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第十一章 不等式与不等式组
11.1.2 不等式的性质
（分层题型专练）
题型一 不等式的基本性质
1．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过不等式性质或举反例判断各选项正误．
【详解】解：A、已知，当，，满足，此时，不等式不成立，故A错误；
B、已知，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，不等式一定成立，故B正确；
C、已知，当，时，满足，此时，不等式不成立，故C错误；
D、已知，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，不等式不成立，故D错误．
2．设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，，本选项式子错误；
B，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，，本选项式子错误；
C，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，本选项式子错误；
D，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，不等式两边同时加同一个正数，不等号不变，，本选项式子正确．
3．已知，则下列变形中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到不正确的变形．
【详解】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意；
B、若，则，故本选项正确，不符合题意；
C、若，则，故本选项错误，符合题意；
D、若，则，故本选项正确，不符合题意；
4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，
∴ ，A不成立，不符合题意；
B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，
∴ ，B不成立，不符合题意；
C选项：∵ ，∴ ，
∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，
∴ ，一定成立，符合题意；
D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立，
例如当，时， ， ，
此时 ，不等式不成立，不符合题意．
题型二 不等式的性质与数轴综合
1．a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置确定，的正负性，再结合绝对值的性质、不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴可知，在原点左侧，在原点右侧，
，
，，，
故B，C，D错误，
又，
，故A正确．
2．两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据数轴判断出且，再结合相反数定义、不等式性质逐一分析选项，从而确定正确答案．
【详解】解：根据数轴可得：，且，逐一判断选项：
A、只有互为相反数时成立，这里，故此选项错误；
B、由数轴可知，故此选项错误；
C、不等式两边同时减，不等号方向不变，因为，所以，故此选项错误；
D、不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为，所以，故此选项正确．
7．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：由数轴得，，
∴，A项错误；
，B项错误；
，C项正确；
，D项错误．
故选C．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由数轴可得，即可判断D，则由不等式的性质得到，再根据不等式的性质即可判断A、B，根据有理数的乘法法则即可判断C．
【详解】解：由数轴可得，
∴，
∴，，，
故B正确．
4．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征．
由数轴可得，进而求解即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴．
题型三 天枰具象化中的不等式性质
1．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】解：由图可得：若，则．
2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，观察给出的图片可得，得到，结合选项即可求解．
【详解】解：观察给出的图片可得，由可得，A选项符合．
3．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系．
【详解】
解：设为a，为b，为c，
则由第一个图可知，
，
，
由第二个图可知，
，
，
这三种物体按质量从大到小排列应为．
故选：C．
4．如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等式的性质将和都用表示，进而比较大小即可．
【详解】解：由图1可知，，
，
∴，
由图2可知，，
，
∴，
∴．
题型四 利用不等式的性质比较大小
1．若，则x______y（填：、、）．
【答案】
【详解】解：，
∴不等式两边同时除以，不等号方向改变，得．
2．比较大小______．
【答案】<
【分析】先估算的取值范围，再推出的取值范围，即可比较两个数的大小．
【详解】解：，
，
，
，
3．设，用“＜”或“＞”号填空
（1） ________；
（2）________；
（3）________
【答案】
<
<
>
【分析】本题考查不等式的基本性质，已知，根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结果．
【详解】根据不等式的基本性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变，
已知，两边同时减，可得；
根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变，
已知，两边同时乘正数，可得；
根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，
已知，两边同时乘负数，可得．
4．若，则____0．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴．
5．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由．
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键．
（1）根据不等式的基本性质，将不等式两边同除以3，再同减去2即可；
（2）根据不等式的基本性质，将不等式两边同乘以，得到，再两边加上3即可．
【详解】（1）解：；
理由：，
，
；
（2）解：．
理由：，
，
．
6．按要求完成下列各题：
(1)根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若，则_________；
若，则_________；
若，则_________．
(2)已知，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断：
①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变；
②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；
③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变；
（2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较．
【详解】（1）解：若，两边同时加1，则；
若，两边同时乘正数3，则；
若，两边同时乘负数，则．
（2）解：，
根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变，
，
两边同时减，不等号方向不变，
．
题型五 利用不等式的性质解不等式
1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键．
（1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可；
（2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可；
（3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可；
（4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可．
【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得，
；
（2）解：不等式两边同减去，得，
；
（3）解：不等式两边同乘以5，得，
；
（4）解：不等式两边同除以，得，
．
2．利用不等式的基本性质解下列不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可．
【详解】（1）解：（不等式的基本性质1），
，
（不等式的基本性质2），
解得．
（2）解： （不等式的基本性质1），
，
（不等式的基本性质3），
解得．
题型一 利用不等式的性质求参数的值（取值范围）
1．整数a满足，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先估算和的整数范围，再根据不等式性质得到和的范围，最后找出区间内的整数即可得到结果.
