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贵州省遵义市第十二中学2025-2026学年第二学期 一模学业水平质量监测九年级数学试题卷
1．当时，代数式的值等于（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，代数式．
故答案为：D
【分析】本题考查代数式求值，把给定的数值代入代数式，按照有理数加法运算规则直接计算即可得到结果。
2．五个小正方体堆成如图所示的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看的图形是三个正方形横着并排，即看到的图形如下：
故答案为：C
【分析】本题考查几何体的俯视图识别，俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形，只需确定从上方看到的正方形的数量和排列方式即可。
3．据统计，某日某搜索平台使用解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数，确定为9.54后，数出原数整数位数减1即为的值。
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2a3=a5，故A符合题意；
B、（a3）2=a6，故B不符合题意；
C、（2a）5=32a5，故C不符合题意；
D、a4+a4=2a4，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用合并同类项的法则，可对D作出判断.
5．下列调查中，最适宜采用普查的是（　　）
A．调查某河流的水污染情况
B．调查全国九年级中学生的睡眠情况
C．调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况
D．检查“神舟十八号”载人飞船的各零部件
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】∵ 普查适合对全部考察对象做全面检查，适用于要求结果绝对准确，无破坏性，必须排查每一个对象的场景．
A选项，调查河流污染范围广，无法完成全面普查，适合抽样调查．
B选项，全国九年级中学生数量多，范围大，适合抽样调查．
C选项，测试圆珠笔使用寿命具有破坏性，不能对所有产品进行测试，适合抽样调查．
D选项，载人飞船零部件必须保证全部合格，不能出现误差，需要对所有零部件逐一检查，因此最适宜采用普查．
故答案为：D
【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，普查适用于调查范围小、无破坏性、结果要求绝对准确的场景，抽样调查适用于范围广、有破坏性或工作量大的调查，结合各选项特点判断即可。
6．我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为，依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），先根据月平均增长率，用含的代数式分别表示出第二个月、第三个月的进馆人次，再依据前三个月进馆人次之和为1092列方程。
7．如图，，将一个直角三角板的两个锐角顶点放在直线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】本题考查平行线的性质与角的和差计算，过三角板直角顶点作平行于、的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，结合直角为，通过角的相减运算求出。
8．若方程的两个实数根分别是，则的值为（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个实数根分别是，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先由韦达定理得出和的值，再利用完全平方公式变形，代入数值计算。
9．如图，是的直径，是弦，连接，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】如图所示，连接
∵是的直径
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：B．
【分析】本题考查圆周角定理的推论，包括“直径所对的圆周角是直角”和“同弧所对的圆周角相等”。首先连接，因为是的直径，根据推论可知。在中，利用直角三角形两锐角互余，可求出。又因为和都是弧所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得。
10．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥底面半径，高，
由勾股定理得圆锥母线长．
∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，
设扇形圆心角度数为，
则，
解得：，
即圆心角度数为．
故答案为：C
【分析】本题考查圆锥侧面积相关计算，先用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，结合扇形弧长公式列方程，求解圆心角。
11．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∵为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
，
∴，即，
∴，
∴的面积．
故选：C．
【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质及三角形面积计算，先由正方形性质和中点条件得边长关系，用勾股定理算，再通过角的互余证，求出，最后用直角三角形面积公式计算。
12．如图，四边形中，，，，，．以为圆心，长为半径画弧交于点；又以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线交延长线于点，连接交于点，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
且
四边形是平行四边形
又
四边形是菱形
，
在中，，
过点作于点
，
四边形是矩形
在中，，
故答案为：B
【分析】本题考查尺规作图、菱形判定与性质、三角函数应用，由作图知平分，结合平行线性质证等腰，求出，再证四边形为菱形，得，利用三角函数算和，最终求。
13．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-3≥0
∴x≥3
故填：x≥3.
