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广东省河源市正德中学2025-2026学年九年级下学期第一次段考数学试题
1．实数的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
2．144的平方根是的数学表达式是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是 　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3.5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．随着A点位置的变化而变化
9．小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度（）我国常用的摄氏温标．和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（　　）
A．春季服装 B．夏季服装 C．秋季服装 D．冬季服装
10．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．因式分解： 　 　.
12．如果，那么代数式的值为 　 　．
13．如图，与位似，位似中心为O，，的面积为18，则的面积为　 　．
14．体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重　 　kg．
15．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为　 　．
16．计算：．
17．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
18．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，求证：是的切线．
19．大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
八年级 4.82 4.9
九年级 4.82 4.8 4.7
（1）填空：______，______．
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
20．2026年央视春晚上，宇树科技机器人方阵震撼亮相，灵动威武的表演惊艳全国．一台台智能机器人以科技之美展现中国力量，让我们真切感受到国家科技发展日新月异、民族复兴步履铿锵！节目组为演出准备了型和型两种机器人，已知2台型机器人和1台型机器人一次共可完成65个标准动作；3台型机器人比2台型机器人一次可多完成10个标准动作．
（1）求1台型、1台型机器人一次分别可完成多少个标准动作？
（2）若排练中完成360个相同动作，型机器人比型机器人少用3分钟，且型每分钟完成的动作数量是型的倍，求型机器人每分钟完成多少个动作？
21．综合与实践．
物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化．
以下为两人的对话：
小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．”
（1）请根据以上信息，求出斜面木板的长；
（2）测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）．
22．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
［观察与猜想］
（1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________．
（2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________．
[类比探案]
（3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
23．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵表示的绝对值，
∴．
故选：A．
【分析】根据绝对值定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】，
故答案为：C．
【分析】利用平方根的计算方法求解即可。
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ，点的横坐标-2＜0，纵坐标-3＜0，
∴这个点在第三象限．
故答案为：C．
【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得：
不等式组的解集为：-2≤x＜1，
在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，（两直线平行，同位角相等）
∵平分，
∴，（角平分线定义）
∵
∴，（两直线平行，同位角相等）
故选：B
【分析】
本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），角平分线的定义（ 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线 ）。根据平行线性质和角平分线定义求解。
7．【答案】B
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵从甲、乙、丙三名航天员中选2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共3种，
其中甲、乙两人同时被选中的结果只有1种，
∴所求概率为B．
【分析】用列举法得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A点坐标为（x，y），
∵AB⊥x轴，
∴OB＝x，AB＝｜y｜，
∴S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜，
∵，
∴xy＝﹣2，
∴S△AOB＝×2＝1，
故四边形OCAB的面积＝2S△AOB＝2，
故答案为：B．
【分析】
设A点坐标为（x，y），由函数图象上点的坐标的特征表示出OB，AB，再由三角形的面积公式得S△AOB＝｜xy｜，由函数解析式变形得到xy＝﹣2，代入计算，即可得到答案．
9．【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当时，，解得：，
当时，，解得：，
即：抵达目的地时的摄氏温度范围是.
这个温度范围比较低，属于冬季的温度范围，所以小王应建议妈妈抵达目的地时穿冬季服装，
故选：D．
【分析】分别将y=29，38代入解析式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形，
∴，
连接，
由题意，得：，
∴，
∴；
故选B．
【分析】根据正多边形内角和可得，连接，由题意，得：，再根据角之间的关系可得∠MON，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．【答案】7
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴当时，原式．
故答案为：7．
【分析】由题意可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．【答案】32
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
∴，，
∵，
∴，
，
的面积为18，
，
故答案为：32
【分析】根据位似性质，结合相似三角形性质即可求出答案.
14．【答案】12
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：体重为78，值为，则．
当不超过时：
．
则需要减重：
．
故答案为：．
【分析】利用公式代入计算求出h的值，将BMI=22代入，可求出w的值，然后求出结果.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】本题结合条件，先建建立平面直角坐标系，然后分析得出抛物线最高点到的距离为，，，从而得出P点和B点的坐标，此时利用待定系数法可以求出该抛物线的解析式，最后代入的横坐标即可得出答案．
16．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，算术平方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：(1)如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠BDE=∠BDC，根据三角形外角性质可得∠ACD+∠A=∠BDC，则∠A=∠BDE，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
18．【答案】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【知识点】切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接，根据圆周角定理的推论可得，根据等边对等角可得，则，根据补角可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）；25
（2）解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
（3）解：，
即八年级学生视力正常的人数为150人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴；
，
∴；
故答案为：；25
【分析】（1）根据中位数的定义可得a值，根据B组的人数与占比可得m值.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据500乘以视力正常的人数占比即可求出答案.
