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第55课时　空间向量的运算及其应用
[考试要求]　1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识点1　空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有________和________的量
相等向量 方向________且模________的向量
相反向量 方向________且模________的向量
共线向量 (或平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，那么这些向量叫做共线向量
共面向量 ________________
知识点2　空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
知识点3　空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积
①a·b＝________；
②a⊥b a·b＝0；
③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝．
(2)空间向量运算的坐标表示
向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)
夹角 公式 cos 〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)
知识点4　空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u，v l1∥l2 u∥v u＝λv(λ∈R)
l1⊥l2 u⊥v u·v＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为m，l α l∥α u⊥m u·m＝0
l⊥α u∥m u＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
[常用结论]
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1，O为平面内任意一点) ＝λ(λ≠0)．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1，O为空间中任意一点)．
1．(人教A版选择性必修第一册P12例1)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，则＝________(用向量表示)．
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2．(苏教版选择性必修第二册P27习题6.2T9)设x为实数，已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝________．
3．(北师大版选择性必修第一册P106习题3－2A组T8)如图，已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝，PA＝AB＝BC＝6，则||＝________．
4．(人教A版选择性必修第一册P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则＝________，AC′的长为__________．
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5．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不对
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考点一　空间向量的线性运算及共线、共面定理
[典例1]　(1)(多选)(2025·庆阳期末)下列说法中正确的是(　　)
A．对于空间四个点P，A，B，C，若＝，则A，B，C三点共线
B．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{b＋c，b－c，a}也是空间的一个基底
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝，则P，A，B，C四点不共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
(2)(2025·广州期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
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通性通法：(1)空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主，具体求解过程中要注意结合图形，依据三角形法则、平行四边形法则合理运算．
(2)应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
[多维变迁]
1．在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，b)，若A，B，C三点共线，则a＋b 的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
2．(2025·淮安期末)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且e1＋e2，e2－e3，3e1＋te3共面，则实数t的值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点二　空间向量的数量积及其应用
[典例2]　如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
(1)求；
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(2)求证：⊥．
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[母题探究]
1．(变结论)在本例条件下，求||．
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2．(变结论)在本例条件下，求与夹角的余弦值．
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　通性通法：空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
[多维变迁]
(多选)(2025·兰州期末)已知空间向量a＝(1，2，3)，a＋2b＝(－3，0，5)，c＝(2，4，m)，且a∥c，则下列说法正确的是(　　)
A．|b|＝　　　 B．m＝6
C．(2b＋c)⊥a D．cos 〈b，c〉＝－
考点三　向量法证明平行、垂直
[典例3]　(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D
C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D
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通性通法：(1)证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量是平行向量．注意需要验证直线不在平面内．
(2)证明线线垂直：找出两直线的方向向量，再证明两方向向量的数量积为0．