【分析】 由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
14．若为有理数，且，则　 　．
【答案】1
【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：1
【分析】本题考查非负数的性质及幂的运算，平方数和绝对值均为非负数，两个非负数和为0则各自为0，由此求出、的值，代入代数式计算，利用负数偶次幂为正得出结果。
15．如图，现有3张卡片，正面书写不同类型的变化，除此之外完全相同，把这3张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取1张卡片，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：“食物发霉”属于化学变化；“糖块融化”属于物理变化；“盐酸除锈”属于化学变化．
∴在这3张卡片中，属于化学变化的卡片有2张，
∴随机抽取1张卡片，是化学变化的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查概率计算，先判断每张卡片对应的变化类型，确定化学变化卡片数量，再根据概率公式计算。
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转到，
∴，
∵点是直线上的一个动点，
设
如图，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，即
令，
∴
∴点在直线上运动，当时，的值最小，
联立，解得：
∴
∴，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，即线段的最小值是．
【分析】本题考查坐标变换、全等三角形及点到直线距离，根据一次函数上的点设，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而得到，即，再结合一次函数求出点F，从而根据勾股定理的逆定理得到，再根据正切函数结合题意即可求解。
17．计算
（1）计算：
（2）先化简，再求值．，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）本题考查零指数幂、二次根式、特殊角三角函数及负整数指数幂运算，分别计算各项的值，再按有理数加减法则合并计算；
（2）本题考查分式化简求值，先对括号内分式通分计算，再约分简化式子，最后代入的值计算结果。
（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴原式．
18．如图，已知平行四边形，点E，F分别在，上，连接，．
（1）请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形是平行四边形．
条件①：E，F分别是，的中点；
条件②：．
（2）若平分，且，求平行四边形的周长．
【答案】（1）选择条件①．证法一：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
证法二：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵E，F分别是，的中点，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
∴，
．
又，
∴四边形是平行四边形．
选择条件②．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴平行四边形的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与性质，选①时，利用平行四边形对边平行且相等，结合中点性质得且；选②时，由角相等证，结合判定平行四边形；
（2）本题考查平行四边形性质与角平分线，由平行得内错角相等，结合角平分线证，得，算出后求周长。
（1）选择条件①．
证法一：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
证法二：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵E，F分别是，的中点，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
∴，
．
又，
∴四边形是平行四边形．
选择条件②．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴平行四边形的周长．
19．随着人工智能（简称：）的发展，智能手机成为我们生活中最得力的助手和伙伴，为我们提供了便捷的信息获取方式、高效的工作工具和多样的娱乐选择，然而，在享受这些便利的同时，我们也逐渐面临着视力下降的问题．为此，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为：“非常重视”、“重视”、“比较重视”、“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_____，并补全条形统计图．
（2）学校安排专业人员检测了样本数据中“不重视”组别全部学生的视力情况（满分），结果如表，计算该组别同学视力情况的平均值．
视力情况
人数 6 5 4 1
（3）已知该校参与调查的学生中，“非常重视”视力保护的有4人，其中男生2人，女生2人．从这4名“非常重视”的学生中随机抽取2人参加视力保护宣传活动，用树状图或者列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）重视人数：．
补全条形统计图如图：
（2）解：．
答：该组别同学视力情况的平均值为．
（3）解：画树状图如图
共12种等可能性结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8次，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：参与调查的学生数（人），
比较重视人占参与调查的学生数的百分数：，
比较重视人所对应的圆心角：
【分析】（1）本题考查统计图表的应用，由“不重视”人数和占比求总人数，算出“比较重视”占比后乘得圆心角，再算“重视”人数补全条形图；
（2）本题考查加权平均数计算，用视力数值乘对应人数求和，再除以总人数得到平均值；
（3）本题考查概率计算（树状图/列表法），列出所有抽取结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式计算。
（1）解：参与调查的学生数（人），
比较重视人占参与调查的学生数的百分数：，
比较重视人所对应的圆心角：
重视人数：．
补全条形统计图如图：
（2）解：．
答：该组别同学视力情况的平均值为．
（3）解：画树状图如图
共12种等可能性结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8次，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
20．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场暴风雨过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角米．
（1）求的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到米）．
