊥平面B1CD
√
√
BD　[选项A，由题意知，BC1和CC1是两条不同的直线，
由正方体的性质知，CC1⊥平面A1B1C1D1，
若BC1⊥平面A1B1C1D1，则这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故选项A错误；
选项B，由正方体的性质知，AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，
而AD1 平面ACD1，BC1 平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，故选项B正确；
选项C，连接BD，因为正方形A1B1C1D1，所以A1C1⊥B1D1，
由正方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，
因为A1C1 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，
又B1D1∩BB1＝B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，
而A1C1 平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面BDD1B1，
若平面A1C1B⊥平面B1D1C，则这与过同一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，故选项C错误；
选项D，因为正方形BCC1B1，所以BC1⊥B1C，
由正方体的性质知，CD⊥平面BCC1B1，
因为BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，
又B1C∩CD＝C，B1C，CD 平面B1CD，所以BC1⊥平面B1CD，
而BC1 平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面B1CD，故选项D正确．
故选BD．]
5．(链接考点四)在正四棱锥P-ABCD中，AB＝2，二面角P-CD-A的大小为，则该四棱锥的体积为______________．
　
　[连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD的中心，
故PH⊥底面ABCD，
取CD的中点Q，连接HQ，PQ，
则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ＝AD＝1，
故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角，
所以∠PQH＝，故PH＝HQ＝1，
所以该四棱锥的体积为×AB2·PH＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
一、单项选择题
1．(2025·宝鸡月考)已知两个相交平面α，β，过平面α内一点作交线的垂线l，则“α⊥β”是“l⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
课时作业(五十四)　空间直线、平面的垂直
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[当点在交线上时，若α⊥β，则l与β的位置关系可能是l与β相交或l β，故充分性不成立；
当点在交线上时，若l⊥β，此时l α或l α，所以α，β不一定垂直，故必要性不成立．
所以“α⊥β”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．已知a，b是空间内两条不同的直线，α，β，γ是空间内三个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若α⊥β，a α，则a⊥β
B．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
C．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ
D．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥β
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[对于A，由α⊥β，a α，设α∩β＝l，当a∥l时，可得a∥β，故A错误；对于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a α，故B错误；对于C，如图，设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α内作不与a重合的直线m，使m⊥b，因为α⊥γ，则m⊥γ，因为β⊥γ，m β，则m∥β，因为α∩β＝a，则m∥a，于是a⊥γ，故C正确；对于D，当α⊥β，α∩β＝a，b⊥a时，若b α，且b β，则b可以和平面α，β成任意角度，故D错误．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2026·哈尔滨模拟)已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分不必要条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ
B．m⊥n，m α，n β
C．m⊥n，α∩β＝m，n β
D．m∥α，m⊥β
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β平行或相交，与A选项不符合，所以A不正确；
对于B选项，若m⊥n，m α，n β，则α，β平行或相交，与B选项不符合，所以B不正确；
对于C选项，若m⊥n，α∩β＝m，n β，则α，β斜交或垂直，与C选项不符合，所以C不正确；
对于D选项，如图所示，
因为m∥α，过直线m作平面γ，使得α∩γ＝n，
由线面平行的性质定理可得m∥n，
因为m⊥β，则n⊥β，因为n α，故α⊥β，而反过来不成立，D满足要求．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2026·合肥模拟)在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，如图，则在三棱锥A-BCD中，下列结论不正确的是(　　)
A．CD⊥AB
B．CD⊥BD
C．平面ADC⊥平面ABD
D．平面ABC⊥平面BDC
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[对于B，如图，
因为AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，
所以∠ABD＝∠ADB＝45°，
又因为∠BCD＝45°，AD∥BC，
所以∠ADC＝135°，
所以∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝135°－45°＝90°，
所以CD⊥BD，所以B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于A，由B选项知CD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，CD 平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CD⊥平面ABD，
因为AB 平面ABD，
所以CD⊥AB，所以A正确；
对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，
因为CD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD，
显然AE 平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，
所以D错误．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、多项选择题
5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A．异面直线AB1与CD所成角的大小为45°
B．异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°
