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浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题
1．已知为等比数列，，，则（　　）
A．8 B．12 C．16 D．17
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：由等比中项的性质，知，
若该数列的公比为，则，显然，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等比数列的性质，从而得出的值.
2．已知为第二象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由为第二象限角，知，
因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和三角函数值在各象限的符号以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
3．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：对于A，任意事件的概率都满足，故成立；
对于B，因为是事件的对立事件，所以，
则，故成立；
对于C，因为，所以，事件包含事件所有的样本点，
则，故成立；
对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，
但并未说明事件和事件是否互斥，
由概率的加法公式，得，
因此，只有当时，即当时，才成立，故不一定成立.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和概率的基本性质，则判断出选项A；利用对立事件定义以及互斥事件加法求概率公式，则判断出选项B；利用集合间的包含关系判断出，则判断出选项C；利用并事件求概率公式和交事件求概率公式，则判断出选项D，从而找出不一定成立的选项.
4．已知实数，，若，，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，，
又因为，所以，则，
因为，所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和指数式与对数式的互化公式以及a的取值范围，从而得出a，b，的值，再利用对数的运算法则得出的值.
5．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　）
A．体积为 B．表面积为
C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆锥的体积为，故A错误；
对于B，因为圆锥的母线长为，
所以，圆锥的表面积为，故B错误；
对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，
因为为锐角，所以，
则，
所以，两条母线的夹角的最大值为，故C错误；
对于D，设两条母线的夹角为，
则过顶点的截面面积为
因为，
则当时，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和圆锥的体积公式，则判断出选项A；利用勾股定理得出母线长，再结合圆锥的表面积公式，则判断出选项B；利用正切函数的定义和几何法求最值的方法，从而得出两条母线的夹角的最大值，则判断出选项C；利用三角形的面积公式和，再利用正弦函数求值域的方法，从而得出过顶点的截面面积的最大值，则判断出选项D，从而找出对该圆锥的表述正确的选项.
6．已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（　　）
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点是抛物线上异于的动点，
设（），
则，.
对于选项A，因为，不是定值，故A错误；
对于选项B，因为，不是定值，故B错误；
对于选项C，因为，为定值，故C正确；
对于选项D，因为，不是定值，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和两点求斜率公式以及作差法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
7．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．为纯虚数
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意知，方程无实数根，
则两个复数根，必为共轭复数，，故选项C错误；
因为，所以为实数，故选项A、选项D错误；
又因为，所以，方程的根为，
则，
，
由，得，
，则，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用方程求复数根的方法和复数求模的公式以及共轭复数的定义，则判断出选项C；利用复数的运算法则，则判断出选项A和选项B；利用复数的运算法则和纯虚数的判断方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
8．已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：当时，把数列的5项依次排列，
当数列只有一个1时，当时，共3种，
同理可得也有3种；
当时，共2种，
同理可得也有2种；
当时，共1种；
当数列仅有两个1时，共4种；
当数列仅有三个1时，共1种，
综上所述，；
当时，
当数列只有一个2时，当时，共3种，
同理可得也有3种；
当时，共4种，
同理可得也有4种；
当时，一种；
当数列仅有两个2时，当时，共2种，
同理可得时也有2种；
当时，共8种；
当时，共1种；
当数列仅有三个2时，共4种，
综上所述，，
．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出的值，进而得出的值.
9．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为 B．
C．的值域为 D．是图象的一个对称中心
【答案】B,C
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，的最小正周期为，故选项A错误；
因为，，
故选项B正确；
因为，，
所以的值域为，故选项C正确；
当时，，
因为，
所以是图象的一个对称中心，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用代入法计算函数值，则判断选项B；利用已知条件和正弦型函数求值域的方法，则判断出选项C；利用已知条件和正弦型函数判断对称性的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．设，为常数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
对于，因为展开式的通项为，，
对于，因为展开式的通项为，，
所以，故A对；
因为，故B对；
令，则，
令，则，
所以，
则，故C错；
因为，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和两个二项式乘积以及其展开式的通项，从而求出对应项的系数，则判断出选项A和选项B；利用赋值法求出奇数项和偶数项的和，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（　　）
A．直线与平面所成角为 B．平面与平面所成角为
C． D．点到平面的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接，
则.