（参考数据：）
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点P，如图
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴这棵大树折断前的高度为（米）．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）本题考查三角形内角和及角度计算，由算出，再用平角减去已知两角得；
（2）本题考查解直角三角形，过作，用三角函数算、，求出，再算、，最后将三段长度相加得高度。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点P，如图
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴这棵大树折断前的高度为（米）．
21．心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）．
（1）求段反比例函数的解析式；
（2）开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
【答案】（1）解：设段反比例函数解析式为 ，把点 代入得 ，解得 ，
∴段反比例函数解析式为： ；
（2）解： 设段解析式为 ，
把，，代入得 ，解得 ，
即段解析式为 ，
把，代入段解析式得 ，
把，代入段解析式得 ，
因为 ，
因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）本题考查反比例函数解析式求解，设反比例函数，将点坐标代入求出，确定解析式并标注定义域；
（2）本题考查一次函数与反比例函数的应用，先求段一次函数解析式，分别代入和算对应值，比较大小判断注意力集中程度。
（1）解：设段反比例函数解析式为 ，
把点 代入得 ，解得 ，
∴段反比例函数解析式为： ；
（2）解： 设段解析式为 ，
把，，代入得 ，解得 ，
即段解析式为 ，
把，代入段解析式得 ，
把，代入段解析式得 ，
因为 ，
因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中．
22．2020年是极不平凡的一年，全国980多万绝对贫困人口按时脱贫．某校在扶贫中计划选购甲、乙两种化肥帮扶贫困户，已知甲种化肥的单价比乙种化肥的单价高10元，且用500元单独购买甲种化肥与用450元单独购买乙种化肥的数量相同．
（1）求甲、乙两种化肥的单价各是多少元？
（2）如果该校计划购买甲、乙两种化肥共55袋，总费用不少于5000元且不超过5050元，请通过计算得出共有几种选购方案？选择哪种方案更省钱？
【答案】（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；
（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买袋，由题意得，
解得，
y可取5、6、7、8、9、10，
∴共有6种方案．
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，总费用最少为5000元．
此时，购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋．
【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设乙种化肥单价为元，甲为元，根据购买数量相同列分式方程，求解并检验；
（2）本题考查一元一次不等式组与一次函数应用，设购买甲种化肥袋，列不等式组求的整数解，确定方案数；再列总费用关于的一次函数，根据函数增减性求最省钱方案。
（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；
（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买袋，
由题意得，
解得，
y可取5、6、7、8、9、10，
∴共有6种方案．
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，总费用最少为5000元．
此时，购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋．
23．如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：四边形是矩形，理由如下所示：依题意，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
（3）解：连接，∴，
设，
由（1）得，
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴（舍），
∴．
【知识点】矩形的判定；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，连接、，由直径性质得，结合等腰三角形性质和角的互余，证，判定切线；
（2）本题考查矩形的判定，补全图形后，由直径性质得两个直角，结合平行线性质证第三个角为直角，根据三个角为直角判定四边形为矩形；
（3）本题考查相似三角形判定与性质，连接，证，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解。
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：四边形是矩形，理由如下所示：
依题意，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
（3）解：连接，
∴，
设，
由（1）得，
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴（舍），
∴．
24．同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线、如图、正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为6米，到地面的距离与均为1米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式．
（2）如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由．
（3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学离点的水平距离的取值范围．请说明理由．
【答案】（1）解：依题意得：，，最高点纵坐标为，
，，
绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
点是该抛物线的顶点，横坐标应为，
，
设抛物线的函数表达式为，
将代入可得，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：能，理由如下：
依题意得，小明所站位置的横坐标为，
将代入得，，
绳子能刚好甩过他的头顶上方，
当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子能刚好甩过他的头顶上方．
（3）解：当时，即，
解得，，
可以站立跳绳的距离范围为，
人队伍的总长度为，
左边第一位同学离点的水平距离需满足，，