C．直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为
D．二面角C1-AD-B的大小为45°
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
ACD　[如图所示，
对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为
∠BAB1＝45°，A正确；
对于B，因为AB∥A1B1，
所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，
因为AB＝2，BC1＝BC＝2，AC1＝AB＝2，所以AB2＋B＝A，
则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1＝，故∠BAC1≠45°，B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，
因为AB1 平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1，
所以sin∠B1AC1＝，
因此直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为，C正确；
对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D 平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D，
所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1＝45°，D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．(2025·潮州期末)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　)
A．PB⊥AC
B．PC⊥BC
C．平面ABC⊥平面PAC
D．平面PBC⊥平面PAC
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
BCD　[对于A，假设PB⊥AC，
∵BC⊥AC，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
∴AC⊥平面PBC，
∵PC 平面PBC，∴AC⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，∴AC⊥PA，
在△PCA中，PA⊥AC，PC⊥AC，不能同时成立，故A错误；
对于B，∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴BC⊥PA，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴PC⊥BC，故B正确；
对于C，∵PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故C正确；
对于D，由选项B可知BC⊥平面PAC，
∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，故D正确．
故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
三、填空题
7．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为______________．
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
　[连接A1C1，AC(图略)，由题意知∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，
又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin ∠AC1A1＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．(2025·青岛期末)如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝______________．
2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2　[如图，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∵BC＝AC，∴CE⊥AB，
又平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，
CE 平面ABC，
∴CE⊥平面ADB，又DE 平面ADB，∴CE⊥DE，
∵AB＝2，AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，可得CE＝1，
在等边三角形ADB中，由AB＝2，求得DE＝，
在Rt△DEC中，有DC＝＝2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
四、解答题
9．(人教B版必修第四册P124习题11-4BT2改编)如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作AE ⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PBC．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[证明]　因为PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以PA⊥BC．
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE．
又PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
10．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T8改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，E，F分别是PB，CD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)证明：EF⊥平面PAB；
(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E-ABCF的体积．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解]　(1)证明：如图，取AP的中点M，连接MD，ME．
因为E，M，F分别是PB，PA，CD的中点，四边形ABCD是矩形，
所以ME∥AB，ME＝AB，且DF∥AB，DF＝AB，所以ME∥DF，ME＝DF，
所以四边形EFDM为平行四边形，所以EF∥MD．
又MD 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥
平面PAD．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)证明：因为PD＝AD＝1，M为AP的中点，
所以DM⊥AP，
因为PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PD⊥AB，因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又因为DM 平面PAD，所以AB⊥DM，
又因为AB∩AP＝A，AB，AP 平面ABP，
所以DM⊥平面ABP，
由(1)知EF∥MD，所以EF⊥平面PAB．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(3)因为PD⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AB，PD⊥AD，
又PD＝AD＝1，所以PA＝，
因为PB⊥平面AEF，AE 平面AEF，所以PB⊥AE，
又E是PB的中点，所以AB＝PA＝，CF＝，
所以直角梯形ABCF的面积S＝×1＝．
