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2025-2026学年贵州省毕节市实验高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.“ ”是“”的 条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4.若展开式的各项二项式系数和为，则展开式中的常数项( )
A. B. C. D.
5.现有名同学站成一排，再将甲、乙名同学加入排列，保持原来名同学顺序不变，不同的方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知直线：，：，若，则实数等于( )
A. B. C. D. 或
7.把个相同的球全部放入编号为、、的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式的第项系数为
C. 展开式的所有项的系数之和为 D. 展开式的所有二项式系数之和为
10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是( )
A. 若任意选择三门课程，则总选法为
B. 若物理和历史至少选一门，则总选法为
C. 若物理和历史不能同时选，则总选法为
D. 若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为
11.已知函数，下列说法中正确的有( )
A. 函数的极小值为
B. 函数在点处的切线方程为
C.
D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名志愿者中选人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有______种．
13.已知函数在处取极值，且，则的值为 ．
14.已知点在双曲线：上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
求函数在上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知等差数列的各项均为正数，，．
求数列的通项公式；
若数列满足，，求的通项公式及其前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点．
求椭圆的方程；
过的直线与椭圆相交于，两点，点，求面积的最大值．
19.本小题分
设函数．
讨论的单调性；
若，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.种
13.
14.．
15.，定义域，，令，，，
递减 极小值 递增 极大值 递减
当时，有极小值，极小值为；
当时，有极大值，极大值为．
递减 极小值 递增 极大值 递减
所以，．
16.解：设的公差为，，，
，
解得，
．
由得，，
，
．
，
．
17.解：Ⅰ证明：以为坐标原点，所成直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由已知得，，，，，，
，，，
，，，，
，平面．
Ⅱ设平面的法向量，由Ⅰ知，
设平面的法向量，
，，
，设，得，
，
二面角夹角的余弦值为．
Ⅲ，，，平面的法向量得，
点到平面的距离．
18.解：离心率，
椭圆过点经过点，
得到，，
椭圆方程为；
当直线斜率不存在时，易知，，此时，，
设直线斜率存在时，方程为，点，，
整理得，
则，，
，
点到直线的距离为，
所以，
令，
则
综上，，的最大值为．
19.由题意得导函数，
当时，导函数在上恒成立，在上单调递增；
当时，令导函数，解得，
当，，函数在上单调递增，
当，，函数在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增．
证明：由题意知在上成立，令函数，即在恒成立．
那么导函数，令函数，那么导函数，
当时，，即导函数，且仅当时等号成立，
因此函数在上单调递增，那么函数的最小值为，
由于，因此，即在上，那么，
可得在上单调递增，在处取得最小值，
最小值，即在上，
可知当时，在恒成立，所以．
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