综合可得，的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本题考查抛物线解析式求解，由题意确定顶点和点坐标，设顶点式解析式，代入点坐标求系数，确定解析式；
（2）本题考查二次函数的应用，将代入解析式求对应值，计算值与小明身高的差，和0.6m比较判断；
（3）本题考查二次函数与不等式应用，令解方程得范围，算出10人队伍总长度，结合范围列不等式，求的取值范围。
（1）解：依题意得：，，最高点纵坐标为，
，，
绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
点是该抛物线的顶点，横坐标应为，
，
设抛物线的函数表达式为，
将代入可得，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：能，理由如下：
依题意得，小明所站位置的横坐标为，
将代入得，，
绳子能刚好甩过他的头顶上方，
当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子能刚好甩过他的头顶上方．
（3）解：当时，即，
解得，，
可以站立跳绳的距离范围为，
人队伍的总长度为，
左边第一位同学离点的水平距离需满足，，
综合可得，的取值范围是．
25．在中，，点为射线上一动点（不与点，重合），作，并交射线于点，连接．
（1）【操作发现】如图（1），当时，过点作，交于点．
①请补全图形；
②的数量关系为___________；
（2）【类比探究】如图（2），当，且点在线段上时，探究：线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】当，过点作于点，若，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2），理由如下：
如图所示，将线段绕点逆时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：①补全图形如下：
②，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
；
（3）第一种情况：点在线段上时，由（2）可知，
，，
，
；
第二种情况：点在线段的延长线上时，
如图所示，将线段绕点顺时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）本题考查全等三角形判定与性质，①按要求补全辅助线图形；②由等腰直角三角形性质证，得；
（2）本题考查旋转性质与解直角三角形，将绕逆时针旋转120°，证三角形全等得，结合等腰三角形性质算，推导线段关系；
（3）本题考查分类讨论与勾股定理，分在线段上和延长线上两种情况，结合（2）的结论，用勾股定理算相关线段，求出的两个值。
（1）解：①补全图形如下：
②，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
；
（2），理由如下：
如图所示，将线段绕点逆时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（3）第一种情况：点在线段上时，由（2）可知，
，，
，
；
第二种情况：点在线段的延长线上时，
如图所示，将线段绕点顺时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
1 / 1贵州省遵义市第十二中学2025-2026学年第二学期 一模学业水平质量监测九年级数学试题卷
1．当时，代数式的值等于（　　）
A． B．1 C．2 D．3
2．五个小正方体堆成如图所示的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．据统计，某日某搜索平台使用解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列调查中，最适宜采用普查的是（　　）
A．调查某河流的水污染情况
B．调查全国九年级中学生的睡眠情况
C．调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况
D．检查“神舟十八号”载人飞船的各零部件
6．我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为，依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，，将一个直角三角板的两个锐角顶点放在直线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．若方程的两个实数根分别是，则的值为（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
9．如图，是的直径，是弦，连接，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
12．如图，四边形中，，，，，．以为圆心，长为半径画弧交于点；又以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线交延长线于点，连接交于点，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．
13．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　.
14．若为有理数，且，则　 　．
15．如图，现有3张卡片，正面书写不同类型的变化，除此之外完全相同，把这3张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取1张卡片，则这张卡片呈现的变化是化学变化的概率是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是　 　．
17．计算
（1）计算：
（2）先化简，再求值．，其中．
18．如图，已知平行四边形，点E，F分别在，上，连接，．
（1）请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形是平行四边形．
条件①：E，F分别是，的中点；
条件②：．
（2）若平分，且，求平行四边形的周长．
19．随着人工智能（简称：）的发展，智能手机成为我们生活中最得力的助手和伙伴，为我们提供了便捷的信息获取方式、高效的工作工具和多样的娱乐选择，然而，在享受这些便利的同时，我们也逐渐面临着视力下降的问题．为此，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为：“非常重视”、“重视”、“比较重视”、“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_____，并补全条形统计图．
（2）学校安排专业人员检测了样本数据中“不重视”组别全部学生的视力情况（满分），结果如表，计算该组别同学视力情况的平均值．
视力情况
人数 6 5 4 1
（3）已知该校参与调查的学生中，“非常重视”视力保护的有4人，其中男生2人，女生2人．从这4名“非常重视”的学生中随机抽取2人参加视力保护宣传活动，用树状图或者列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场暴风雨过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角米．
（1）求的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到米）．