对于A，因为，所以为直线与平面所成的角，
又因为，且为锐角，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，则四边形为梯形，
又因为，，所以，则四边形为直角梯形，
同理可得，
因为，所以，
在中，，
则，
因为，设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角不为，故B错误；
对于C，由题意，则点平面，又因为，
所以平面平面，则三点共线，
因为，所以为的中点，则，
所以，连接，则，
因为，，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，故C正确；
对于D，由选项C的分析，可得，
则.
由，可得为的中点，
则，连接，则，
所以，
过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
则，
所以，
消元可得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据正四面体的结构特征和线面角的定义，从而得出直线与平面所成角，则判断出选项A；求出的面积，利用射影面积法求出二面角的余弦值，则判断出选项B，利用三点共线和中点的性质得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出，则判断出选项C；利用勾股定理和中位线的性质，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用解方程的方法得出点到平面的距离，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．已知平面向量，，，若，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，则，
，
，当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用向量平行的坐标表示可得之间的关系式，则将问题转化为二次函数求最小值的问题，进而得出的最小值.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图：
因为，所以，
则，所以，
又因为，，
在中，由余弦定理，可得，
在中，由余弦定理，可得.
因为，所以，
则，解得，所以，
则.
【分析】先根据已知条件和双曲线的定义求出的值，再利用余弦定理分别用c表示出和，再根据得出，从而列出方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式得出该双曲线的离心率.
14．已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为　 　.
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，设袋中的白球个数可取，
则，，
，
所以，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件得出随机变量X的取值，并求出相应取值的概率，从而得出随机变量X的分布列，再结合期望公式可得.
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：已知，
由正弦定理中边角关系，得，
化简得，
由辅助角公式，可得，
因为， 所以.
（2）解：由余弦定理，
得，
解得，
所以，
则的周长为.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、辅助角公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用余弦定理得出b+c的值，再利用三角形的周长公式得出的周长.
（1）已知，
由正弦边角关系得，化简得，
应用辅助角公式可得，而，所以.
（2）由余弦定理，得，解得，
所以，故的周长为.
16．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
由是正方形，得点为的中点，
因为为的中点，
所以为的中位线，
则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，，
则以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
因为，
所以，
又因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
则，所以，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
又因为，
则，所以，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
由图可知，平面与平面的夹角为锐角，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直和线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则求出相应的点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式得出平面与平面夹角的正弦值.
（1）证明：连接交于点，如图所示：
由是正方形得为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
于是，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由已知，平面，，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为，
所以，
因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，则，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
故.
17．2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：
年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91
由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，.
（1）证明：；
（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）
附：一元线性回归方程，其中.
【答案】（1）证明：因为左边
=右边，
所以，等式成立.
（2）解：设一元线性回归方程为，
则，
将代入回归方程，可得，
解得，
所以，一元线性回归方程为，
当时，则，
所以2025年的GDP预测值为143.26万亿元，
因为2025年GDP的实际值为140.19万亿元，
所以，误差为（万亿元）.
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数公式，从而变形证出成立.
（2）由最小二乘法求出 的值，从而可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，再利用预测值与实际值差的绝对值得出误差.
（1）左边
=右边，故等式成立；
（2）设一元线性回归方程为，
则，
将代入回归方程可得，解得，
所以一元线性回归方程为.
当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，
而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，
故误差为（万亿元）.
18．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线，的方程：
（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）解：由题意，得，，
解得，，
所以，椭圆C的标准方程为.
（2）解：（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，
联立，消去y并整理，得，
由，
得，解得，，
所以，切线方程分别为，.
（ⅱ）设且，
则直线且，联立，
所以，
则，
由相切关系知，
则，所以，
则，
由，则，
所以，则直线，
得直线，
所以直线，则直线，
由直线，联立直线得，则，
由直线，联立直线，得，，
则，
因为，，
又因为，
所以，
则，
所以为定值，且定值为90°.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、焦点坐标和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）（i）设过点P的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，再利用直线与椭圆相切得出，进而求出直线的斜率，则得出切线方程和切线的方程.
（ii）利用直线与椭圆相切位置关系判断方法，从而得出直线，再结合（2）得出的两直线，，进而求出交点坐标，利用数量积的坐标运算，从而得出，从而得出为定值，且定值为90°.
（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，
消去y并整理得，
由，即，解得，.
所以切线方程分别为，.