因为点E到平面ABCF的距离d＝PD＝，
所以V四棱锥E-ABCF＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，则(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
阶段检测(十一)　第53～54课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BDC，所以AD⊥平面BDC．又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC．故选D．]
√
2．(2026·六盘水模拟)已知a，l是直线，α是平面，且a α，则“l⊥a”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[根据题意，分两步来判断：
①由线面垂直的判定，当a α，l⊥a时，
不足以判断l⊥α，故由“l⊥a”推不出“l⊥α”；
②a α，若l⊥α，由线面垂直的定义可得，
l⊥a，即“l⊥a”是“l⊥α”的必要条件，
则“l⊥a”是“l⊥α”的必要不充分条件，
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．
对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β；③若n∥α且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．
其中所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[对①，当n α时，因为m∥n，m β，则n∥β；
当n β时，因为m∥n，m α，则n∥α；
当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m α，m β，则n∥α且n∥β，故①正确；
对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t，因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β，因为s 平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；
对④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，
如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误．
综上只有①③正确，故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2025·咸宁期末)如图，在三棱锥P-ABC中，点D，F分别为棱PB，AC上的点，且PD＝BD，AF＝FC，E为线段BC上的点，若＝λ，且满足AD∥平面PEF，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[如图，取BE的中点M，连接DM，AM，
由PD＝BD，可得D为PB的中点，
又因为M为BE的中点，可得MD∥PE，
又因为MD 平面PEF，PE 平面PEF，可得MD∥平面PEF，
又由于AD∥平面PEF，且AD∩MD＝D，AD，MD 平面ADM，
可得平面PEF∥平面ADM，由AM 平面ADM，
可得AM∥平面PEF，
又由于AM 平面ABC，平面ABC∩平面PEF＝EF，可得AM∥EF，
又因为AF＝FC，
可得ME＝EC，可得，
故λ＝．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2024·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　)
A．1
B．2
C．
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋
PD2＝CD2，所以PC⊥PD．
如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，
PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF．过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF．又PG 平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2025·邯郸期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，AA1＝AD＝1．给出下列四个结论正确的是(　　)
A．AC1⊥BD B．A1C⊥B1D
C．A1D⊥平面ABD1 D．AB1⊥平面A1BD
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC　[由题意，底面ABCD是长方形，故AC⊥BD不成立，
由于AC 平面ACC1，由线面垂直的性质可知BD与平面ACC1不垂直，
因为CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以CC1⊥BD，若AC1⊥BD，
由于CC1∩AC1＝C1，CC1，AC1 平面ACC1，所以AC1⊥BD不成立，故A错误；
由于B1C＝＝A1B1，
在长方体中，有B1C＝A1B1＝CD＝A1D，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由于CD⊥平面A1D1DA，A1D 平面A1D1DA，所以CD⊥A1D，
由于A1B1∥CD，所以四边形A1B1CD是正方形，
所以A1C⊥B1D，故B正确；
由于AB∥CD，所以AB⊥A1D，
由于四边形A1D1DA是正方形，所以AD1⊥A1D，
由于AB∩AD1＝A，且AB，AD1 平面ABD1，
所以A1D⊥平面ABD1，故C正确；
由于四边形A1B1BA是长方形，所以AB1⊥A1B不成立，
由线面垂直的性质可知，AB1⊥平面A1BD不成立，故D错误．
故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．CD⊥PD
B．AB⊥PC
C．平面PBD⊥平面PAC
D．E，F，C，D四点共面
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AD　[如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，又
AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四
点共面，故D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．如图，在四棱锥V-ABCD中，四边形ABCD是正方形，△VAD是正三角形，平面VAD⊥平面ABCD，则二面角A-VD-B的余弦值为______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[如图，取VD的中点E，连接AE，BE，则AE⊥VD．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD＝AD，
∴AB⊥平面VAD，则AB⊥AV，∴∠VAB＝90°．
∵△VAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，
∴由勾股定理，可知BD＝＝VB，
∴BE⊥VD，
∴∠AEB就是所求二面角的平面角．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
在Rt△BAE中，∠BAE＝90°，
AE＝AD＝AB，BE＝AB，
∴cos∠AEB＝，
即所求二面角的余弦值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
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9
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12
10．平面α∥平面β，A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于点P，已知AP＝8，BP＝9，CP＝16，则CD＝______________．