【详解】解：∵ ，，
∴ ，，
即 ，，
不等式两边同乘，不等号方向改变，可得
，，
∵ ，
∴ ，
又∵是整数，
∴，
2．已知，则的取值范围正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质变形得到的范围.
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
不等式两边同除以，得 ，
不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ，
即 .
3．若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的大小估算，不等式的性质，熟记常用的完全平方数是关键．
先估算出的取值范围，再利用不等式的性质求出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
不等式两边同时减2，得，
∴．
故选：B．
4．若，，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：，，
5．已知，则整数m的值为________．
【答案】3
【分析】根据题意估算的大小，利用不等式的性质进一步可以得出答案．
【详解】解：，
，
，
∴，即
m为整数，且，
．
6．若为正整数，且满足，则_____．
【答案】4
【分析】先估算的大小，再利用不等式的性质得到的范围，结合已知不等式即可确定正整数的值．
【详解】解：，，，
，
不等式两边同乘，由不等式的性质得，
不等式两边同减，由不等式的性质得，
，且为正整数，
．
题型二 不等式的性质与比较大小的应用
1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)若，则a__________b；
若，则a__________b；
若，则a__________b；（填“”、“”或“”）
(2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据等式和不等式的基本性质逐一判断即可；
（2）求出与的差，根据差的正负判断即可．
【详解】（1）解：，
，
；
，
，
；
，
，
．
（2）解：
，
，
．
2．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小：
若，则；
若，则；
若，则．
(1)【理解】若，比较代数式和的大小；
(2)【运用】若，试比较的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法求解即可；
（2）利用作差法求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以；
（2）解：，
因为，
则，
所以，
即，
所以．
3．代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目：
【阅读材料】如果、、、都是正数，且，，那么．
证明：，是正数，第一步
．（依据：________）第二步
又，是正数，第三步
________，第四步
．第五步
(1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________．
(2)如果、、、都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性．
【答案】(1)不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；
(2)
【分析】（1）根据不等式的性质进行求解；
（2）根据不等式的性质进行证明．
【详解】（1）解：第二步的依据为不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，
第四步应填；
（2）解：，理由如下：
，是负数，
，
又，是负数，
，
．
4．【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，
“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)，，若，求，的取值范围．
【答案】(1)
(2)的取值范围为任意实数，的取值范围为
【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”．
（1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小；
（2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴的取值范围为任意实数，的取值范围为．
5．阅读材料，回答下列问题．
材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
如果，将不等式两边都加上，可得，所以；
如果，将等式两边都加上，可得，所以；
如果，将不等式两边都加上，可得，所以；
反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”．
(1)若，则___________；（填“”、“”或“”）
(2)用作差法比较与的大小；
(3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小．
【答案】(1)<
(2)
(3)见解析
【分析】（1）要比较与的大小，可计算的差，再结合已知条件进行判断．
（2）根据作差法的定义，计算的差，再根据绝对值的性质，即得结果．
（3）先根据题意分别表示出和，再对和作差，化简差的表达式，根据和的大小关系判断差的正负，进而比较和的大小．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴ ．
（2）解：将与的作差，
得．
．
∴．
（3）解：∵．
∴．
当时，．
当时，．
当时，．
题型三 不等式的性质与估算综合
1．阅读材料，完成探究任务：
我们知道，无理数是无限不循环小数，因此其小数部分无法被完整地书写出来．我们可以首先确定一个无理数的整数部分，再将该无理数减去其整数部分，所得差值即为其小数部分．例如：，的整数部分是1，的小数部分是．
【基础应用】
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
【综合拓展】
(2)求的整数部分；
(3)已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的立方根．
【答案】(1)3，
(2)7
(3)
【分析】（1）估算，即可求得答案；
（2）先估算，即可得到 ，进而得到结果；
（3）先求出的值，再代入，最后利用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是，小数部分是；
（2）解：，
，
，即，
的整数部分是7；
（3）解：的平方根是，
，解得，
的立方根是3，
，解得 ，
是的整数部分，
，
，
的立方根为．
2．阅读下列材料，解决问题：
若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”的“最近整数区”为．
(1)的“最近整数区”是__________；的“最近整数区”是__________；
(2)实数a，b，m满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据“最近整数区”的定义求解即可；
（2）由题意可得，，得出，进而得出，，两式相加可得，再根据“最近整数区”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴的“最近整数区”是，的“最近整数区”是．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
两式相加，得，即，
∴m的算术平方根为，
∵，
∴，
∴m的算术平方根的“最近整数区”是．
1．代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形．
【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法：
解：．
．
，
即．
(1)【启发应用】已知，且．
①用含的式子表示，则______；
②求的取值范围．
(2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值．
【答案】(1)① ②
(2)3
【分析】本题围绕“等式与不等式的性质综合运用”展开，先考查等式基本性质是等式变形的依据，如移项、系数化为1等操作，可实现“用一个变量表示另一个变量”，为代入化简代数式做准备 ．再考查不等式基本性质（①不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变 ）是推导变量取值范围的核心工具，通过对已知不等式变形，逐步缩小变量范围，结合整数等限定条件确定具体值 ．