(3)证明线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线．
1．(链接考点二)(多选)(2025·乐山期末)已知空间向量a＝(－2，1，2)，b＝，则下列选项正确的是(　　)
A．|a|＝9
B．若a⊥b，则m＝
C．若a∥b，则m＝1
D．若m＝1，则cos 〈a，b〉＝－
2．(链接考点一)(苏教版选择性必修第二册P16习题6.1T5改编)在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若＝，则使G与M，N共线的实数x的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．2
C． D．
3．(链接考点三)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：
(1)平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD．
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第55课时　空间向量的运算及其应用
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　大小　方向　相同　相等　相反　相等　平行　重合　平行于同一个平面的向量
知识点2　(1)a＝λb　(2)存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
知识点3　(1)|a||b|cos〈a，b〉
链教材·夯基固本
1．　[
＝)
＝
＝
＝．]
2．　[因为a⊥b，
所以a·b＝－8－2＋3x＝0，解得x＝．]
3.12　[因为||2＝＋2＋2＋2
＝||2＋||2＋||2＋2||·||cos〈〉＝62＋62＋62＋2×6×6×＝144，
所以||＝12．]
4.10　　[＝||·||·cos 60°＝5×4×＝10．
因为，
所以||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2()
＝16＋9＋25＋2×＝85，
所以||＝，即AC'的长为．]
5．C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)ABD　(2)A　[(1)对于选项A，对于空间四个点P，A，B，C，，
由共线向量定理可知A，B，C三点共线，故选项A正确；
对于选项B，b＋c与b－c不共线，且a不能用b＋c和b－c表示，即b＋c，b－c，a不共面，故选项B正确；
对于选项C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，
因为＝1，由空间向量基本定理的推论可得P，A，B，C四点共面，故选项C错误；
对于选项D，若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得＝λ(＝λ，
由共线向量定理可得A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故选项D正确．
故选ABD．
(2)因为EC＝2PE，所以，
所以 ＝
＝)－
＝
＝－()
＝
＝，
又＝x＋y＋z，
所以则x＋y＋z＝1．故选A．]
多维变迁
1．A　[由点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，b)，
得＝(－1，－2，－3)，＝(－1，a－1，b－2)，
由于A，B，C三点共线，所以∥，
所以a－1＝－2，b－2＝－3，解得a＝－1，b＝－1，故a＋b＝－2．
故选A．]
2．D　[因为e1＋e2，e2－e3，3e1＋te3共面，
所以存在有序数对(x，y)使得e1＋e2＝x(e2－e3)＋y(3e1＋te3)＝3ye1＋xe2＋(yt－x)e3，
所以
故选D．]
考点二
典例2　解：设＝a，＝b，＝c．
(1)由题意得，|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°．
c－a，＝－a，
所以 ·(－a)
＝－a·c＋a2＝－××1＝．
(2)证明：)＝(b＋c－a)，
所以(a·b＋a·c－a2)＝×＝0．
故⊥．
母题探究
1．解：由本例(2)知，＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝×××，即||＝．
2．解：b＋c，＝－b＋a，所以＝－b2＋a·b－b·c＋a·c＝－，又||＝，||＝，
所以cos〈〉＝＝－．
多维变迁
　ABD　[设b＝(x，y，z)，因为a＝(1，2，3)，所以a＋2b＝(－3，0，5)＝(1，2，3)＋2(x，y，z)＝(1＋2x，2＋2y，3＋2z)，即1＋2x＝－3，2＋2y＝0，3＋2z＝5，解得b＝(－2，－1，1)，则|b|＝，A正确；
因为a∥c，所以a＝λc，即B正确；
因为2b＋c＝(－2，2，8)，a·(2b＋c)＝－2×1＋2×2＋8×3＝26≠0，所以C错误；
cos〈b，c〉＝＝－，D正确．
故选ABD．]
考点三
典例3　BD　[法一：对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，则AA1⊥AD，则＝0，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，所以＝0．
又，
所以＝()·≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，则AA1⊥BC，
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，
又AA1∩AD＝A，AA1，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；
对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，
假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，
所以AD∥A1B1不成立，故C错误；
对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，
又AA1 平面AA1D，CC1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．
故选BD．
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，h>0，
则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，h)，B(0，1，0)，B1(0，1，h)，
对于A，＝(－，0，0)，＝(－，－1，－h)，
则＝(－)×(－)＋0＝3≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，D，＝(0，－2，0)，＝(0，0，h)，＝(0，0，h)，＝(－，0，0)，
设平面AA1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则得x＝z＝0，令y＝1，则n＝(0，1，0)为平面AA1D的一个法向量，
所以＝(0，－2，0)＝－2n，·n＝0，
则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故BD正确；
对于C，＝(－，0，0)，＝(－，1，0)，
则≠，显然AD∥A1B1不成立，故C错误．故选BD．]
随堂·对点检测
1．BD　[∵a＝(－2，1，2)，∴|a|＝＝3，A错误；
