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湖南郴州市2026届高三下学期教学质量监测数学试题
1．已知复数满足，且，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
因为，所以，
又因为，所以，则，
所以.
故答案为：B
【分析】利用复数求模关塞、共轭复数的定义、复数的运算法则，从而得出复数.
2．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：对于集合，，
所以.
对于集合，，
所以，
则.
故答案为：C
【分析】解一元二次不等式得出集合，利用对数型函数求定义域的方法，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．若函数图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为最小正周期为，所以，
则，
令，则，
又因为函数图象的一个对称中心为，
所以，令，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用正切型函数的最小正周期公式得出的值，再利用正切型函数的对称性得出的值，进而得出该函数可能的解析式.
4．设等差数列的前项和为，公差为，若，则（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，
由等差数列前项和的性质，可知，则，
又因为，
，，，
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和等差数列前项和的性质，从而得出公差的值，再利用等差数列的性质得出首项的值，根据等差数列前n项和公式，从而得出的值.
5．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．10
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：，所以，函数的周期为6，
，
又因为是定义在上的奇函数，，则，
所以，，当时，，
，
则.
故答案为：B.
【分析】利用周期函数的定义得出函数的周期，再利用奇函数的性质和已知条件，从而得出的值.
6．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为
所以
由全概率公式，可得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和对立事件求概率公式以及全概率公式，从而得出事件B的概率.
7．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线方程为，
设点到准线的距离为，
则，所以，
则当与抛物线相切时，最小，
则取得最大值，
设过点的直线与抛物线相切，
联立，得，
，解得，
则，解得，
把代入，得，
或，此时.
故答案为：B.
【分析】设点到准线的距离为，则，再利用已知条件和正弦函数的定义，从而得出，进而判断出当直线与抛物线相切时，最小，则取得最大值，设过点的直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程和判别式法，从而得出直线的斜率，再利用解方程的方法和代入法，从而得出点P的坐标，进而得出的最大值.
8．已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，
则原式可变形为，
令，，
则函数 与均为上的增函数，且，且，
当时，由，则，可得；
当时，由，则，可得，
要比较与的大小，只需比较 与的大小，
则，
设，
则，
所以在上单调递增，
因为，，
则存在，使得，
当时，；当时，，
又因为，
则当时，；当时，正负不确定，
所以，当时，，
则，所以，
当时，正负不定，
所以与的大小不定，
则均有可能，故选项B、选项C、选项D均有可能；选项A不可能．
故答案为：A.
【分析】将原式变形为，令，，再根据分类讨论的方法比较出与的大小，再设，则利用导数的正负判断函数的单调性，从而判断出和1的大小关系.
9．下面说法正确的是（　　）
A．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，若，则
B．命题“”的否定形式是“”
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的图象关于点成中心对称
【答案】A,B,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
又因为，所以，故A正确；
对于B，因为命题“”的否定形式是“”，故B正确；
对于C，当时，可得，
所以“”是“”的充分条件；
当时，可得，
所以，则，解得或，
所以“”是“”的不必要条件，
则“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，因为
，
所以，函数的图象关于点成中心对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件线面垂直得出面面平行，再利用线面垂直得出，则判断出选项A；利用全称量词命题的否定是存在量词命题，则判断出选项B；利用已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，则判断出选项C；利用图形对称性判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．已知二次曲线表示一个椭圆，则（　　）
A．的对称中心为
B．上的点到原点距离的取值范围是
C．当点在上时，
D．的离心率为
【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质；曲线与方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，设点是二次曲线上任意一点，
将点代入二次曲线，
化简可得，所以，点在二次曲线上，
则二次曲线的对称中心为，故A正确；
对于B，令，则，
因为，
所以，则，解得，则，
所以，二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误；
对于C，将曲线方程视为关于的方程，
因为为实数，所以，
解得，
