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广东东莞市东坑中学等校2025-2026学年度第二学期期中教学质量自查 七年级数学
1．下列各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列四个选项的实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．3
3．下列式子中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．在下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（　　）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为16时，输出的y值是（　　）
A． B．2 C．4 D．8
9．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
11．请写出一个大于零小于2的无理数　 　（写出一个即可）；
12．已知方程，用含的式子表示为　 　．
13．若x，y为实数，且，则xy＝　 　．
14．如图，将三角形沿向右平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，四边形的周长是，则平移的距离是　 　cm．
15．石景山观光索道位于珠海市香洲区吉大海滨北路景山公园内，在两座山之间架设的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则　 　°．
16．如图，将长为3的长方形放在平面直角坐标系中，若轴，点，则点A的坐标为　 　．
17．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是　 　°．
18．计算：
19．解方程组：
解：解法一：由①，得．③
将③代入①，得，即，
所以原方程组无解．
解法二：由①，得．③
将③代入②，得，
解得．
将代入③，得．
上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点的坐标是．
（1）点的坐标是______，点的坐标是______；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到．请画出，并直接写出点的坐标．
21．已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求b2﹣a2的平方根．
22．请将下面的解答过程补充完整．
如图，已知，试判断与的大小关系，并说明理由．
解：与的大小关系是___________，理由如下：
（已知）
（___________）
（等量代换）
（___________）
___________（两直线平行，内错角相等）
（已知）___________（等量代换）
（___________），
（___________）
23．如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子．
（1）如图，，，，求的度数；
（2）聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数．
24．【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______；
（2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由．
25．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，只有D选项中与是对顶角，
故选：D．
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，把有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此逐项分析判断，即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：在这四个数中，是无理数，
故选：C．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、∵，是二元一次方程，∴A符合题意；
B、∵，只有1个未知数，是一元一次方程，∴B不符合题意；
C、∵，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，∴C不符合题意；
D、∵，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，∴D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D.
【分析】本题考查了平方根与算数平方根的区别，A选项是考查的是平方根，B、C选项考查的是算术平方根，D选项考查的事二次根式的化简。此题属于中考常考题型.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、在第二象限，不符合题意；
B、在第一象限，不符合题意；
C、在第三象限，不符合题意；
D、在第四象限，符合题意．
故选：D．
【分析】根据点的坐标与象限的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知建在点C处，汽车站离村庄最近，
故选：C．
【分析】本题考查了垂线的性质，其中经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此定义，结合图形，即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：是有理数，
是有理数，
是无理数，
∴当输入的x的值为16时，输出的y值是吗，
故选：A．
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，先把16作为输入的数，计算其算术平方根，若结果为无理数则输出，若结果为有理数则把算术平方根重新作为新数输入，直至算术平方根是无理数，即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：若“勾”为，“股”为，则，
，
，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在点，
故选：C．
【分析】根据勾股定理弦长，再估算无理数的范围即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
∴点移动时横坐标的规律为第次，横坐标为，纵坐标的规律为的循环，
∴第2025次运动后，横坐标为，
，
∴纵坐标为，
∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是．
故答案为：B
【分析】根据前3次点的平移，总结规律即可求出答案.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
写出一个大于零小于2的无理数是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
移项得：，
∴．
故答案为：
【分析】根据等式的性质化简即可求出答案.
13．【答案】-6
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x-3=0且y+2=0，解得x=3，y=-2.
∴xy=-6.
故答案为：-6.
【分析】先根据非负数的和等于0，求出x，y，再代入求值.
14．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
即，
∴，解得，
即平移的距离为．
故答案为：2．
【分析】根据平移性质可得，，再根据三角形，四边形周长即可求出答案.
15．【答案】120
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120
【分析】作，则，再根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点，
∴轴
∴点A的纵坐标为3
∵长方形的长为3
∴
∴点A的横坐标为
∴点A的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据平移与x轴的直线上点的坐标特征可得点A的纵坐标为3，再根据长方形性质即可求出答案.