（1）①利用等式的基本性质实现变量代换，用表示，变形得，
②先把代入进行代换，得到；再由已知（即，解此不等式得），确定的范围是；最后由不等式基本性质，给的范围乘3再减8，推出（即 ）的范围：．
（2）思维拓展，本题题型本质：先依据等式建立变量联系，再结合两个不等式条件确定的取值范围，利用“是整数”限定具体值，进而求出参数的值，考查等式变形、不等式求解、整数解筛选及代数式求值的综合运用 ．
【详解】解：（1）①
②：，
，
，
，
，
，
，
，即．
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是整数，
为整数，
．
2．阅读与思考
下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即．
任务：
(1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）．
A． 不等式的性质1 B． 不等式的性质2
C． 分类讨论思想 D． 数形结合思想
(2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据．
(3)的近似值为______．（保留一位小数）
【答案】(1)A，D
(2)图见解析
(3)15.8
【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根的实际应用：
（1）根据不等式的性质和数形结合的思想，进行判断即可；
（2）类比题干给定的方法，估算出，设，补全图形即可；
（3）利用题干中的方法，结合（2）中的图形，进行求解即可．
【详解】（1）材料中的依据是不等式的性质1，解题过程体现了数形结合的思想，
故选A，D；
（2）∵，
∴，
设，
补全图形如图：
（3）由（2）可知：图中正方形的面积．
，
．
当时，可忽略，得，得到，
即．第十一章 不等式与不等式组
11.1.2 不等式的性质
（分层题型专练）
题型一 不等式的基本性质
1．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则下列变形中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 不等式的性质与数轴综合
1．a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围．
题型三 天枰具象化中的不等式性质
1．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 利用不等式的性质比较大小
1．若，则x______y（填：、、）．
2．比较大小______．
3．设，用“＜”或“＞”号填空
（1） ________；
（2）________；
（3）________
4．若，则____0．
5．已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由．
(1)与； (2)与．
6．按要求完成下列各题：
(1)根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若，则_________；
若，则_________；
若，则_________．
(2)已知，试比较与的大小．
题型五 利用不等式的性质解不等式
1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．利用不等式的基本性质解下列不等式：
(1)； (2)．
题型一 利用不等式的性质求参数的值（取值范围）
1．整数a满足，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的取值范围正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．若，，则a的取值范围是________．
5．已知，则整数m的值为________．
6．若为正整数，且满足，则_____．
题型二 不等式的性质与比较大小的应用
1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)若，则a__________b；
若，则a__________b；
若，则a__________b；（填“”、“”或“”）
(2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小．
2．【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小：
若，则；
若，则；
若，则．
(1)【理解】若，比较代数式和的大小；
(2)【运用】若，试比较的大小．
3．代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目：
【阅读材料】如果、、、都是正数，且，，那么．
证明：，是正数，第一步
．（依据：________）第二步
又，是正数，第三步
________，第四步
．第五步
(1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________．
(2)如果、、、都是负数，且，，那么与的大小关系如何？请说明你的结论的正确性．
4．【阅读材料】
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，
“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)已知，试比较，的大小；
(2)，，若，求，的取值范围．
5．阅读材料，回答下列问题．
材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
如果，将不等式两边都加上，可得，所以；
如果，将等式两边都加上，可得，所以；
如果，将不等式两边都加上，可得，所以；
反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”．
(1)若，则___________；（填“”、“”或“”）
(2)用作差法比较与的大小；
(3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小．
题型三 不等式的性质与估算综合
1．阅读材料，完成探究任务：
我们知道，无理数是无限不循环小数，因此其小数部分无法被完整地书写出来．我们可以首先确定一个无理数的整数部分，再将该无理数减去其整数部分，所得差值即为其小数部分．例如：，的整数部分是1，的小数部分是．
【基础应用】
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
【综合拓展】
(2)求的整数部分；
(3)已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的立方根．
2．阅读下列材料，解决问题：
若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”的“最近整数区”为．
(1)的“最近整数区”是__________；的“最近整数区”是__________；
(2)实数a，b，m满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”．
1．代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形．
【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法：
解：．
．
，
即．
(1)【启发应用】已知，且．
①用含的式子表示，则______；
②求的取值范围．
(2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值．
2．阅读与思考
下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则．，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图，可得图中正方形的面积．，．当时，可忽略，得，得到，即．
任务：
(1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）．
A． 不等式的性质1 B． 不等式的性质2
C． 分类讨论思想 D． 数形结合思想
(2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据．
(3)的近似值为______．（保留一位小数）

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