若a⊥b，则a·b＝－2－＋2m＝0，解得m＝，B正确；
若a∥b，则，解得m＝－1，C错误；
若m＝1，则cos〈a，b〉＝＝－，D正确．
故选BD．]
2．A　[由题意得，．
若G与M，N共线，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ))＋．
又，
所以故选A．]
3．证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)．
设BA＝a，则A(a，0，0)，G，A1(a，0，4)．
(1)因为＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，所以＝0，＝0．所以⊥⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，B1D 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD．
因为B1D 平面A1B1D，
所以平面A1B1D⊥平面ABD．
(2)因为＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，
所以＝0，＝0．
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF．
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，B1D 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF．
由(1)知，B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD．
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第七章　立体几何与空间向量
第55课时　空间向量的运算及其应用
[考试要求]　1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
理法先行·题练固本
知识点1　空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有____和____的量
相等向量 方向____且模____的向量
相反向量 方向____且模____的向量
共线向量 (或平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相____或____，那么这些向量叫做共线向量
共面向量 ______________________
大小
方向
相同
相等
相反
相等
平行
重合
平行于同一个平面的向量
知识点2　空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得_____．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________________________________．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
a＝λb
存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
知识点3　空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积
①a·b＝_____________________；
②a⊥b a·b＝0；
③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝．
|a||b|cos〈a，b〉
(2)空间向量运算的坐标表示
向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)
夹角 公式
知识点4　空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u，v l1∥l2 u∥v u＝λv(λ∈R)
l1⊥l2 u⊥v u·v＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为m，l α l∥α u⊥m u·m＝0
l⊥α u∥m u＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
[常用结论]
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y(其中x＋y＝1，O为平面内任意一点) ＝λ(λ≠0)．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1，O为空间中任意一点)．
1．(人教A版选择性必修第一册P12例1)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，则＝__________________(用向量表示)．
＋＋
＋＋　[＝)＝＝＝．]
2．(苏教版选择性必修第二册P27习题6.2T9)设x为实数，已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝______________．
　[因为a⊥b，
所以a·b＝－8－2＋3x＝0，解得x＝．]
　
3．(北师大版选择性必修第一册P106习题3－2A组T8)如图，已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝，PA＝AB＝BC＝6，则||＝______________．
12　
12　[因为||2＝＋2＋2＋2＝||2＋||2＋||2＋2||||·cos〈〉＝62＋62＋62＋2×6×6×＝144，
所以||＝12．]
4．(人教A版选择性必修第一册P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则＝______________，AC'的长为_______．
10　
10　　[＝||·||·cos 60°＝5×4×＝10．
因为，
所以||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2()＝16＋9＋25＋2×＝85，
所以||＝，即AC'的长为．]
5．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)
A．α∥β　　　　　 B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
C　[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，
∴α，β相交但不垂直．]
√
考点深研·题型突破
考点一　空间向量的线性运算及共线、共面定理
[典例1]　(1)(多选)(2025·庆阳期末)下列说法中正确的是(　　)
A．对于空间四个点P，A，B，C，若，则A，B，C三点共线
B．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{b＋c，b－c，a}也是空间的一个基底
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
√
√
√
(2)(2025·广州期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
√
(1)ABD　(2)A　[(1)对于选项A，对于空间四个点P，A，B，C，，
由共线向量定理可知A，B，C三点共线，故选项A正确；
对于选项B，b＋c与b－c不共线，且a不能用b＋c和b－c表示，即b＋c，b－c，a不共面，故选项B正确；