17．【答案】105
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；邻补角；内错角的概念
【解析】【解答】解：由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为：105°.
【分析】先求出∠EFC=155°，再求出∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°，最后利用角的运算求出∠CFE=130°-25°=105°即可.
18．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，算术平方根性质，绝对值性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
19．【答案】解：上面的两种解答均不正确．理由如下：
解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②．
解法二：最后没有写出方程组的解．
正确的解答过程如下：
由①，得③
将③代入②，得，解得．
将代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法解方程组即可求出答案.
20．【答案】（1）；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；
，
∴．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：根据的位置可得：；；
故答案为：；
【分析】（1）根据点的位置求出点的坐标即可.
（2）根据平移性质作图即可.
（1）解：根据的位置可得：；；
（2）如图，即为所求作的三角形；
，
∴．
21．【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】开平方（求平方根）；算术平方根的实际应用；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根的性质可得a，b值.
（1）将a，b代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
22．【答案】解：与的大小关系是相等，理由如下：
（已知）
（对顶角相等）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（已知），
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；∠ADE；∠B=∠ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
23．【答案】（1）解：如图，过点作，
因为，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以；
（2）解：如图，过点作，过点作，
因为，
所以，
所以，，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点作，根据补角可得∠BPN，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，
因为，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以；
（2）解：如图，过点作，过点作，
因为，
所以，
所以，，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以．
24．【答案】解：（1）；
（2）；
理由如下：
，，
，
，，
，
，
；
（3）．
理由如下：
，
，
，
，
，
又，
．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
；
故答案为：．
【分析】本题以三角板摆放为背景，综合考查平行线的判定与性质、角度的计算与转化。
（1）利用平行线性质结合三角板已知角度，通过角的差运算求解；
（2）根据已知角度求出同旁内角，再依据“同旁内角互补，两直线平行”判断平行关系；
（3）借助平行线性质建立角之间的等式关系，再结合邻补角进行推导，得出 PAB 与MCA 的数量关系。
25．【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
【分析】
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义可得关于a、b的方程，解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
1 / 1广东东莞市东坑中学等校2025-2026学年度第二学期期中教学质量自查 七年级数学
1．下列各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，只有D选项中与是对顶角，
故选：D．
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，把有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此逐项分析判断，即可得到答案．
2．下列四个选项的实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．3
【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：在这四个数中，是无理数，
故选：C．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
3．下列式子中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、∵，是二元一次方程，∴A符合题意；
B、∵，只有1个未知数，是一元一次方程，∴B不符合题意；
C、∵，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，∴C不符合题意；
D、∵，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，∴D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
4．在下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D.
【分析】本题考查了平方根与算数平方根的区别，A选项是考查的是平方根，B、C选项考查的是算术平方根，D选项考查的事二次根式的化简。此题属于中考常考题型.
5．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、在第二象限，不符合题意；
B、在第一象限，不符合题意；
C、在第三象限，不符合题意；
D、在第四象限，符合题意．
故选：D．
【分析】根据点的坐标与象限的关系即可求出答案.
6．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（　　）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知建在点C处，汽车站离村庄最近，
故选：C．
【分析】本题考查了垂线的性质，其中经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此定义，结合图形，即可得到答案.
8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为16时，输出的y值是（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：是有理数，
是有理数，
是无理数，
∴当输入的x的值为16时，输出的y值是吗，
故选：A．
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，先把16作为输入的数，计算其算术平方根，若结果为无理数则输出，若结果为有理数则把算术平方根重新作为新数输入，直至算术平方根是无理数，即可得到答案.
9．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：若“勾”为，“股”为，则，
，
，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在点，
故选：C．
【分析】根据勾股定理弦长，再估算无理数的范围即可求出答案.
10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
∴点移动时横坐标的规律为第次，横坐标为，纵坐标的规律为的循环，
∴第2025次运动后，横坐标为，
，
∴纵坐标为，
∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是．
故答案为：B
【分析】根据前3次点的平移，总结规律即可求出答案.