当点在二次曲线上时，可得，故C正确；
对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则，
因为绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为，
由正、余弦的和差公式，得旋转后的坐标如下为，
又因为，
所以，则旋转公式得证，
将原方程化为标准方程，而其旋转角为，旋转后整理方程，
令交叉项系数为0，可得，
因为，解得，
设，
代入曲线，化简可得，
则二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到，
如图所示，作出符合题意的图形，
在椭圆中，，
则二次曲线的离心率为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的对称性可判断选项A；令，则，由代入化简可得，再解绝对值不等式得出二次曲线上的点到原点距离的取值范围，则判断出选项B；利用已知条件将曲线看作关于的方程，由判别式法列不等式得出的取值范围，则判断出选项C；先证明旋转公式，再将原方程标准化，从而得出a，b，c的值，进而得出二次曲线C的离心率的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体棱长为2，下列结论正确的有（　　）
A．平面与平面的夹角的余弦值为
B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为
C．正八面体的体积与表面积的比值为
D．点到平面距离为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正方形的对角线交点为 ，
则，
所以，
对于选项A，取中点，连接和，
因为和都是等边三角形，
所以且，
因此为二面角的平面角，
又因为，，
由余弦定理，可得，
则平面与平面的夹角的余弦值为，故A正确；
对于选项B，因为到所有顶点的距离相等，
所以，点也是外接球球心，外接球半径为，
显然内切球球心也为，内切球半径为点到平面的距离也是到的高，
在中，，
利用等面积法，则，可得，
所以，正八面体的体积与表面积的比值为，故B正确；
对于选项C，设正八面体的体积和表面积分别为和，
由等体积法，可知，其中为内切球半径，
所以，故C错误；
对于选项D，设点到平面的距离为，
利用等体积法，得，
则，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先得出为二面角的平面角，利用余弦定理得出平面与平面的夹角的余弦值，则判断出选项A；利用点到所有顶点的距离相等，因此点也是外接球球心显然内切球球心也为，内切球半径为到平面的距离也是到的高，再利用等面积法，从而得出正八面体的内切球半径与外接球半径的比值，则判断出选项B；利用正八面体的体积公式和表面积公式，从而得出正八面体的体积与表面积的比值，则判断出选项C；利用已知条件和三棱锥体积公式和等体积法，从而得出点到平面距离，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．已知向量满足，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
解得，
由，
可得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出的值.
13．在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，
可得、，
则
，
由三角形为锐角三角形，
则，所以，
则，
所以，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式和三角恒等变换，可将、用角表示，再利用三角形为锐角三角形中角的取值范围，从而得出角B的取值范围，进而得出角B的余弦的取值范围，再利用不等式的基本性质得出的取值范围.
14．若存在实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，得，
则，
令，则，
令，
则，
当时，；当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
因为，，
作出函数图象如下：
由图可知，若存在实数，使得关于的方程有两个不同的根，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件将题中方程化简，令，则，再利用导数作出函数的图象，再利用已知条件和数形结合以及方程的根与函数与直线交点横坐标的等价关系，进而得出实数a的取值范围.
15．随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表：
统计量
数值 55 72.6 21
（1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；
（2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值.
（参考公式：）
【答案】（1）解：因为，
又因为，
，
所以，回归直线方程为.
（2）解：由题意知，随机变量的可能取值为，
则，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则均值.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据平均数公式和最小二乘法，从而得出关于的回归直线方程.
（2）根据已知条件得出随机变量X的取值，再利用超几何分布求概率公式得出随机变量X的分布列，结合期望公式，从而得出随机变量X的均值.
（1），
，
.所以，回归直线方程为.
（2）由题意知随机变量的可能取值为，则：
，
，
，
，
X 0 1 2 3
P
故均值.
16．苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.
（1）求山高；
（2）已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离.
【答案】（1）解：如图，在中，设，
由题意知，，且，
由余弦定理，
代入得：，
化简得：，
则，
解得或，
由“点位于点的南偏西方向”，
可知点必在点的东北方向，
则的横坐标应大于的横坐标.
由点向东位移为米，
可得，则，
所以，只能取，
则山高米.