（参考数据：）
21．心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）．
（1）求段反比例函数的解析式；
（2）开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
22．2020年是极不平凡的一年，全国980多万绝对贫困人口按时脱贫．某校在扶贫中计划选购甲、乙两种化肥帮扶贫困户，已知甲种化肥的单价比乙种化肥的单价高10元，且用500元单独购买甲种化肥与用450元单独购买乙种化肥的数量相同．
（1）求甲、乙两种化肥的单价各是多少元？
（2）如果该校计划购买甲、乙两种化肥共55袋，总费用不少于5000元且不超过5050元，请通过计算得出共有几种选购方案？选择哪种方案更省钱？
23．如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）若，求的长．
24．同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线、如图、正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为6米，到地面的距离与均为1米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式．
（2）如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由．
（3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学离点的水平距离的取值范围．请说明理由．
25．在中，，点为射线上一动点（不与点，重合），作，并交射线于点，连接．
（1）【操作发现】如图（1），当时，过点作，交于点．
①请补全图形；
②的数量关系为___________；
（2）【类比探究】如图（2），当，且点在线段上时，探究：线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】当，过点作于点，若，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，代数式．
故答案为：D
【分析】本题考查代数式求值，把给定的数值代入代数式，按照有理数加法运算规则直接计算即可得到结果。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看的图形是三个正方形横着并排，即看到的图形如下：
故答案为：C
【分析】本题考查几何体的俯视图识别，俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形，只需确定从上方看到的正方形的数量和排列方式即可。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数，确定为9.54后，数出原数整数位数减1即为的值。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2a3=a5，故A符合题意；
B、（a3）2=a6，故B不符合题意；
C、（2a）5=32a5，故C不符合题意；
D、a4+a4=2a4，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用合并同类项的法则，可对D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】∵ 普查适合对全部考察对象做全面检查，适用于要求结果绝对准确，无破坏性，必须排查每一个对象的场景．
A选项，调查河流污染范围广，无法完成全面普查，适合抽样调查．
B选项，全国九年级中学生数量多，范围大，适合抽样调查．
C选项，测试圆珠笔使用寿命具有破坏性，不能对所有产品进行测试，适合抽样调查．
D选项，载人飞船零部件必须保证全部合格，不能出现误差，需要对所有零部件逐一检查，因此最适宜采用普查．
故答案为：D
【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，普查适用于调查范围小、无破坏性、结果要求绝对准确的场景，抽样调查适用于范围广、有破坏性或工作量大的调查，结合各选项特点判断即可。
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），先根据月平均增长率，用含的代数式分别表示出第二个月、第三个月的进馆人次，再依据前三个月进馆人次之和为1092列方程。
7．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】本题考查平行线的性质与角的和差计算，过三角板直角顶点作平行于、的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，结合直角为，通过角的相减运算求出。
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个实数根分别是，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先由韦达定理得出和的值，再利用完全平方公式变形，代入数值计算。
9．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】如图所示，连接
∵是的直径
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：B．
【分析】本题考查圆周角定理的推论，包括“直径所对的圆周角是直角”和“同弧所对的圆周角相等”。首先连接，因为是的直径，根据推论可知。在中，利用直角三角形两锐角互余，可求出。又因为和都是弧所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥底面半径，高，
由勾股定理得圆锥母线长．
∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，
设扇形圆心角度数为，
则，
解得：，
即圆心角度数为．
故答案为：C
【分析】本题考查圆锥侧面积相关计算，先用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，结合扇形弧长公式列方程，求解圆心角。
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∵为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
，
∴，即，
∴，
∴的面积．
故选：C．
【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质及三角形面积计算，先由正方形性质和中点条件得边长关系，用勾股定理算，再通过角的互余证，求出，最后用直角三角形面积公式计算。
12．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
且
四边形是平行四边形
又
四边形是菱形
，
在中，，
过点作于点
，
四边形是矩形
在中，，
故答案为：B
【分析】本题考查尺规作图、菱形判定与性质、三角函数应用，由作图知平分，结合平行线性质证等腰，求出，再证四边形为菱形，得，利用三角函数算和，最终求。
13．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-3≥0
∴x≥3
故填：x≥3.