对于选项C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，
因为＝1，由空间向量基本定理的推论可得P，A，B，C四点共面，故选项C错误；
对于选项D，若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得＝λ(＝λ，
由共线向量定理可得A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故选项D正确．
故选ABD．
(2)因为EC＝2PE，所以，
所以 ＝＝)－＝－()＝ ＝，
又＝x＋y＋z，
所以则x＋y＋z＝1．故选A．]
通性通法：(1)空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主，具体求解过程中要注意结合图形，依据三角形法则、平行四边形法则合理运算．
(2)应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
[多维变迁]
1．在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，b)，若A，B，C三点共线，则a＋b 的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
√
A　[由点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，b)，
得＝(－1，－2，－3)，＝(－1，a－1，b－2)，
由于A，B，C三点共线，所以∥，
所以a－1＝－2，b－2＝－3，解得a＝－1，b＝－1，
故a＋b＝－2．
故选A．]
2．(2025·淮安期末)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且e1＋e2，e2－e3，3e1＋te3共面，则实数t的值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
√
D　[因为e1＋e2，e2－e3，3e1＋te3共面，
所以存在有序数对(x，y)使得e1＋e2＝x(e2－e3)＋y(3e1＋te3)＝3ye1＋xe2＋(yt－x)e3，
所以
故选D．]
考点二　空间向量的数量积及其应用
[典例2]　如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
(1)求；
(2)求证：⊥．
[解]　设＝a，＝b，＝c．
(1)由题意得，|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°．
c－a，＝－a，
所以 ·(－a)＝－a·c＋a2＝－×1＝．
(2)证明：)＝(b＋c－a)，
所以(a·b＋a·c－a2)＝＝0．
故⊥．
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件下，求||．
[解]　由本例(2)知，＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，即||＝．
2．(变结论)在本例条件下，求夹角的余弦值．
[解]　b＋c，＝－b＋a，所以＝－b2＋a·b－b·c＋a·c＝－，又||＝，||＝，
所以cos〈〉＝＝－．
通性通法：空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
[多维变迁]
(多选)(2025·兰州期末)已知空间向量a＝(1，2，3)，a＋2b＝(－3，0，5)，c＝(2，4，m)，且a∥c，则下列说法正确的是(　　)
A．|b|＝　　　 B．m＝6
C．(2b＋c)⊥a D．cos〈b，c〉＝－
√
√
√
ABD　[设b＝(x，y，z)，因为a＝(1，2，3)，所以a＋2b＝(－3，0，5)＝(1，2，3)＋2(x，y，z)＝(1＋2x，2＋2y，3＋2z)，即1＋2x＝－3，2＋2y＝0，3＋2z＝5，解得b＝(－2，－1，1)，则|b|＝，A正确；
因为a∥c，所以a＝λc，即
解得B正确；
因为2b＋c＝(－2，2，8)，a·(2b＋c)＝－2×1＋2×2＋8×3＝26≠0，所以C错误；
cos〈b，c〉＝＝－，D正确．
故选ABD．]
考点三　向量法证明平行、垂直
[典例3]　(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D
C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D
√
√
BD　[法一：对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，则AA1⊥AD，则＝0，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，所以＝0．
又，
所以＝()·
≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，则AA1⊥BC，
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，
又AA1∩AD＝A，AA1，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；
对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，
假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，
所以AD∥A1B1不成立，故C错误；
对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，
又AA1 平面AA1D，CC1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．
故选BD．
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，h>0，
则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，h)，B(0，1，0)，B1(0，1，h)，
对于A，＝(－，0，0)，＝(－，－1，－h)，
则＝(－)×(－)＋0＝3≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，D，＝(0，－2，0)，＝(0，0，h)，＝(0，0，h)，＝(－，0，0)，
设平面AA1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则得x＝z＝0，令y＝1，则n＝(0，1，0)为平面AA1D的一个法向量，
所以＝(0，－2，0)＝－2n，·n＝0，
则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故BD正确；
对于C，＝(－，0，0)，＝(－，1，0)，
则，显然AD∥A1B1不成立，故C错误．故选BD．]
通性通法：(1)证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量是平行向量．注意需要验证直线不在平面内．
(2)证明线线垂直：找出两直线的方向向量，再证明两方向向量的数量积为0．
(3)证明线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线．
【教用·备选题】
1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝2，M是AB的中点，N是棱AA1上一点．