题号
1
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2
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6
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11
12
2或34　
2或34　[∵平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，
∴AB，CD共面，且AC∥BD，
①若点P在平面α，β的外部，
∴，
∵AP＝8，BP＝9，CP＝16，
∴，解得PD＝18，
∴CD＝PD－PC＝18－16＝2．
②若点P在平面α，β之间，
则，解得PD＝18，
则CD＝CP＋PD＝18＋16＝34．]
题号
1
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6
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12
四、解答题
11．(2025·南通期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝CD＝AD＝1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB∥平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD．
题号
1
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12
[证明]　(1)连接EC，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝CD＝AD＝1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．∴BC＝AE，
又∵AD∥BC，∴四边形AECB为平行四边形，
∴AB∥CE，
又∵CE 平面PCE，AB 平面PCE，
∴AB∥平面PCE．
题号
1
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12
(2)∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PA⊥BD，
连接BE，由题意知AD∥BC，E为棱AD的中点，BC＝AD＝1，
知BC∥DE，且BC＝DE，则四边形BCDE为平行四边形，
∵AD⊥DC，∴DE⊥CD，
又BC＝CD＝1，
所以平行四边形BCDE为正方形，∴BD⊥EC，
又AB∥EC，∴BD⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴BD⊥平面PAB，又BD 平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
题号
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题号
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4
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12．(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
题号
1
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2
4
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[解]　(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC．
又FC 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF．
(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝，
又AD＝，故△ADM是等腰三角形，同理△EDM是等边三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝＝3，OE＝，又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2，故OA⊥OE．
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM．
易知S△EDM＝×2×．
在△ADE中，cos∠DEA＝，
所以sin∠DEA＝，S△ADE＝×2×2．
设点M到平面ADE的距离为d，由V三棱锥M-ADE＝V三棱锥A-EDM，得S△ADE·d＝S△EDM·OA，得d＝，
故点M到平面ADE的距离为．
谢谢！课时作业(五十四)　空间直线、平面的垂直
一、单项选择题
1．(2025·宝鸡月考)已知两个相交平面α，β，过平面α内一点作交线的垂线l，则“α⊥β”是“l⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a，b是空间内两条不同的直线，α，β，γ是空间内三个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若α⊥β，a α，则a⊥β
B．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
C．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ
D．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥β
3．(2026·哈尔滨模拟)已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分不必要条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ
B．m⊥n，m α，n β
C．m⊥n，α∩β＝m，n β
D．m∥α，m⊥β
4．(2026·合肥模拟)在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，如图，则在三棱锥A-BCD中，下列结论不正确的是(　　)
A．CD⊥AB
B．CD⊥BD
C．平面ADC⊥平面ABD
D．平面ABC⊥平面BDC
二、多项选择题
5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A．异面直线AB1与CD所成角的大小为45°
B．异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°
C．直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为
D．二面角C1-AD-B的大小为45°
6．(2025·潮州期末)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　)
A．PB⊥AC
B．PC⊥BC
C．平面ABC⊥平面PAC
D．平面PBC⊥平面PAC
三、填空题
7．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
8．(2025·青岛期末)如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
四、解答题
9．(13分)(人教B版必修第四册P124习题11-4BT2改编)如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作AE ⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PBC．
10．(15分)(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T8改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，E，F分别是PB，CD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)证明：EF⊥平面PAB；