【分析】 由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
14．【答案】1
【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：1
【分析】本题考查非负数的性质及幂的运算，平方数和绝对值均为非负数，两个非负数和为0则各自为0，由此求出、的值，代入代数式计算，利用负数偶次幂为正得出结果。
15．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：“食物发霉”属于化学变化；“糖块融化”属于物理变化；“盐酸除锈”属于化学变化．
∴在这3张卡片中，属于化学变化的卡片有2张，
∴随机抽取1张卡片，是化学变化的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查概率计算，先判断每张卡片对应的变化类型，确定化学变化卡片数量，再根据概率公式计算。
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转到，
∴，
∵点是直线上的一个动点，
设
如图，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，即
令，
∴
∴点在直线上运动，当时，的值最小，
联立，解得：
∴
∴，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，即线段的最小值是．
【分析】本题考查坐标变换、全等三角形及点到直线距离，根据一次函数上的点设，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而得到，即，再结合一次函数求出点F，从而根据勾股定理的逆定理得到，再根据正切函数结合题意即可求解。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）本题考查零指数幂、二次根式、特殊角三角函数及负整数指数幂运算，分别计算各项的值，再按有理数加减法则合并计算；
（2）本题考查分式化简求值，先对括号内分式通分计算，再约分简化式子，最后代入的值计算结果。
（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴原式．
18．【答案】（1）选择条件①．证法一：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
证法二：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵E，F分别是，的中点，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
∴，
．
又，
∴四边形是平行四边形．
选择条件②．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴平行四边形的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与性质，选①时，利用平行四边形对边平行且相等，结合中点性质得且；选②时，由角相等证，结合判定平行四边形；
（2）本题考查平行四边形性质与角平分线，由平行得内错角相等，结合角平分线证，得，算出后求周长。
（1）选择条件①．
证法一：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
证法二：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵E，F分别是，的中点，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
∴，
．
又，
∴四边形是平行四边形．
选择条件②．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴平行四边形的周长．
19．【答案】（1）重视人数：．
补全条形统计图如图：
（2）解：．
答：该组别同学视力情况的平均值为．
（3）解：画树状图如图
共12种等可能性结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8次，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：参与调查的学生数（人），
比较重视人占参与调查的学生数的百分数：，
比较重视人所对应的圆心角：
【分析】（1）本题考查统计图表的应用，由“不重视”人数和占比求总人数，算出“比较重视”占比后乘得圆心角，再算“重视”人数补全条形图；
（2）本题考查加权平均数计算，用视力数值乘对应人数求和，再除以总人数得到平均值；
（3）本题考查概率计算（树状图/列表法），列出所有抽取结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式计算。
（1）解：参与调查的学生数（人），
比较重视人占参与调查的学生数的百分数：，
比较重视人所对应的圆心角：
重视人数：．
补全条形统计图如图：
（2）解：．
答：该组别同学视力情况的平均值为．
（3）解：画树状图如图
共12种等可能性结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8次，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点P，如图
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴这棵大树折断前的高度为（米）．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）本题考查三角形内角和及角度计算，由算出，再用平角减去已知两角得；
（2）本题考查解直角三角形，过作，用三角函数算、，求出，再算、，最后将三段长度相加得高度。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点P，如图
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
∴这棵大树折断前的高度为（米）．
21．【答案】（1）解：设段反比例函数解析式为 ，把点 代入得 ，解得 ，
∴段反比例函数解析式为： ；
（2）解： 设段解析式为 ，
把，，代入得 ，解得 ，
即段解析式为 ，
把，代入段解析式得 ，
把，代入段解析式得 ，
因为 ，
因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）本题考查反比例函数解析式求解，设反比例函数，将点坐标代入求出，确定解析式并标注定义域；
（2）本题考查一次函数与反比例函数的应用，先求段一次函数解析式，分别代入和算对应值，比较大小判断注意力集中程度。
（1）解：设段反比例函数解析式为 ，
把点 代入得 ，解得 ，
∴段反比例函数解析式为： ；
（2）解： 设段解析式为 ，
把，，代入得 ，解得 ，
即段解析式为 ，
把，代入段解析式得 ，
把，代入段解析式得 ，
因为 ，