（2）解：由第（1）问知，山高米，
因为缆车在点处转换坡度，
所以，两段缆车各上升100米，
设第一段（倾斜角）的水平距离为，则，
第二段（倾斜角）的水平距离为，则，
所以，，
则，，
因此，山脚下缆车上车点到点的距离为：，
利用常用三角函数值，得：，
则
所以，山脚下缆车上车点到点的距离为米.
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设， 根据题意，在中结合余弦定理得出的值，再结合点位于点的南偏西方向，从而得出，进而得出山高的长.
（2）结合（1），设，，再利用正切函数的定义得出，，从而得出山脚下缆车上车点到点的距离为：，再结合两角差的正切公式计算可得答案.
（1）解：如图，在中，设，
由题意知，且，
由余弦定理，
代入得：
化简得：，即
解得或
由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，从而的横坐标应大于的横坐标.
由点向东位移为米，可得，即.
故只能取，所以山高米.
（2）解：由第（1）问知，山高米.
因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升100米.
设第一段（倾斜角）的水平距离为，即，
第二段（倾斜角）的水平距离为，即
则有：，，所以，；
因此，山脚下缆车上车点到点的距离为：
利用常用三角函数值：，
得
故山脚下缆车上车点到点的距离为米.
17．已知圆外有一点.
（1）当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）解：因为圆，
所以，圆心，半径.
由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，即.
又因为直线与圆相切，所以，
解得或，
所以，直线的方程为或.
（2）证明：记点关于轴的对称点为，则，
因为反射光线所在直线经过点，且直线斜率存在，
设反射光线所在直线，即.
又因为圆的圆心为，半径，直线与圆相切，
则，
整理得，
则两条切线的斜率之积为，
所以，
则
.
【知识点】数列的求和；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再设直线的方程为，再由直线与圆相切位置关系可得，从而求解得出直线的斜率，进而得出直线的方程.
（2）设反射光线所在直线，由直线与圆相切位置关系得出，再由根与系数的关系可得，再利用裂项相消法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）圆，圆心，半径.
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，即.
由于直线与圆相切，所以，解得或，
所以直线的方程为或；
（2）记点关于轴的对称点为，则.
由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在，
设反射光线所在直线，即.
又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则，
整理得，
则两条切线的斜率之积.
所以，
.
18．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1 2所示.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值；
（3）当不在轴上时，如图2，求面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意，知，
解得，
∴椭圆C的标准方程为.
（2）解：翻折前，所在直线方程为，
联立，消得，，解得，
不妨设，
翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（3）解：设翻折前所在直线方程为，
联立，消得，，
设，（令），
由韦达定理，得，
翻折后，，
则，
所以，
则，
所以，，
则，
令，则，
所以.
令，
由对勾函数的性质，得函数在上单调递增，
则当时，取得最小值，为，此时取得最大值，
则的最大值为，此时，
解得，
则当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）当点在短轴端点时，面积最大，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式以及三角形的面积公式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）折叠前，将直线方程与椭圆方程联立，从而求出两点的坐标，折叠后建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
（3）将直线方程与椭圆方程联立得到两点坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，从而得出两点的坐标，利用三角形面积公式和对勾函数单调性求最值的方法，从而求出面积的最大值.
（1）由题意知，解得
∴椭圆C的标准方程为.
（2）翻折前，所在直线方程为，
联立，消得，解得，
不妨设，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
于是.
设异面直线与所成角为，
.
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设翻折前所在直线方程为，
联立，消得，
设（令），
由韦达定理有.
翻折后，，
故，
则，
所以，
于是.
所以，
令，有，于是.
令，由对勾函数的性质，
在上单调递增.
所以当时取得最小值，为，此时取得最大值，
的最大值为.此时，解得.
所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2.
19．已知函数（为自然对数的底数）
（1）若在处的切线与恰有一个公共点，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）若函数至少存在一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，得.
当时，
所以，曲线在点处的切线方程为：，
由题意，则这条切线与曲线恰有一个公共点，
联立得，
整理为，
因为两曲线恰有一个公共点，
所以，该一元二次方程有两个相等实根，
则判别式，
所以，
则，
所以.