(1)若N是AA1的中点，求证：DB1⊥ 平面MNC．
(2)若BD1∥平面MNC，求AN的长．
[解]　(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
由题意，得B(，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，B1(，2，2)，D1(0，0，2)，M(，1，0)，N(，0，1)．所以＝(，2，2)，＝(－，1，0)，＝(0，－1，1)．
由×(－)＋2×1＋2×0＝0，×0＋2×
(－1)＋2×1＝0，得DB1⊥MC，DB1⊥MN．
又MC∩MN＝M，MC，MN 平面MNC，所以DB1⊥平面MNC．
(2)设AN＝h，则0设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，
得n＝．
因为＝(－，－2，2)，且BD1∥平面MNC，
所以⊥n，即·n＝－－2＝0．
解得h＝，即AN的长为．
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC．
[证明]　(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF．
因为PA＝PD，
所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB．
又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD．
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝．
以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A，F，D，P，C．
因为E为PC的中点，所以E．
易知平面PAD的一个法向量为，
因为，
＝0．
且EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)因为，
＝(0，－a，0)，
所以·(0，－a，0)＝0，
所以⊥，
所以PA⊥CD．
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD 平面PDC，
所以PA⊥平面PDC．
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC．
1．(链接考点二)(多选)(2025·乐山期末)已知空间向量a＝(－2，1，2)，b＝，则下列选项正确的是(　　)
A．|a|＝9
B．若a⊥b，则m＝
C．若a∥b，则m＝1
D．若m＝1，则cos〈a，b〉＝－
√
√
BD　[∵a＝(－2，1，2)，∴|a|＝＝3，A错误；
若a⊥b，则a·b＝－2－＋2m＝0，解得m＝，B正确；
若a∥b，则，解得m＝－1，C错误；
若m＝1，则cos〈a，b〉＝＝－，D正确．
故选BD．]
2．(链接考点一)(苏教版选择性必修第二册P16习题6.1T5改编)在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的实数x的值为(　　)
A．1 B．2
C． D．
√
A　[由题意得，．
若G与M，N共线，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ))＋．
又，
所以故选A．]
3．(链接考点三)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：
(1)平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD．
[证明]　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)．
设BA＝a，则A(a，0，0)，G，A1(a，0，4)．
(1)因为＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，所以＝0，＝0．所以⊥⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，B1D 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD．
因为B1D 平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD．
(2)因为＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，所以＝0，＝0．
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF．
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，B1D 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF．
由(1)知，B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
一、单项选择题
1．(2025·溧阳期末)下面四个结论中正确的是(　　)
A．设{a，b，c}是空间的一个基底，则{a－b，b＋c，a＋c}也是空间的一个基底
B．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面
C．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底
D．已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc
课时作业(五十五)　空间向量的运算及其应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[对于A，由向量的加法法则可知，a－b＝－(b＋c)＋(a＋c)，所以{a－b，b＋c，a＋c}不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故B错误；
对于C，已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，a＋c}可以作为基底，则{a，b，m}也是空间的一个基底，故C正确；
对于D，只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故D错误．故选C．]
√
2．(2025·大同期末)已知＝(2，1，－3)，＝(－1，2，3)，＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[因为P，A，B，C四点共面，所以共面，
不妨设＝x＋y＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，
所以
解得故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
3．(2026·济南模拟)如图，在四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．a－b＋c
D．a－b＋c
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[连接EC，ED，如图所示，
)＝)＝a＋b＋c．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
4．(2025·丽江期末)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[设AC，BD交于点O，连接OE，