因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中．
22．【答案】（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；
（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买袋，由题意得，
解得，
y可取5、6、7、8、9、10，
∴共有6种方案．
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，总费用最少为5000元．
此时，购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋．
【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设乙种化肥单价为元，甲为元，根据购买数量相同列分式方程，求解并检验；
（2）本题考查一元一次不等式组与一次函数应用，设购买甲种化肥袋，列不等式组求的整数解，确定方案数；再列总费用关于的一次函数，根据函数增减性求最省钱方案。
（1）解：设甲种化肥的单价为x元，则乙种化肥的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种化肥的单价为100元，乙种化肥的单价为90元；
（2）设甲种化肥购买y袋，乙种化肥购买袋，
由题意得，
解得，
y可取5、6、7、8、9、10，
∴共有6种方案．
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，总费用最少为5000元．
此时，购进甲种化肥5袋，乙种化肥50袋．
23．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：四边形是矩形，理由如下所示：依题意，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
（3）解：连接，∴，
设，
由（1）得，
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴（舍），
∴．
【知识点】矩形的判定；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，连接、，由直径性质得，结合等腰三角形性质和角的互余，证，判定切线；
（2）本题考查矩形的判定，补全图形后，由直径性质得两个直角，结合平行线性质证第三个角为直角，根据三个角为直角判定四边形为矩形；
（3）本题考查相似三角形判定与性质，连接，证，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解。
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：四边形是矩形，理由如下所示：
依题意，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
（3）解：连接，
∴，
设，
由（1）得，
∵四边形是的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴（舍），
∴．
24．【答案】（1）解：依题意得：，，最高点纵坐标为，
，，
绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
点是该抛物线的顶点，横坐标应为，
，
设抛物线的函数表达式为，
将代入可得，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：能，理由如下：
依题意得，小明所站位置的横坐标为，
将代入得，，
绳子能刚好甩过他的头顶上方，
当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子能刚好甩过他的头顶上方．
（3）解：当时，即，
解得，，
可以站立跳绳的距离范围为，
人队伍的总长度为，
左边第一位同学离点的水平距离需满足，，
综合可得，的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本题考查抛物线解析式求解，由题意确定顶点和点坐标，设顶点式解析式，代入点坐标求系数，确定解析式；
（2）本题考查二次函数的应用，将代入解析式求对应值，计算值与小明身高的差，和0.6m比较判断；
（3）本题考查二次函数与不等式应用，令解方程得范围，算出10人队伍总长度，结合范围列不等式，求的取值范围。
（1）解：依题意得：，，最高点纵坐标为，
，，
绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
点是该抛物线的顶点，横坐标应为，
，
设抛物线的函数表达式为，
将代入可得，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：能，理由如下：
依题意得，小明所站位置的横坐标为，
将代入得，，
绳子能刚好甩过他的头顶上方，
当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子能刚好甩过他的头顶上方．
（3）解：当时，即，
解得，，
可以站立跳绳的距离范围为，
人队伍的总长度为，
左边第一位同学离点的水平距离需满足，，
综合可得，的取值范围是．
25．【答案】（1）
（2），理由如下：
如图所示，将线段绕点逆时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：①补全图形如下：
②，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
；
（3）第一种情况：点在线段上时，由（2）可知，
，，
，
；
第二种情况：点在线段的延长线上时，
如图所示，将线段绕点顺时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）本题考查全等三角形判定与性质，①按要求补全辅助线图形；②由等腰直角三角形性质证，得；
（2）本题考查旋转性质与解直角三角形，将绕逆时针旋转120°，证三角形全等得，结合等腰三角形性质算，推导线段关系；
（3）本题考查分类讨论与勾股定理，分在线段上和延长线上两种情况，结合（2）的结论，用勾股定理算相关线段，求出的两个值。
（1）解：①补全图形如下：
②，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
；
（2），理由如下：
如图所示，将线段绕点逆时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（3）第一种情况：点在线段上时，由（2）可知，
，，
，
；
第二种情况：点在线段的延长线上时，
如图所示，将线段绕点顺时针旋转交于点，
，，
，即，
，，
，
，，
过点作于，
，，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
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