（2）解：因为
所以，
又因为，所以，
因此的符号由的符号决定，分情况讨论：
①当时，对任意，都有，
则，
所以，函数在区间上单调递增；
②当时，当时，，则；
当时，则，所以，
因此，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，函数的单调性为：
当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）解：由，
要使函数至少存在一个零点，
只需方程在上至少有一个解，
移项得，
设，
则问题转化为：求函数的值域，
将拆成两个函数：，
则.
先讨论的单调性，
因为所以，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，
再讨论的单调性，
因为，
所以，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值
因为与在区间上都单调递增，在区间上都单调递减，
所以，它们的和在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
则函数在处取得最大值，
所以，则.
因此，函数至少存在一个零点，当且仅当时，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和曲线结合已知条件，则根据判别式法得出实数a的值.
（2）由结合分类讨论的方法，则根据导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）要使函数至少存在一个零点，只需方程在上至少有一个解，
设，则将问题转化为求函数的值域可得出实数a的取值范围.
（1）由得.
当时.
所以，曲线在点处的切线方程为：.
由题意，这条切线与曲线恰有一个公共点.
联立得，整理为.
因为两曲线恰有一个公共点，所以该一元二次方程有两个相等实根，
故判别式.
于是，从而.
故.
（2）因为
所以.
由于，故，因此的符号由的符号决定.
分情况讨论：
①当时，对任意，都有，故.
所以函数在区间上单调递增.
②当时，当时，，故；
当时，，故.
因此，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增..
综上，函数的单调性为：
当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）由，
要使函数至少存在一个零点，只需方程在上至少有一个解.
移项得.设，
则问题转化为：求函数的值域.
将拆成两个函数：，则.
先讨论的单调性.因为.
所以：当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
因此，函数在处取得最大值.
再讨论的单调性.因为，
所以：当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
因此，函数在处取得最大值
由于与在区间上都单调递增，在区间上都单调递减，
所以它们的和在区间上单调递增，在区间上单调递减，
从而在处取得最大值.
于是故.
因此，函数至少存在一个零点，当且仅当.
所以.
1 / 1湖南郴州市2026届高三下学期教学质量监测数学试题
1．已知复数满足，且，则（　　）
A．1 B． C． D．
2．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．若函数图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
4．设等差数列的前项和为，公差为，若，则（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
5．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．10
6．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．下面说法正确的是（　　）
A．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，若，则
B．命题“”的否定形式是“”
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的图象关于点成中心对称
10．已知二次曲线表示一个椭圆，则（　　）
A．的对称中心为
B．上的点到原点距离的取值范围是
C．当点在上时，
D．的离心率为
11．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体棱长为2，下列结论正确的有（　　）
A．平面与平面的夹角的余弦值为
B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为
C．正八面体的体积与表面积的比值为
D．点到平面距离为
12．已知向量满足，则　 　.
13．在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为　 　.
14．若存在实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　 　.
15．随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表：
统计量
数值 55 72.6 21
（1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；
（2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值.
（参考公式：）
16．苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.
（1）求山高；
（2）已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离.
17．已知圆外有一点.
（1）当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：.
18．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1 2所示.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值；
（3）当不在轴上时，如图2，求面积的最大值.
19．已知函数（为自然对数的底数）
（1）若在处的切线与恰有一个公共点，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）若函数至少存在一个零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
因为，所以，
又因为，所以，则，
所以.
故答案为：B
【分析】利用复数求模关塞、共轭复数的定义、复数的运算法则，从而得出复数.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：对于集合，，
所以.
对于集合，，
所以，
则.
故答案为：C
【分析】解一元二次不等式得出集合，利用对数型函数求定义域的方法，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为最小正周期为，所以，
则，
令，则，
又因为函数图象的一个对称中心为，
所以，令，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用正切型函数的最小正周期公式得出的值，再利用正切型函数的对称性得出的值，进而得出该函数可能的解析式.
4．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，
由等差数列前项和的性质，可知，则，
又因为，
，，，
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和等差数列前项和的性质，从而得出公差的值，再利用等差数列的性质得出首项的值，根据等差数列前n项和公式，从而得出的值.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：，所以，函数的周期为6，
，
又因为是定义在上的奇函数，，则，
所以，，当时，，
，
则.