（1）解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴；
，
∴；
故答案为：；25
（2）解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
（3）解：，
即八年级学生视力正常的人数为150人．
20．【答案】（1）解：设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作，
根据题意得 ，
解得
答：1台型机器人一次可完成20个标准动作，1台型机器人一次可完成25个标准动作；
（2）解：设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作，
根据题意得 ，
方程两边同乘得，
解得，
检验：当时， ，
∴是原方程的解.
答：型机器人每分钟完成40个动作．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作，
根据题意得 ，
解得
答：1台型机器人一次可完成20个标准动作，1台型机器人一次可完成25个标准动作；
（2）解：设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作，
根据题意得 ，
方程两边同乘得，
解得，
检验：当时， ，
∴是原方程的解.
答：型机器人每分钟完成40个动作．
21．【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
∵，，
∴．
答：斜面木板的长约为；
（2）解：由题意得：，
∵点B为的中点，
∴，
∵小车从A点运动到B点的时间为，
∴，
设v与t的函数关系式为：，
∵过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴．
答：段的平均速度比段的平均速度大约快了．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据余弦定义即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AB，求出小车从A点运动到B点的速度，设v与t的函数关系式为：，根据待定系数法将点代入解析式可得，再再将v=0.6代入解析式即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
∴，
∵，，
∴．
答：斜面木板的长约为；
（2）由题意得：，
∵点B为的中点，
∴，
∵小车从A点运动到B点的时间为，
∴，
设v与t的函数关系式为：，
∵过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴．
答：段的平均速度比段的平均速度大约快了．
22．【答案】（1）1
（2）
（3）证明：如图，过点作交的延长线于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图，
设与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为．
（2）如图，
设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
【分析】（1）设与的交点为，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）设与交于点，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，根据矩形性质可得，，则，，再根据相似三角形判定定理即性质即可求出答案.
（1）解：如图，
设与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为．
（2）如图，
设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
（3）证明：如图，过点作交的延长线于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
23．【答案】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1，
∴顶点A的坐标是（1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q
∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
当n=时，S△OPB的最大值为．
此时y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立
∴-(x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD=．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得m，将解析式转换为顶点式可得顶点坐标.
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，设P(n，﹣n2+2n)，Q(n，﹣n)，根据两点间距离可得PQ，再根据三角形面积，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）设新的抛物线解析式为y=﹣(x﹣a)2+a，联立方程组，解方程组即可求出答案.
1 / 1广东省河源市正德中学2025-2026学年九年级下学期第一次段考数学试题
1．实数的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵表示的绝对值，
∴．
故选：A．
【分析】根据绝对值定义即可求出答案.
2．144的平方根是的数学表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】，
故答案为：C．
【分析】利用平方根的计算方法求解即可。
3．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是 　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ，点的横坐标-2＜0，纵坐标-3＜0，
∴这个点在第三象限．
故答案为：C．
【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答．
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可求出答案.
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得：
不等式组的解集为：-2≤x＜1，
在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
6．从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，（两直线平行，同位角相等）
∵平分，
∴，（角平分线定义）
∵
∴，（两直线平行，同位角相等）
故选：B
【分析】
本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），角平分线的定义（ 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线 ）。根据平行线性质和角平分线定义求解。
7．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3.5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵从甲、乙、丙三名航天员中选2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共3种，
其中甲、乙两人同时被选中的结果只有1种，
∴所求概率为B．
【分析】用列举法得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
8．如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．随着A点位置的变化而变化
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A点坐标为（x，y），
∵AB⊥x轴，
∴OB＝x，AB＝｜y｜，
∴S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜，
∵，
∴xy＝﹣2，
∴S△AOB＝×2＝1，
故四边形OCAB的面积＝2S△AOB＝2，
故答案为：B．
【分析】
设A点坐标为（x，y），由函数图象上点的坐标的特征表示出OB，AB，再由三角形的面积公式得S△AOB＝｜xy｜，由函数解析式变形得到xy＝﹣2，代入计算，即可得到答案．
9．小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度（）我国常用的摄氏温标．和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（　　）
A．春季服装 B．夏季服装 C．秋季服装 D．冬季服装
【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当时，，解得：，
当时，，解得：，
即：抵达目的地时的摄氏温度范围是.
这个温度范围比较低，属于冬季的温度范围，所以小王应建议妈妈抵达目的地时穿冬季服装，
故选：D．
【分析】分别将y=29，38代入解析式即可求出答案.
10．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形，
∴，
连接，
由题意，得：，
∴，
∴；
故选B．
【分析】根据正多边形内角和可得，连接，由题意，得：，再根据角之间的关系可得∠MON，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．如果，那么代数式的值为 　 　．
【答案】7
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴当时，原式．
故答案为：7．
【分析】由题意可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．如图，与位似，位似中心为O，，的面积为18，则的面积为　 　．
【答案】32
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
∴，，
∵，
∴，
，
的面积为18，
，
故答案为：32
【分析】根据位似性质，结合相似三角形性质即可求出答案.