∵正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，
M在EF上，且AM∥平面BDE，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
∴AM∥OE，又AO∥EM，∴四边形OAME是平行四边形，
∴M是EF的中点，
∵E(0，0，1)，F(，1)，
∴M．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
5．(2025·合肥月考)设空间两个单位向量＝(m，n，0)，＝(0，p，n)，＝(1，1，1)的夹角等于夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[由题意得＝p＋n，||＝＝1，||＝＝1，||＝，
∴p＋n＝1××cos，
∵p2＋n2＝1，∴＝np＝＝－，
则向量夹角的余弦值为
cos〈〉＝＝np＝－．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
6．(2025·南通月考)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，BA⊥CA，AB＝AC＝AA1＝2，M是B1C1的中点，则||＝(　　)
A． B．2
C． D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[由题意得)＝)，
所以)2＋·()，
所以||＝＝
＝
＝＝．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
二、多项选择题
7．(2025·哈尔滨月考)已知空间向量a＝(2，2，2)，b＝(1，－1，1)，c＝(1，7，1)，则(　　)
A．a∥b B．a·b＝2
C．|a|＝2 D．a，b，c是共面向量
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
BCD　[空间向量a＝(2，2，2)，b＝(1，－1，1)，c＝(1，7，1)，
对于A，若a∥b，则存在λ∈R使得a＝λb，即2＝λ，2＝－λ，2＝λ，无解，故A错误；
对于B，a·b＝2－2＋2＝2，故B正确；
对于C，|a|＝＝2，故C正确；
对于D，由选项A可知a与b不共线，故若a，b，c是共面向量，
则存在λ，μ∈R使得c＝λa＋μb＝λ(2，2，2)＋μ(1，－1，1)＝(2λ＋μ，2λ－μ，2λ＋μ)，
即2λ＋μ＝1，2λ－μ＝7，解得λ＝2，μ＝－3，故a，b，c是共面向量，D正确．
故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
8．(2025·资阳期末)如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是(　　)
A．)
B．||＝
C．AO⊥BC
D．平面ABC⊥平面B1BCC1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
√
ABD　[对于A，)＝)＝)，故A正确；
对于B，不妨设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底．
则依题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，b·c＝1，a·c＝－1，
由选项A可得(a＋b＋c)，
则||2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝，即||＝，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
对于C，＝b－a，故(a＋b＋c)·(b－a)＝(－1＋1＋1＋1)＝1≠0，故C错误；
对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，
则)＝(a＋b)，
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又(a·c＋b·c)＝(－1＋1)＝0，故有AE⊥BB1，
因为BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面B1BCC1，
所以AE⊥平面B1BCC1，又AE 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面B1BCC1，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、填空题
9．(人教A版选择性必修第一册P22练习T1)已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则3a－b＝______________，a·b＝_______．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(－10，1，16)　2　[因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，所以3a－b＝(－9，6，15)－(1，5，－1)＝(－10，1，16)，a·b＝－3＋10－5＝2．]
(－10，1，16)　
2　
10．(人教B版选择性必修第一册P16练习AT3改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
　[∵P，A，B，C四点共面，∴＋t＝1，
∴t＝．]
　
四、解答题
11．(人教A版选择性必修第一册P33练习T3改编)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[证明]　(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AD＝a(a>0)，AB＝b(b>0)，则有A(0，0，0)，P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．
因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N，
所以，
又＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以．
又MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)结合(1)知，M＝(b，a，－a)，＝(0，a，－a)．
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
令z1＝b，则x1＝2a，y1＝－b，
得n1＝(2a，－b，b)为平面PMC的一个法向量．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
得x2＝0，令z2＝1，则y2＝1，得n2＝(0，1，1)为平面PDC的一个法向量．
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2，
故平面PMC⊥平面PDC．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
谢谢！课时作业(五十五)　空间向量的运算及其应用
一、单项选择题
1．(2025·溧阳期末)下面四个结论中正确的是(　　)
A．设{a，b，c}是空间的一个基底，则{a－b，b＋c，a＋c}也是空间的一个基底
B．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面