11．请写出一个大于零小于2的无理数　 　（写出一个即可）；
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
写出一个大于零小于2的无理数是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
12．已知方程，用含的式子表示为　 　．
【答案】
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：，
移项得：，
∴．
故答案为：
【分析】根据等式的性质化简即可求出答案.
13．若x，y为实数，且，则xy＝　 　．
【答案】-6
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x-3=0且y+2=0，解得x=3，y=-2.
∴xy=-6.
故答案为：-6.
【分析】先根据非负数的和等于0，求出x，y，再代入求值.
14．如图，将三角形沿向右平移得到三角形，连接，若三角形的周长是，四边形的周长是，则平移的距离是　 　cm．
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
即，
∴，解得，
即平移的距离为．
故答案为：2．
【分析】根据平移性质可得，，再根据三角形，四边形周长即可求出答案.
15．石景山观光索道位于珠海市香洲区吉大海滨北路景山公园内，在两座山之间架设的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则　 　°．
【答案】120
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：120
【分析】作，则，再根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
16．如图，将长为3的长方形放在平面直角坐标系中，若轴，点，则点A的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点，
∴轴
∴点A的纵坐标为3
∵长方形的长为3
∴
∴点A的横坐标为
∴点A的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据平移与x轴的直线上点的坐标特征可得点A的纵坐标为3，再根据长方形性质即可求出答案.
17．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是　 　°．
【答案】105
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；邻补角；内错角的概念
【解析】【解答】解：由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为：105°.
【分析】先求出∠EFC=155°，再求出∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°，最后利用角的运算求出∠CFE=130°-25°=105°即可.
18．计算：
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，算术平方根性质，绝对值性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
19．解方程组：
解：解法一：由①，得．③
将③代入①，得，即，
所以原方程组无解．
解法二：由①，得．③
将③代入②，得，
解得．
将代入③，得．
上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．
【答案】解：上面的两种解答均不正确．理由如下：
解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②．
解法二：最后没有写出方程组的解．
正确的解答过程如下：
由①，得③
将③代入②，得，解得．
将代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法解方程组即可求出答案.
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点的坐标是．
（1）点的坐标是______，点的坐标是______；
（2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到．请画出，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；
，
∴．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：根据的位置可得：；；
故答案为：；
【分析】（1）根据点的位置求出点的坐标即可.
（2）根据平移性质作图即可.
（1）解：根据的位置可得：；；
（2）如图，即为所求作的三角形；
，
∴．
21．已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求b2﹣a2的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】开平方（求平方根）；算术平方根的实际应用；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根的性质可得a，b值.
（1）将a，b代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
22．请将下面的解答过程补充完整．
如图，已知，试判断与的大小关系，并说明理由．
解：与的大小关系是___________，理由如下：
（已知）
（___________）
（等量代换）
（___________）
___________（两直线平行，内错角相等）
（已知）___________（等量代换）
（___________），
（___________）
【答案】解：与的大小关系是相等，理由如下：
（已知）
（对顶角相等）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（已知），
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；∠ADE；∠B=∠ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
23．如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子．
（1）如图，，，，求的度数；
（2）聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数．
【答案】（1）解：如图，过点作，
因为，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以；
（2）解：如图，过点作，过点作，
因为，
所以，
所以，，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点作，根据补角可得∠BPN，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，
因为，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以；
（2）解：如图，过点作，过点作，
因为，
所以，
所以，，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以．
24．【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______；
（2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由．
【答案】解：（1）；
（2）；
理由如下：
，，
，
，，
，
，
；
（3）．
理由如下：
，
，
，
，
，
又，
．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
；
故答案为：．
【分析】本题以三角板摆放为背景，综合考查平行线的判定与性质、角度的计算与转化。
（1）利用平行线性质结合三角板已知角度，通过角的差运算求解；
（2）根据已知角度求出同旁内角，再依据“同旁内角互补，两直线平行”判断平行关系；
（3）借助平行线性质建立角之间的等式关系，再结合邻补角进行推导，得出 PAB 与MCA 的数量关系。
25．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
【分析】
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义可得关于a、b的方程，解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
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