14．体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重　 　kg．
【答案】12
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：体重为78，值为，则．
当不超过时：
．
则需要减重：
．
故答案为：．
【分析】利用公式代入计算求出h的值，将BMI=22代入，可求出w的值，然后求出结果.
15．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】本题结合条件，先建建立平面直角坐标系，然后分析得出抛物线最高点到的距离为，，，从而得出P点和B点的坐标，此时利用待定系数法可以求出该抛物线的解析式，最后代入的横坐标即可得出答案．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，算术平方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
17．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
【答案】解：(1)如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠BDE=∠BDC，根据三角形外角性质可得∠ACD+∠A=∠BDC，则∠A=∠BDE，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
18．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，求证：是的切线．
【答案】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【知识点】切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接，根据圆周角定理的推论可得，根据等边对等角可得，则，根据补角可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
八年级 4.82 4.9
九年级 4.82 4.8 4.7
（1）填空：______，______．
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
【答案】（1）；25
（2）解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
（3）解：，
即八年级学生视力正常的人数为150人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴；
，
∴；
故答案为：；25
【分析】（1）根据中位数的定义可得a值，根据B组的人数与占比可得m值.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据500乘以视力正常的人数占比即可求出答案.
（1）解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴；
，
∴；
故答案为：；25
（2）解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
（3）解：，
即八年级学生视力正常的人数为150人．
20．2026年央视春晚上，宇树科技机器人方阵震撼亮相，灵动威武的表演惊艳全国．一台台智能机器人以科技之美展现中国力量，让我们真切感受到国家科技发展日新月异、民族复兴步履铿锵！节目组为演出准备了型和型两种机器人，已知2台型机器人和1台型机器人一次共可完成65个标准动作；3台型机器人比2台型机器人一次可多完成10个标准动作．
（1）求1台型、1台型机器人一次分别可完成多少个标准动作？
（2）若排练中完成360个相同动作，型机器人比型机器人少用3分钟，且型每分钟完成的动作数量是型的倍，求型机器人每分钟完成多少个动作？
【答案】（1）解：设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作，
根据题意得 ，
解得
答：1台型机器人一次可完成20个标准动作，1台型机器人一次可完成25个标准动作；
（2）解：设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作，
根据题意得 ，
方程两边同乘得，
解得，
检验：当时， ，
∴是原方程的解.
答：型机器人每分钟完成40个动作．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设1台型机器人一次可完成个标准动作，1台型机器人一次可完成个标准动作，
根据题意得 ，
解得
答：1台型机器人一次可完成20个标准动作，1台型机器人一次可完成25个标准动作；
（2）解：设型机器人每分钟完成个动作，则型机器人每分钟完成个动作，
根据题意得 ，
方程两边同乘得，
解得，
检验：当时， ，
∴是原方程的解.
答：型机器人每分钟完成40个动作．
21．综合与实践．
物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化．
以下为两人的对话：
小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．”
（1）请根据以上信息，求出斜面木板的长；
（2）测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）．
【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
∵，，
∴．
答：斜面木板的长约为；
（2）解：由题意得：，
∵点B为的中点，
∴，
∵小车从A点运动到B点的时间为，
∴，
设v与t的函数关系式为：，
∵过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴．
答：段的平均速度比段的平均速度大约快了．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据余弦定义即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AB，求出小车从A点运动到B点的速度，设v与t的函数关系式为：，根据待定系数法将点代入解析式可得，再再将v=0.6代入解析式即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
∴，
∵，，
∴．
答：斜面木板的长约为；
（2）由题意得：，
∵点B为的中点，
∴，
∵小车从A点运动到B点的时间为，
∴，
设v与t的函数关系式为：，
∵过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴．
答：段的平均速度比段的平均速度大约快了．
22．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
［观察与猜想］
（1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________．
（2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________．
[类比探案]
（3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）1
（2）
（3）证明：如图，过点作交的延长线于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：如图，
设与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为．
（2）如图，
设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
【分析】（1）设与的交点为，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）设与交于点，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，根据矩形性质可得，，则，，再根据相似三角形判定定理即性质即可求出答案.
（1）解：如图，
设与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为．
（2）如图，
设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
（3）证明：如图，过点作交的延长线于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
23．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1，
∴顶点A的坐标是（1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q
∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
当n=时，S△OPB的最大值为．
此时y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立
∴-(x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD=．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得m，将解析式转换为顶点式可得顶点坐标.
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，设P(n，﹣n2+2n)，Q(n，﹣n)，根据两点间距离可得PQ，再根据三角形面积，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）设新的抛物线解析式为y=﹣(x﹣a)2+a，联立方程组，解方程组即可求出答案.
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