C．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底
D．已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc
2．(2025·大同期末)已知＝(2，1，－3)，＝(－1，2，3)，＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
3．(2026·济南模拟)如图，在四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．a－b＋c
4．(2025·丽江期末)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
5．(2025·合肥月考)设空间两个单位向量＝(m，n，0)，＝(0，p，n)，与向量＝(1，1，1)的夹角等于，则向量夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．(2025·南通月考)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，BA⊥CA，AB＝AC＝AA1＝2，M是B1C1的中点，则||＝(　　)
A． B．2
C． D．2
二、多项选择题
7．(2025·哈尔滨月考)已知空间向量a＝(2，2，2)，b＝(1，－1，1)，c＝(1，7，1)，则(　　)
A．a∥b B．a·b＝2
C．|a|＝2 D．a，b，c是共面向量
8．(2025·资阳期末)如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝) B．||＝
C．AO⊥BC D．平面ABC⊥平面B1BCC1
三、填空题
9．(人教A版选择性必修第一册P22练习T1)已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则3a－b＝________，a·b＝________．
10．(人教B版选择性必修第一册P16练习AT3改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
四、解答题
11．(13分)(人教A版选择性必修第一册P33练习T3改编)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC．
课时作业(五十五)
1．C　[对于A，由向量的加法法则可知，a－b＝－(b＋c)＋(a＋c)，所以{a－b，b＋c，a＋c}不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故B错误；
对于C，已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，a＋c}可以作为基底，则{a，b，m}也是空间的一个基底，故C正确；
对于D，只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故D错误．故选C．]
2．C　[因为P，A，B，C四点共面，所以共面，
不妨设＝x＋y＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，
所以
故选C．]
3．A　[连接EC，ED，如图所示，
×)＝)＝)＝×a＋b＋c．
故选A．]
4．C　[设AC，BD交于点O，连接OE，
∵正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，
M在EF上，且AM∥平面BDE，
∴AM∥OE，又AO∥EM，∴四边形OAME是平行四边形，
∴M是EF的中点，
∵E(0，0，1)，F(，1)，
∴M．故选C．]
5．D　[由题意得＝p＋n，||＝＝1，||＝＝1，
||＝，
∴p＋n＝1××cos，
∵p2＋n2＝1，∴＝np＝＝－，
则向量夹角的余弦值为
cos〈〉＝＝np＝－．故选D．]
6．C　[由题意得)＝)，
所以)2＋·()，
所以||＝
＝
＝
＝
＝．
故选C．]
7．BCD　[空间向量a＝(2，2，2)，b＝(1，－1，1)，c＝(1，7，1)，
对于A，若a∥b，则存在λ∈R使得a＝λb，即2＝λ，2＝－λ，2＝λ，无解，故A错误；
对于B，a·b＝2－2＋2＝2，故B正确；
对于C，|a|＝＝2，故C正确；
对于D，由选项A可知a与b不共线，故若a，b，c是共面向量，
则存在λ，μ∈R使得c＝λa＋μb＝λ(2，2，2)＋μ(1，－1，1)＝(2λ＋μ，2λ－μ，2λ＋μ)，
即2λ＋μ＝1，2λ－μ＝7，解得λ＝2，μ＝－3，故a，b，c是共面向量，D正确．
故选BCD．]
8．ABD　[对于A，)＝)＝)，故A正确；
对于B，不妨设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底．
则依题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，b·c＝1，a·c＝－1，
由选项A可得(a＋b＋c)，
则||2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝，即||＝，故B正确；
对于C，＝b－a，故(a＋b＋c)·(b－a)＝(－1＋1＋1＋1)＝1≠0，故C错误；
对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，
则)＝(a＋b)，
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又(a·c＋b·c)＝(－1＋1)＝0，故有AE⊥BB1，
因为BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面B1BCC1，
所以AE⊥平面B1BCC1，
又AE 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面B1BCC1，故D正确．
故选ABD．]
9．(－10，1，16)　2　[因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，所以3a－b＝(－9，6，15)－(1，5，－1)＝(－10，1，16)，a·b＝－3＋10－5＝2．]
10．　[∵P，A，B，C四点共面，
∴＋t＝1，
∴t＝．]
11．证明：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AD＝a(a>0)，AB＝b(b>0)，则有A(0，0，0)，P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M，N，
所以，
又＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以．
又MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)结合(1)知，M，
＝(b，a，－a)，，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
令z1＝b，则x1＝2a，y1＝－b，
得n1＝(2a，－b，b)为平面PMC的一个法向量．
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
得x2＝0，令z2＝1，则y2＝1，得n2＝(0，1，1)为平面PDC的一个法向量．
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2，
故平面PMC⊥平面PDC．
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