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广东东莞市东莞市寮步中学2025-2026学年 八年级 第二学期数学科期中考试 试卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．， B．3，4，6 C．5，12，13 D．6，8，15
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对边相等 D．对角线相等
5．如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠DAE 的角度为(　　)
A．25° B．35° C．45° D．55°
6．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
7．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（　　）
A． B． C．平分 D．
8．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（　　）．
A．12 B．13 C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
10．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．5
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为　 　．
13．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图，的对角线、相交于点O，的周长为29，且，则的长度为　 　．
15．如图，在菱形中，，，点E，F分别在边，上，且，则的最小值是　 　．
16．计算：．
17．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．
18．如图，在中，E，F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形为平行四边形．
19．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
（1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
20．如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
21．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，，，AB＝2AC＝2，则四边形ACDE的面积为　 　．
22．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线上P点处，转轴B到地面的距离．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将她从A处摆动后的坐标记为．
（1）当时，求到的距离；
（2）当静静秋千位于A'处时，她忽然发现一只小狗趴在D点位置，小狗高度，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？
23．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接．
（1）判断与的关系并证明；
（2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______．
24．【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容：
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）．
（1）请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明____________，从而可得，请写出证明过程．
【类比探究】
（2）如图（1），若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：；
【拓展探究】
（3）如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，被开方数含分母不是整数，不是最简二次根式，A不符合题意；
B．能开得尽方，不是最简二次根式，B不符合题意；
C．被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不符合题意；
D．，是最简二次根式，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是整数，，不是勾股数，不符合题意；
B、，则3，4，6不是勾股数，不符合题意；
C、，5，12，13是勾股数，符合题意；
D、，不能构成三角形，则6，8，15不是勾股数，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：对选项A： ， A错误；
对选项B：，， B错误；
对选项C：， C错误；
对选项D：，， D正确.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；
菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；
故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【分析】根据矩形，菱形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠D=∠B=55°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°－55°=35°.
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质可得∠D，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得
解得：
故答案为：C.
【分析】设这个多边形的边数为n，则其内角和为180°（n-2），而任何多边形的外角和都是360°，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求；
对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求；
对于C选项，如图，
平分，
，
又∵，
，
可得，
，可知平行四边形是菱形，不符合要求；
对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求.
故答案为：D
【分析】结合菱形、矩形的判定定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，，作于；
∵底面周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】将圆柱侧面图展开，作于，根据边之间的关系，结合勾股定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作轴于，如图，
，，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
正方形的面积为25．
故选：B．
【分析】作轴于，根据两点间距离可得AE，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∵D是的中点，，
∴．
故答案为：A
【分析】延长交于F，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
.
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
12．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OB=2，
∴AC＝2BO＝4，
又∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴．
故答案为：．
【分析】由矩形的性质"矩形的对角线相等且互相平分"可得AC=2OB求出AC的值，在Rt△ABC中，根据含30°角的直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”即可求解．
13．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：24
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
14．【答案】11
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：是平行四边形，
，，，
的周长为29，即：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：11
【分析】根据平行四边形性质可得，，，根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，如图所示：
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴由垂线段最短可知当时，最小，即EF最小；
∵为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质可得和都为等边三角形，即可得到，，因而利用SAS可证明，即得出，．利用角度的和差可得，即可证为等边三角形，得出，由垂线段最短可知当时，最小，此时最小；此时，结合含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算即可求出答案.
17．【答案】证明：四边形是矩形，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】证明：连接交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接交于点，根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴矩形的周长；
（2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为，
∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为，
∴通道的面积为，
∵通道上要铺设价为6元的地砖，
∴购买地砖需要花费元．
【知识点】最简二次根式；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形周长即可求出答案.
（2）根据矩形面积，结合平方差公式列式计算即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴矩形的周长；
（2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为，
∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为，
∴通道的面积为，
∵通道上要铺设价为6元的地砖，
∴购买地砖需要花费元．
20．【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
21．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 、，
∴四边形ACDE是平行四边形．
中，点D为斜边AB的中点，
∴AC＝AD＝CD，平行四边形ACDE是菱形．
∵AB＝2AC＝2，
∴AC＝AD＝CD＝1，
中AD边上的高为，
则菱形ACDE对角线CE为2×＝，
∴菱形ACDE面积为
＝×1×
＝
故答案为：．
【分析】根据菱形判定定理可得四边形ACDE是菱形，根据勾股定理可得中AD边上的高，再根据菱形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图2，作，垂足为，
，
；
在中，；
又，
，
；
在和中，
，
；
且，，
；
，
.