（ⅱ）设且，则且，联立，
所以，则，
由相切关系知，则，
所以，则，
由，则，
所以，则，得，
所以，即，
由，联立直线得，则，
由，联立直线得，，则，
因为，，，
所以，即，
故为定值，且定值为90°.
19．已知，函数.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）证明：当时，对任意，，都有；
（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由，得，
令，解得，，
当时，；当时，；
当时，，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
因此，的极小值为.
（2）证明：当时，，
其中时，取等号，所以为增函数，
对任意的，，不妨设，则，
因为，
所以为增函数，则，
所以，
则.
（3）解：由题意，不妨设，，
因为，所以，
整理得，，
令，，.
①当时，，
此时；
②当时，令，
解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，
则.
法一：因为，
又因为，所以，则，
所以，
记，，则
因为，
所以，
则，
因此，当时，，
又因为，
综上所述，.
法二：求最小值的第二种解法.
令，因为，，
所以，
下证：，
又因为
，
只需证：，
只需证：，
令，
则，
因为，
所以，
则恒成立，
因此，，
令，则，
对于，则，
所以，
当且仅当时，，
所以，a的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性，再利用函数的单调性证出当时，对任意，，都有.
（3）设，，从而得到能成立，再利用分类讨论的方法得出函数的最小值，结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）由，得.
令，解得，，
当时，；当时，；
当时，.
所以在、上单调递增，在上单调递减，
因此，的极小值为；
（2）当时，，其中时取等号，
所以为增函数，
对任意的，，不妨设，则，
又，
所以为增函数，得，即，
故；
（3）由题意，不妨设，，
因为，所以，
整理得，，
令，，.
①当时，，
此时.
②当时，令，解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，故，
法一：因为，
又因为，得，即
所以，
记，，
则，
因为，所以，
即，
因此，当时，，
又，
综上，，
法二：求最小值的第二种解法.
令，因为，，所以，
下证：，
因为
，
只需证：，
只需证：，
令，则，
因为，
所以，即恒成立，
因此，，
令，则，对于，，
所以，当且仅当时，.
所以a的取值范围是.
1 / 1浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题
1．已知为等比数列，，，则（　　）
A．8 B．12 C．16 D．17
2．已知为第二象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
4．已知实数，，若，，则（　　）
A． B． C． D．1
5．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　）
A．体积为 B．表面积为
C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2
6．已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（　　）
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
7．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．为纯虚数
8．已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为 B．
C．的值域为 D．是图象的一个对称中心
10．设，为常数，则（　　）
A． B．
C． D．
11．已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（　　）
A．直线与平面所成角为 B．平面与平面所成角为
C． D．点到平面的距离为
12．已知平面向量，，，若，则的最小值为　 　.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为　 　.
14．已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为　 　.
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的周长.
16．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
17．2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：
年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91
由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，.
（1）证明：；
（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）
附：一元线性回归方程，其中.
18．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，
（ⅰ）求切线，的方程：
（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
19．已知，函数.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）证明：当时，对任意，，都有；
（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：由等比中项的性质，知，
若该数列的公比为，则，显然，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和等比中项公式以及等比数列的性质，从而得出的值.
2．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由为第二象限角，知，
因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和三角函数值在各象限的符号以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
3．【答案】D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：对于A，任意事件的概率都满足，故成立；
对于B，因为是事件的对立事件，所以，
则，故成立；
对于C，因为，所以，事件包含事件所有的样本点，
则，故成立；
对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，
但并未说明事件和事件是否互斥，
由概率的加法公式，得，
因此，只有当时，即当时，才成立，故不一定成立.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和概率的基本性质，则判断出选项A；利用对立事件定义以及互斥事件加法求概率公式，则判断出选项B；利用集合间的包含关系判断出，则判断出选项C；利用并事件求概率公式和交事件求概率公式，则判断出选项D，从而找出不一定成立的选项.
4．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，，
又因为，所以，则，
因为，所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和指数式与对数式的互化公式以及a的取值范围，从而得出a，b，的值，再利用对数的运算法则得出的值.