(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E-ABCF的体积．
课时作业(五十四)
1．D　[当点在交线上时，若α⊥β，则l与β的位置关系可能是l与β相交或l β，故充分性不成立；
当点在交线上时，若l⊥β，此时l α或l α，所以α，β不一定垂直，故必要性不成立．
所以“α⊥β”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．
故选D．]
2．C　[对于A，由α⊥β，a α，设α∩β＝l，当a∥l时，可得a∥β，故A错误；对于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a α，故B错误；对于C，如图，设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α内作不与a重合的直线m，使m⊥b，因为α⊥γ，则m⊥γ，因为β⊥γ，m β，则m∥β，因为α∩β＝a，则m∥a，于是a⊥γ，故C正确；对于D，当α⊥β，α∩β＝a，b⊥a时，若b α，且b β，则b可以和平面α，β成任意角度，故D错误．]
3．D　[对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β平行或相交，与A选项不符合，所以A不正确；
对于B选项，若m⊥n，m α，n β，则α，β平行或相交，与B选项不符合，所以B不正确；
对于C选项，若m⊥n，α∩β＝m，n β，则α，β斜交或垂直，与C选项不符合，所以C不正确；
对于D选项，如图所示，
因为m∥α，过直线m作平面γ，使得α∩γ＝n，
由线面平行的性质定理可得m∥n，
因为m⊥β，则n⊥β，因为n α，故α⊥β，而反过来不成立，D满足要求．
故选D．]
4．D　[对于B，如图，
因为AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，
所以∠ABD＝
∠ADB＝45°，
又因为∠BCD＝45°，AD∥BC，
所以∠ADC＝135°，
所以∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝135°－45°＝90°，
所以CD⊥BD，所以B正确；
对于A，由B选项知CD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，CD 平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CD⊥平面ABD，
因为AB 平面ABD，
所以CD⊥AB，所以A正确；
对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，
因为CD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；
对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD，
显然AE 平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，所以D错误．
故选D．]
5．ACD　[如图所示，
对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为∠BAB1＝45°，A正确；
对于B，因为AB∥A1B1，
所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，
因为AB＝2，BC1＝BC＝2，AC1＝AB＝2，所以AB2＋B＝A，
则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1＝，故∠BAC1≠45°，B错误；
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，
因为AB1 平面ABB1A1，则B1C1⊥AB1，
所以sin∠B1AC1＝，
因此直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为，C正确；
对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D 平面CC1D1D，则AD⊥CD，AD⊥C1D，
所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1＝45°，D正确．故选ACD．]
6．BCD　[对于A，假设PB⊥AC，
∵BC⊥AC，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
∴AC⊥平面PBC，
∵PC 平面PBC，∴AC⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴AC⊥PA，
在△PCA中，PA⊥AC，PC⊥AC，不能同时成立，故A错误；
对于B，∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴PC⊥BC，故B正确；
对于C，∵PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故C正确；
对于D，由选项B可知BC⊥平面PAC，
∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，故D正确．
故选BCD．]
7．　[连接A1C1，AC(图略)，由题意知∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，
又AA1＝1，所以AC1＝3，
所以sin ∠AC1A1＝．]
8．2　[如图，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∵BC＝AC，
∴CE⊥AB，
又平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，CE 平面ABC，
∴CE⊥平面ADB，又DE 平面ADB，
∴CE⊥DE，
∵AB＝2，AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，可得CE＝1，
在等边三角形ADB中，由AB＝2，求得DE＝，
在Rt△DEC中，有DC＝＝2．]
9．证明：因为PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以PA⊥BC．
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE．
又PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC．
10．(1)证明：如图，取AP的中点M，连接MD，ME．
因为E，M，F分别是PB，PA，CD的中点，四边形ABCD是矩形，
所以ME∥AB，ME＝AB，且DF∥AB，DF＝AB，所以ME∥DF，ME＝DF，
所以四边形EFDM为平行四边形，所以EF∥MD．
又MD 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)证明：因为PD＝AD＝1，M为AP的中点，所以DM⊥AP，
因为PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PD⊥AB，因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又因为DM 平面PAD，所以AB⊥DM，
又因为AB∩AP＝A，AB，AP 平面ABP，
所以DM⊥平面ABP，
由(1)知EF∥MD，所以EF⊥平面PAB．
(3)解：因为PD⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PD⊥AB，PD⊥AD，
又PD＝AD＝1，所以PA＝，
因为PB⊥平面AEF，AE 平面AEF，所以PB⊥AE，
又E是PB的中点，所以AB＝PA＝，CF＝，
所以直角梯形ABCF的面积S＝××1＝．
因为点E到平面ABCF的距离d＝PD＝，
所以V四棱锥E-ABCF＝××．
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