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第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
（分层题型专练）
题型一 识别一元一次不等式
1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一元一次不等式需要满足：是不等式，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A、不含未知数，不符合要求；
B、含有两个未知数，且的最高次数为2，不符合要求；
C、是不等式，只含一个未知数，且的最高次数为1，符合要求；
D、是代数式，不是不等式，不符合要求．
2．下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边为整式的不等式．
【详解】解：选项A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式定义
选项B、 ，未知数次数为2，不符合定义
选项C 、 ，含有两个未知数，不符合定义
选项D 、 ，是分式，不是整式，不符合定义
∴答案选A．
3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是______．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】②⑤/⑤②
【详解】解：①含有个未知数，不是一元一次不等式；
②是一元一次不等式；
③中是分式，不是整式，不是一元一次不等式；
④中未知数的最高次数是，不是一元一次不等式；
⑤是一元一次不等式；
⑥不是不等式，不是一元一次不等式；
∴属于一元一次不等式的是②⑤．
题型二 解一元一次不等式
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
解得，
所以原不等式的解集为．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
.
3．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【详解】解：∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
∴的值可以是．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，
∴，
解得：，
在数轴上表示不等式的解集如下：
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式求出 的取值范围，再根据不等式解集在数轴上的表示方法“大于向右，小于向左，有等号画实心，无等号画空心”进行判断即可．
【详解】解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
该不等式的解集在数轴上表示为：
6．写出不等式的一个解为______．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】先求解一元一次不等式得到解集，在解集范围内任取一个数即可．
【详解】解：，
，
，
任意小于的数都是原不等式的解，可以取（答案不唯一）．
7．不等式的解集为___________．
【答案】
【详解】解：，
，
故答案为：．
8．解不等式：．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤以及不等式的性质求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
9．解不等式，把解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【详解】解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
不等式两边同除以，改变不等号方向，得
把解集在数轴上表示如下：
10．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】(1)
(2)
(3)；不等式解集在数轴上表示见详解
【分析】（1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，
（2）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，
（3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
解得：，
解集在数轴上表示如下：
题型三 一元一次不等式的整数解问题
1．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】解一元一次不等式，再找出范围内的正整数即可．
【详解】解： ，
解得 ，
∴ 满足条件的正整数为 、、、，共4个．
2．不等式 的最小整数解为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案．
【详解】解：
移项得
∵大于 的整数为
∴其中最小的整数为．
3．不等式的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果．
【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得，
移项并合并同类项，得，
不等式两边同时除以，不等号方向改变，得，
∴范围内的负整数为，共2个．
4．不等式的所有整数解的和是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】解：不等式的所有整数解有，0，1，
∴所有整数解的和是．
5．不等式的负整数解有______个．
【答案】2
【分析】根据已知的不等式解集，找出所有符合条件的负整数，统计其个数即可得到结果．
【详解】解：已知不等式的解集为，大于的负整数为，共个．
6．不等式的非负整数解为______．
【答案】0，1，2
【分析】先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可．
【详解】解：
移项得：
合并同类项得：
系数化为得：
不等式的非负整数解是，，．
7．不等式 的所有负整数解为______．
【答案】，
【分析】求出不等式的解集，再根据解集写出所有负整数解即可．
【详解】解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得，
系数化为，得，
∴不等式 的所有负整数解为，．
8．解不等式，并写出该不等式的非负整数解．
【答案】解集为，该不等式的非负整数解是0，1，2
【详解】解：
∴不等式的解集为
∴该不等式的非负整数解是0，1，2
题型四 列一元一次不等式
1．“的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，可列不等式为.
2．某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为120元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设该卫衣打折销售，先明确打x折的实际售价计算方法，再根据利润=实际售价-进价，结合利润率是利润占进价的百分比，根据利润率不低于的要求列出不等式即可．
【详解】解：根据题意，得．
3．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题根据题中数量关系，结合“不低于”表示大于等于的含义，即可列出正确不等式．
【详解】解：∵总题数为25道，答对x道题，
∴答错或不答的题数为道，
根据题意得．
4．“m与4的差的3倍是非负数”用不等式表示为_____
【答案】
【详解】解：“m与4的差的3倍是非负数”用不等式表示为．
5．一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______．
【答案】
【分析】设每次搬运x箱货物，根据总重量不超过电梯额定载重量列出不等式即可．
【详解】解：设每次搬运x箱货物，由题意得，
．
6．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______．
【答案】
【分析】先确定往返的路程为，往返的时间为小时，停留48小时，根据总时间不超过168小时列不等式即可．
【详解】解：根据时间得：．
题型五 利用一元一次不等式解决实际问题
1．某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有20道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于140分，那么他至少要答对（ ）
A．13题 B．14题 C．15题 D．16题
【答案】D
【分析】设答对题数为未知数，根据题目给定的得分规则列出不等式，求解后取符合题意的最小整数即可得到结果．
【详解】解：设小亮答对x道题，则答错或不答的题数为道，由题意得：
，
解得：，
∴小亮至少要答对16题．
2．某文具店购进一批笔记本，进价为每本5元，出售时标价为每本8元．为了清理库存，文具店打算打折销售，且要保证利润率不低于20%，则该笔记本最低可以打（ ）
A．七五折 B．八五折 C．七折 D．八折
【答案】A
【分析】利用进价×（1+利润率）=售价，标价×折扣数=售价，构造一元一次不等式，进而求解．
【详解】解：已知进价为每本5元，要保证利润率不低于20%，则最低售价为（元）．
设打x折，
由题意，得，
解得，
∴该笔记本最低可以打七五折．