即到的距离是．
（2）解：由（1）知：
，
作，垂足为．
∵，
，
，
∴，
即到地面的最小距离，
∴不会碰到小狗．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作，垂足为，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，作，垂足为，根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系可得A'H，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图2，作，垂足为，
，
；
在中，；
又，
，
；
在和中，
，
；
且，，
；
，
.
即到的距离是．
（2）解：由（1）知：
，
作，垂足为．
∵，
，
，
∴，
即到地面的最小距离，
∴不会碰到小狗．
23．【答案】【操作感知】：30；
【迁移探究】 （1）判断：，
证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，
∴
在和中，
，
∴，
即；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：【操作感知】：由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30；
【迁移探究】（2）设的长为x，
∵正方形的边长为4，点P为中点，
∴，，，
在中，，
即，
解得
故答案为：．
【分析】【操作感知】：根据折叠性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
【迁移探究】（1） 根据折叠性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）设的长为x，根据勾股定理看额的MQ，根据线段中点可得PM，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：，理由如下：
如图，取的中点，连接，
四边形是正方形，
，，
分别是的中点，
，，
，，
，
，
是的外角的平分线，且，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，在上取点，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
是的外角的平分线，且，
，
，
，
，
，
；
(3)的长为5或
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：分两种情况：
当点在边上时，如图，
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理，得，
由（2）知，，
当点是直线上的一点时，如图，
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理，得，
连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
是正方形的外角平分线，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
综上，的长为5或．
【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，则，，根据等边对等角可得，根据补角可得∠AGE，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得∠GAE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在上取点，使，连接，根据正方形性质可得，，再根据补角可得∠AGE，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得∠GAE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在边上时，根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案；当点是直线上的一点时，根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得AE，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得∠ECF，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即性质即可求出答案.
1 / 1广东东莞市东莞市寮步中学2025-2026学年 八年级 第二学期数学科期中考试 试卷
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，被开方数含分母不是整数，不是最简二次根式，A不符合题意；
B．能开得尽方，不是最简二次根式，B不符合题意；
C．被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不符合题意；
D．，是最简二次根式，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
2．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．， B．3，4，6 C．5，12，13 D．6，8，15
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是整数，，不是勾股数，不符合题意；
B、，则3，4，6不是勾股数，不符合题意；
C、，5，12，13是勾股数，符合题意；
D、，不能构成三角形，则6，8，15不是勾股数，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：对选项A： ， A错误；
对选项B：，， B错误；
对选项C：， C错误；
对选项D：，， D正确.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对边相等 D．对角线相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；
菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；
故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【分析】根据矩形，菱形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠DAE 的角度为(　　)
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠D=∠B=55°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°－55°=35°.
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质可得∠D，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得
解得：
故答案为：C.
【分析】设这个多边形的边数为n，则其内角和为180°（n-2），而任何多边形的外角和都是360°，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解.
7．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（　　）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求；
对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求；
对于C选项，如图，
平分，
，
又∵，
，
可得，
，可知平行四边形是菱形，不符合要求；
对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求.
故答案为：D
【分析】结合菱形、矩形的判定定理即可求出答案.
8．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（　　）．
A．12 B．13 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，，作于；
∵底面周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】将圆柱侧面图展开，作于，根据边之间的关系，结合勾股定理即可求出答案.
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作轴于，如图，
，，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
正方形的面积为25．
故选：B．
【分析】作轴于，根据两点间距离可得AE，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
10．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∵D是的中点，，
∴．
故答案为：A
【分析】延长交于F，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
.