故答案为：B.
【分析】利用周期函数的定义得出函数的周期，再利用奇函数的性质和已知条件，从而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为
所以
由全概率公式，可得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和对立事件求概率公式以及全概率公式，从而得出事件B的概率.
7．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线方程为，
设点到准线的距离为，
则，所以，
则当与抛物线相切时，最小，
则取得最大值，
设过点的直线与抛物线相切，
联立，得，
，解得，
则，解得，
把代入，得，
或，此时.
故答案为：B.
【分析】设点到准线的距离为，则，再利用已知条件和正弦函数的定义，从而得出，进而判断出当直线与抛物线相切时，最小，则取得最大值，设过点的直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程和判别式法，从而得出直线的斜率，再利用解方程的方法和代入法，从而得出点P的坐标，进而得出的最大值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，
则原式可变形为，
令，，
则函数 与均为上的增函数，且，且，
当时，由，则，可得；
当时，由，则，可得，
要比较与的大小，只需比较 与的大小，
则，
设，
则，
所以在上单调递增，
因为，，
则存在，使得，
当时，；当时，，
又因为，
则当时，；当时，正负不确定，
所以，当时，，
则，所以，
当时，正负不定，
所以与的大小不定，
则均有可能，故选项B、选项C、选项D均有可能；选项A不可能．
故答案为：A.
【分析】将原式变形为，令，，再根据分类讨论的方法比较出与的大小，再设，则利用导数的正负判断函数的单调性，从而判断出和1的大小关系.
9．【答案】A,B,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
又因为，所以，故A正确；
对于B，因为命题“”的否定形式是“”，故B正确；
对于C，当时，可得，
所以“”是“”的充分条件；
当时，可得，
所以，则，解得或，
所以“”是“”的不必要条件，
则“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，因为
，
所以，函数的图象关于点成中心对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件线面垂直得出面面平行，再利用线面垂直得出，则判断出选项A；利用全称量词命题的否定是存在量词命题，则判断出选项B；利用已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，则判断出选项C；利用图形对称性判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质；曲线与方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，设点是二次曲线上任意一点，
将点代入二次曲线，
化简可得，所以，点在二次曲线上，
则二次曲线的对称中心为，故A正确；
对于B，令，则，
因为，
所以，则，解得，则，
所以，二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误；
对于C，将曲线方程视为关于的方程，
因为为实数，所以，
解得，
当点在二次曲线上时，可得，故C正确；
对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则，
因为绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为，
由正、余弦的和差公式，得旋转后的坐标如下为，
又因为，
所以，则旋转公式得证，
将原方程化为标准方程，而其旋转角为，旋转后整理方程，
令交叉项系数为0，可得，
因为，解得，
设，
代入曲线，化简可得，
则二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到，
如图所示，作出符合题意的图形，
在椭圆中，，
则二次曲线的离心率为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的对称性可判断选项A；令，则，由代入化简可得，再解绝对值不等式得出二次曲线上的点到原点距离的取值范围，则判断出选项B；利用已知条件将曲线看作关于的方程，由判别式法列不等式得出的取值范围，则判断出选项C；先证明旋转公式，再将原方程标准化，从而得出a，b，c的值，进而得出二次曲线C的离心率的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正方形的对角线交点为 ，
则，
所以，
对于选项A，取中点，连接和，
因为和都是等边三角形，
所以且，
因此为二面角的平面角，
又因为，，
由余弦定理，可得，
则平面与平面的夹角的余弦值为，故A正确；
对于选项B，因为到所有顶点的距离相等，
所以，点也是外接球球心，外接球半径为，
显然内切球球心也为，内切球半径为点到平面的距离也是到的高，
在中，，
利用等面积法，则，可得，
所以，正八面体的体积与表面积的比值为，故B正确；
对于选项C，设正八面体的体积和表面积分别为和，
由等体积法，可知，其中为内切球半径，
所以，故C错误；
对于选项D，设点到平面的距离为，
利用等体积法，得，