5．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆锥的体积为，故A错误；
对于B，因为圆锥的母线长为，
所以，圆锥的表面积为，故B错误；
对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，
因为为锐角，所以，
则，
所以，两条母线的夹角的最大值为，故C错误；
对于D，设两条母线的夹角为，
则过顶点的截面面积为
因为，
则当时，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和圆锥的体积公式，则判断出选项A；利用勾股定理得出母线长，再结合圆锥的表面积公式，则判断出选项B；利用正切函数的定义和几何法求最值的方法，从而得出两条母线的夹角的最大值，则判断出选项C；利用三角形的面积公式和，再利用正弦函数求值域的方法，从而得出过顶点的截面面积的最大值，则判断出选项D，从而找出对该圆锥的表述正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为点是抛物线上异于的动点，
设（），
则，.
对于选项A，因为，不是定值，故A错误；
对于选项B，因为，不是定值，故B错误；
对于选项C，因为，为定值，故C正确；
对于选项D，因为，不是定值，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和两点求斜率公式以及作差法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
7．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意知，方程无实数根，
则两个复数根，必为共轭复数，，故选项C错误；
因为，所以为实数，故选项A、选项D错误；
又因为，所以，方程的根为，
则，
，
由，得，
，则，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用方程求复数根的方法和复数求模的公式以及共轭复数的定义，则判断出选项C；利用复数的运算法则，则判断出选项A和选项B；利用复数的运算法则和纯虚数的判断方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：当时，把数列的5项依次排列，
当数列只有一个1时，当时，共3种，
同理可得也有3种；
当时，共2种，
同理可得也有2种；
当时，共1种；
当数列仅有两个1时，共4种；
当数列仅有三个1时，共1种，
综上所述，；
当时，
当数列只有一个2时，当时，共3种，
同理可得也有3种；
当时，共4种，
同理可得也有4种；
当时，一种；
当数列仅有两个2时，当时，共2种，
同理可得时也有2种；
当时，共8种；
当时，共1种；
当数列仅有三个2时，共4种，
综上所述，，
．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出的值，进而得出的值.
9．【答案】B,C
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，的最小正周期为，故选项A错误；
因为，，
故选项B正确；
因为，，
所以的值域为，故选项C正确；
当时，，
因为，
所以是图象的一个对称中心，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用代入法计算函数值，则判断选项B；利用已知条件和正弦型函数求值域的方法，则判断出选项C；利用已知条件和正弦型函数判断对称性的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
对于，因为展开式的通项为，，
对于，因为展开式的通项为，，
所以，故A对；
因为，故B对；
令，则，
令，则，
所以，
则，故C错；
因为，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和两个二项式乘积以及其展开式的通项，从而求出对应项的系数，则判断出选项A和选项B；利用赋值法求出奇数项和偶数项的和，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接，
则.
对于A，因为，所以为直线与平面所成的角，
又因为，且为锐角，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，则四边形为梯形，
又因为，，所以，则四边形为直角梯形，
同理可得，
因为，所以，
在中，，
则，
因为，设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角不为，故B错误；
对于C，由题意，则点平面，又因为，
所以平面平面，则三点共线，
因为，所以为的中点，则，
所以，连接，则，
因为，，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，故C正确；
对于D，由选项C的分析，可得，
则.
由，可得为的中点，
则，连接，则，
所以，
过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
则，
所以，
消元可得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据正四面体的结构特征和线面角的定义，从而得出直线与平面所成角，则判断出选项A；求出的面积，利用射影面积法求出二面角的余弦值，则判断出选项B，利用三点共线和中点的性质得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出，则判断出选项C；利用勾股定理和中位线的性质，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用解方程的方法得出点到平面的距离，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，则，
，
，当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用向量平行的坐标表示可得之间的关系式，则将问题转化为二次函数求最小值的问题，进而得出的最小值.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图：
因为，所以，
则，所以，
又因为，，
在中，由余弦定理，可得，
在中，由余弦定理，可得.
因为，所以，
则，解得，所以，
则.
【分析】先根据已知条件和双曲线的定义求出的值，再利用余弦定理分别用c表示出和，再根据得出，从而列出方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式得出该双曲线的离心率.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，设袋中的白球个数可取，
则，，
，
所以，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件得出随机变量X的取值，并求出相应取值的概率，从而得出随机变量X的分布列，再结合期望公式可得.
15．【答案】（1）解：已知，
由正弦定理中边角关系，得，
化简得，
由辅助角公式，可得，
因为， 所以.
（2）解：由余弦定理，
得，
解得，
所以，
则的周长为.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、辅助角公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用余弦定理得出b+c的值，再利用三角形的周长公式得出的周长.