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为　 　．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OB=2，
∴AC＝2BO＝4，
又∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴．
故答案为：．
【分析】由矩形的性质"矩形的对角线相等且互相平分"可得AC=2OB求出AC的值，在Rt△ABC中，根据含30°角的直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”即可求解．
13．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：24
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
14．如图，的对角线、相交于点O，的周长为29，且，则的长度为　 　．
【答案】11
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：是平行四边形，
，，，
的周长为29，即：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：11
【分析】根据平行四边形性质可得，，，根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
15．如图，在菱形中，，，点E，F分别在边，上，且，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，如图所示：
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴由垂线段最短可知当时，最小，即EF最小；
∵为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质可得和都为等边三角形，即可得到，，因而利用SAS可证明，即得出，．利用角度的和差可得，即可证为等边三角形，得出，由垂线段最短可知当时，最小，此时最小；此时，结合含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算即可求出答案.
17．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．如图，在中，E，F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：连接交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接交于点，根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．
（1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】（1）解：∵，，
∴矩形的周长；
（2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为，
∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为，
∴通道的面积为，
∵通道上要铺设价为6元的地砖，
∴购买地砖需要花费元．
【知识点】最简二次根式；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形周长即可求出答案.
（2）根据矩形面积，结合平方差公式列式计算即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴矩形的周长；
（2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为，
∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为，
∴通道的面积为，
∵通道上要铺设价为6元的地砖，
∴购买地砖需要花费元．
20．如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
21．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，，，AB＝2AC＝2，则四边形ACDE的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 、，
∴四边形ACDE是平行四边形．
中，点D为斜边AB的中点，
∴AC＝AD＝CD，平行四边形ACDE是菱形．
∵AB＝2AC＝2，
∴AC＝AD＝CD＝1，
中AD边上的高为，
则菱形ACDE对角线CE为2×＝，
∴菱形ACDE面积为
＝×1×
＝
故答案为：．
【分析】根据菱形判定定理可得四边形ACDE是菱形，根据勾股定理可得中AD边上的高，再根据菱形面积即可求出答案.
22．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线上P点处，转轴B到地面的距离．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将她从A处摆动后的坐标记为．
（1）当时，求到的距离；
（2）当静静秋千位于A'处时，她忽然发现一只小狗趴在D点位置，小狗高度，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？
【答案】（1）解：如图2，作，垂足为，
，
；
在中，；
又，
，
；
在和中，
，
；
且，，
；
，
.
即到的距离是．
（2）解：由（1）知：
，
作，垂足为．
∵，
，
，
∴，
即到地面的最小距离，
∴不会碰到小狗．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作，垂足为，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，作，垂足为，根据直线平行性质可得，再根据边之间的关系可得A'H，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图2，作，垂足为，
，
；
在中，；
又，
，
；
在和中，
，
；
且，，
；
，
.
即到的距离是．
（2）解：由（1）知：
，
作，垂足为．
∵，
，
，
∴，
即到地面的最小距离，
∴不会碰到小狗．
23．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接．
（1）判断与的关系并证明；
（2）若正方形的边长为4，点P为中点，则的长为______．
【答案】【操作感知】：30；
【迁移探究】 （1）判断：，
证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，
∴
在和中，
，
∴，
即；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：【操作感知】：由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30；
【迁移探究】（2）设的长为x，
∵正方形的边长为4，点P为中点，
∴，，，
在中，，
即，
解得
故答案为：．
【分析】【操作感知】：根据折叠性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
【迁移探究】（1） 根据折叠性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）设的长为x，根据勾股定理看额的MQ，根据线段中点可得PM，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
24．【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容：
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）．
（1）请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明____________，从而可得，请写出证明过程．
【类比探究】
（2）如图（1），若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：；
【拓展探究】
（3）如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长．
【答案】（1）证明：，理由如下：
如图，取的中点，连接，
四边形是正方形，
，，
分别是的中点，
，，
，，
，
，
是的外角的平分线，且，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，在上取点，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
是的外角的平分线，且，
，
，
，
，
，
；
(3)的长为5或
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：分两种情况：
当点在边上时，如图，
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理，得，
由（2）知，，
当点是直线上的一点时，如图，
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理，得，
连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
是正方形的外角平分线，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
综上，的长为5或．
【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，则，，根据等边对等角可得，根据补角可得∠AGE，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得∠GAE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在上取点，使，连接，根据正方形性质可得，，再根据补角可得∠AGE，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得∠GAE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在边上时，根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案；当点是直线上的一点时，根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得AE，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得∠ECF，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即性质即可求出答案.
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