则，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先得出为二面角的平面角，利用余弦定理得出平面与平面的夹角的余弦值，则判断出选项A；利用点到所有顶点的距离相等，因此点也是外接球球心显然内切球球心也为，内切球半径为到平面的距离也是到的高，再利用等面积法，从而得出正八面体的内切球半径与外接球半径的比值，则判断出选项B；利用正八面体的体积公式和表面积公式，从而得出正八面体的体积与表面积的比值，则判断出选项C；利用已知条件和三棱锥体积公式和等体积法，从而得出点到平面距离，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
解得，
由，
可得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，
可得、，
则
，
由三角形为锐角三角形，
则，所以，
则，
所以，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式和三角恒等变换，可将、用角表示，再利用三角形为锐角三角形中角的取值范围，从而得出角B的取值范围，进而得出角B的余弦的取值范围，再利用不等式的基本性质得出的取值范围.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，得，
则，
令，则，
令，
则，
当时，；当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
因为，，
作出函数图象如下：
由图可知，若存在实数，使得关于的方程有两个不同的根，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件将题中方程化简，令，则，再利用导数作出函数的图象，再利用已知条件和数形结合以及方程的根与函数与直线交点横坐标的等价关系，进而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，
又因为，
，
所以，回归直线方程为.
（2）解：由题意知，随机变量的可能取值为，
则，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则均值.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据平均数公式和最小二乘法，从而得出关于的回归直线方程.
（2）根据已知条件得出随机变量X的取值，再利用超几何分布求概率公式得出随机变量X的分布列，结合期望公式，从而得出随机变量X的均值.
（1），
，
.所以，回归直线方程为.
（2）由题意知随机变量的可能取值为，则：
，
，
，
，
X 0 1 2 3
P
故均值.
16．【答案】（1）解：如图，在中，设，
由题意知，，且，
由余弦定理，
代入得：，
化简得：，
则，
解得或，
由“点位于点的南偏西方向”，
可知点必在点的东北方向，
则的横坐标应大于的横坐标.
由点向东位移为米，
可得，则，
所以，只能取，
则山高米.
（2）解：由第（1）问知，山高米，
因为缆车在点处转换坡度，
所以，两段缆车各上升100米，
设第一段（倾斜角）的水平距离为，则，
第二段（倾斜角）的水平距离为，则，
所以，，
则，，
因此，山脚下缆车上车点到点的距离为：，
利用常用三角函数值，得：，
则
所以，山脚下缆车上车点到点的距离为米.
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设， 根据题意，在中结合余弦定理得出的值，再结合点位于点的南偏西方向，从而得出，进而得出山高的长.
（2）结合（1），设，，再利用正切函数的定义得出，，从而得出山脚下缆车上车点到点的距离为：，再结合两角差的正切公式计算可得答案.
（1）解：如图，在中，设，
由题意知，且，
由余弦定理，
代入得：
化简得：，即
解得或
由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，从而的横坐标应大于的横坐标.
由点向东位移为米，可得，即.
故只能取，所以山高米.
（2）解：由第（1）问知，山高米.
因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升100米.
设第一段（倾斜角）的水平距离为，即，
第二段（倾斜角）的水平距离为，即
则有：，，所以，；
因此，山脚下缆车上车点到点的距离为：
利用常用三角函数值：，
得
故山脚下缆车上车点到点的距离为米.
17．【答案】（1）解：因为圆，
所以，圆心，半径.
由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，即.
又因为直线与圆相切，所以，
解得或，
所以，直线的方程为或.
（2）证明：记点关于轴的对称点为，则，
因为反射光线所在直线经过点，且直线斜率存在，
设反射光线所在直线，即.
又因为圆的圆心为，半径，直线与圆相切，
则，
整理得，
则两条切线的斜率之积为，
所以，
则
.
【知识点】数列的求和；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再设直线的方程为，再由直线与圆相切位置关系可得，从而求解得出直线的斜率，进而得出直线的方程.
（2）设反射光线所在直线，由直线与圆相切位置关系得出，再由根与系数的关系可得，再利用裂项相消法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）圆，圆心，半径.