（1）已知，
由正弦边角关系得，化简得，
应用辅助角公式可得，而，所以.
（2）由余弦定理，得，解得，
所以，故的周长为.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
由是正方形，得点为的中点，
因为为的中点，
所以为的中位线，
则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，，
则以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
因为，
所以，
又因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
则，所以，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
又因为，
则，所以，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
由图可知，平面与平面的夹角为锐角，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直和线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则求出相应的点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式得出平面与平面夹角的正弦值.
（1）证明：连接交于点，如图所示：
由是正方形得为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
于是，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由已知，平面，，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为，
所以，
因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，则，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
故.
17．【答案】（1）证明：因为左边
=右边，
所以，等式成立.
（2）解：设一元线性回归方程为，
则，
将代入回归方程，可得，
解得，
所以，一元线性回归方程为，
当时，则，
所以2025年的GDP预测值为143.26万亿元，
因为2025年GDP的实际值为140.19万亿元，
所以，误差为（万亿元）.
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数公式，从而变形证出成立.
（2）由最小二乘法求出 的值，从而可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，再利用预测值与实际值差的绝对值得出误差.
（1）左边
=右边，故等式成立；
（2）设一元线性回归方程为，
则，
将代入回归方程可得，解得，
所以一元线性回归方程为.
当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，
而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，
故误差为（万亿元）.
18．【答案】（1）解：由题意，得，，
解得，，
所以，椭圆C的标准方程为.
（2）解：（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，
联立，消去y并整理，得，
由，
得，解得，，
所以，切线方程分别为，.
（ⅱ）设且，
则直线且，联立，
所以，
则，
由相切关系知，
则，所以，
则，
由，则，
所以，则直线，
得直线，
所以直线，则直线，
由直线，联立直线得，则，
由直线，联立直线，得，，
则，
因为，，
又因为，
所以，
则，
所以为定值，且定值为90°.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、焦点坐标和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）（i）设过点P的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，再利用直线与椭圆相切得出，进而求出直线的斜率，则得出切线方程和切线的方程.
（ii）利用直线与椭圆相切位置关系判断方法，从而得出直线，再结合（2）得出的两直线，，进而求出交点坐标，利用数量积的坐标运算，从而得出，从而得出为定值，且定值为90°.
（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，
消去y并整理得，
由，即，解得，.
所以切线方程分别为，.
（ⅱ）设且，则且，联立，
所以，则，
由相切关系知，则，
所以，则，
由，则，
所以，则，得，
所以，即，
由，联立直线得，则，
由，联立直线得，，则，
因为，，，
所以，即，
故为定值，且定值为90°.
19．【答案】（1）解：由，得，
令，解得，，
当时，；当时，；
当时，，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
因此，的极小值为.
（2）证明：当时，，
其中时，取等号，所以为增函数，
对任意的，，不妨设，则，
因为，
所以为增函数，则，
所以，
则.
（3）解：由题意，不妨设，，
因为，所以，
整理得，，
令，，.
①当时，，
此时；
②当时，令，
解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，
则.
法一：因为，
又因为，所以，则，
所以，
记，，则
因为，
所以，
则，
因此，当时，，
又因为，
综上所述，.
法二：求最小值的第二种解法.
令，因为，，
所以，
下证：，
又因为
，
只需证：，
只需证：，
令，
则，
因为，
所以，
则恒成立，
因此，，
令，则，
对于，则，
所以，
当且仅当时，，
所以，a的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性，再利用函数的单调性证出当时，对任意，，都有.
（3）设，，从而得到能成立，再利用分类讨论的方法得出函数的最小值，结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）由，得.
令，解得，，
当时，；当时，；
当时，.
所以在、上单调递增，在上单调递减，
因此，的极小值为；
（2）当时，，其中时取等号，
所以为增函数，
对任意的，，不妨设，则，
又，
所以为增函数，得，即，
故；
（3）由题意，不妨设，，
因为，所以，
整理得，，
令，，.
①当时，，
此时.
②当时，令，解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，故，
法一：因为，
又因为，得，即
所以，
记，，
则，
因为，所以，
即，
因此，当时，，
又，
综上，，
法二：求最小值的第二种解法.
令，因为，，所以，
下证：，
因为
，
只需证：，
只需证：，
令，则，
因为，
所以，即恒成立，
因此，，
令，则，对于，，
所以，当且仅当时，.
所以a的取值范围是.
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