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，即.
由于直线与圆相切，所以，解得或，
所以直线的方程为或；
（2）记点关于轴的对称点为，则.
由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在，
设反射光线所在直线，即.
又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则，
整理得，
则两条切线的斜率之积.
所以，
.
18．【答案】（1）解：由题意，知，
解得，
∴椭圆C的标准方程为.
（2）解：翻折前，所在直线方程为，
联立，消得，，解得，
不妨设，
翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（3）解：设翻折前所在直线方程为，
联立，消得，，
设，（令），
由韦达定理，得，
翻折后，，
则，
所以，
则，
所以，，
则，
令，则，
所以.
令，
由对勾函数的性质，得函数在上单调递增，
则当时，取得最小值，为，此时取得最大值，
则的最大值为，此时，
解得，
则当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）当点在短轴端点时，面积最大，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式以及三角形的面积公式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）折叠前，将直线方程与椭圆方程联立，从而求出两点的坐标，折叠后建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值.
（3）将直线方程与椭圆方程联立得到两点坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，从而得出两点的坐标，利用三角形面积公式和对勾函数单调性求最值的方法，从而求出面积的最大值.
（1）由题意知，解得
∴椭圆C的标准方程为.
（2）翻折前，所在直线方程为，
联立，消得，解得，
不妨设，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
于是.
设异面直线与所成角为，
.
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设翻折前所在直线方程为，
联立，消得，
设（令），
由韦达定理有.
翻折后，，
故，
则，
所以，
于是.
所以，
令，有，于是.
令，由对勾函数的性质，
在上单调递增.
所以当时取得最小值，为，此时取得最大值，
的最大值为.此时，解得.
所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2.
19．【答案】（1）解：由，得.
当时，
所以，曲线在点处的切线方程为：，
由题意，则这条切线与曲线恰有一个公共点，
联立得，
整理为，
因为两曲线恰有一个公共点，
所以，该一元二次方程有两个相等实根，
则判别式，
所以，
则，
所以.
（2）解：因为
所以，
又因为，所以，
因此的符号由的符号决定，分情况讨论：
①当时，对任意，都有，
则，
所以，函数在区间上单调递增；
②当时，当时，，则；
当时，则，所以，
因此，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，函数的单调性为：
当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）解：由，
要使函数至少存在一个零点，
只需方程在上至少有一个解，
移项得，
设，
则问题转化为：求函数的值域，
将拆成两个函数：，
则.
先讨论的单调性，
因为所以，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，
再讨论的单调性，
因为，
所以，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值
因为与在区间上都单调递增，在区间上都单调递减，
所以，它们的和在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
则函数在处取得最大值，
所以，则.
因此，函数至少存在一个零点，当且仅当时，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和曲线结合已知条件，则根据判别式法得出实数a的值.
（2）由结合分类讨论的方法，则根据导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）要使函数至少存在一个零点，只需方程在上至少有一个解，
设，则将问题转化为求函数的值域可得出实数a的取值范围.
（1）由得.
当时.
所以，曲线在点处的切线方程为：.
由题意，这条切线与曲线恰有一个公共点.
联立得，整理为.
因为两曲线恰有一个公共点，所以该一元二次方程有两个相等实根，
故判别式.
于是，从而.
故.
（2）因为
所以.
由于，故，因此的符号由的符号决定.
分情况讨论：
①当时，对任意，都有，故.
所以函数在区间上单调递增.
②当时，当时，，故；
当时，，故.
因此，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增..
综上，函数的单调性为：
当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）由，
要使函数至少存在一个零点，只需方程在上至少有一个解.
移项得.设，
则问题转化为：求函数的值域.
将拆成两个函数：，则.
先讨论的单调性.因为.
所以：当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
因此，函数在处取得最大值.
再讨论的单调性.因为，
所以：当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
因此，函数在处取得最大值
由于与在区间上都单调递增，在区间上都单调递减，
所以它们的和在区间上单调递增，在区间上单调递减，
从而在处取得最大值.
于是故.
因此，函数至少存在一个零点，当且仅当.
所以.
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