3．某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（ ）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设可以购进x只，则可以购进只，利用总价=单价×数量，结合总价不超过6.2万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】解：设可以购进x只，则可以购进只，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最大值为4，
∴最多可以购进4只．
故选：D．
4．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全．
【答案】64
【分析】因为要保证操作人员安全，所以需先计算人跑到400米安全区域所需的时间，可利用公式（其中为时间，为路程，为速度）．因为导火线燃烧时间要大于人跑到安全区域的时间，所以可根据导火线燃烧速度，利用公式计算导火线的最小长度．
【详解】解：设导火线长度为，保证安全的核心条件：导火线燃烧时间 > 人跑到安全区域的时间．
导火线燃烧速度为，燃烧时间为；
人需要跑，跑步速度为，跑到安全区的时间为．
∴ ，
解得，
因此导火线必须超过．
5．某品牌纯牛奶一瓶净含量是200毫升，且每100毫升中含有的原生高钙不少于120毫克，那么这样的一瓶纯牛奶中原生高钙的含量至少是______毫克．
【答案】240
【分析】根据题干给出的不等关系列式计算，即可得到答案．
【详解】解：每毫升中含有的原生高钙不少于毫克，
毫升中含有的原生高钙 （毫克），
这样的一瓶纯牛奶中原生高钙的含量至少是毫克．
6．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？
【答案】25本
【分析】设出未知数，结合“费用不超过300元”建立不等式求解即可．
【详解】解：设购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本，
由题意得：，
解得：，
答：至多购买25本甲种笔记本．
7．“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？
【答案】后40分钟的速度至少为才能不耽误时间
【分析】先算出剩余路程和剩余时间，再设后40分钟的速度为，根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，总路程为：，总时间上限：，已行驶路程：，已用时间：，
∴剩余路程：
；
剩余时间：
，
设后40分钟的速度为，
∴
解得，
∴后40分钟的速度至少为才能不耽误时间．
8．甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分．
(1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由；
(2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？
【答案】(1)不能，理由见解析
(2)场
【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案；
（2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案．
【详解】（1）解：设甲队胜了场，
∵甲队负了场，
∴平的场次为场，
∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分，
∴，
解得：，
∵为非负整数，
∴甲队的得分不能为分．
（2）解：设乙胜了场，
∵乙队保持不败，
∴平的场次为场，
∴，
解得：．
∴至少胜5场．
9．某超市欲购A和B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价少10元，用同样的价钱可以购买20件A商品或购买15件B商品．
(1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
(2)超市购进商品时，恰逢厂家促销活动，每件A商品9折优惠，每件B商品降价4元，超市购进A，B两种商品共50件，且A商品以每件32元的价格售出，B商品以每件42元的价格售出，若要全部售出后所获得的利润不少于280元，求最多购进A商品多少件？
【答案】(1)每件A种商品的进价为30元，每件B商品的进价为40元
(2)最多购进A商品20件
【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设每件A种商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设购进A商品m件，则购进B商品件，由题意易得，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设每件A种商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元，由题意得：
，
解得：；
∴每件B商品的进价为元；
答：每件A种商品的进价为30元，每件B商品的进价为40元．
（2）解：设购进A商品m件，则购进B商品件，由题意得：
，
解得：；
答：最多购进A商品20件．
题型一 利用一元一次不等式的性质求参数的取值范围（值）
1．若是关于的一元一次不等式，则（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：且，
∴．
2．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可．
【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式，
∴满足两个条件：
未知数次数为1，即；
未知数系数不为0，即；
由得，解得或，
又∵，即，
∴．
3．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解．
根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可．
【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式，
∴ x 的指数 ，且系数 ，
解 ，得 ，即 或 ，
又 ∵ ，即 ，
∴．
故选A．
4．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________．
【答案】0
【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可．
【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式，
∴且，
即且或，
∴
5．若是关于的一元一次不等式，则________．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可．
【详解】解： 是关于的一元一次不等式，
，且，
解得或，
或；
解得；
．
6．若是关于x的一元一次不等式，则__________.
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可．
【详解】解：不等式是一元一次不等式，
，
解得：，
故答案为：．
题型二 一元一次不等式的最值问题
1．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案．
【详解】
①②得：
①②得：
解得
的最小值为．
故选B．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．
3．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
将代入得，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，最小值为．
4．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
5．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键．
把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案．
【详解】解：
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴k的最小值为．
故答案为：．
6．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
0 1 2
0 4
(1)求、的值；
(2)若的值大于，求的最大整数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键．
（1）根据题意得出方程组，求出m、n的值即可；
（2）根据的值大于，列出不等式，解不等式，然后求出最大整数值即可．
【详解】（1）解：根据表格可知：，
解得：；
（2）解：∵的值大于，，
∴，
解得：，
∴的最大整数值为．
7．对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3
（1）a+b＝___．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
【答案】
【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解；
（2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可．
【详解】解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，2△(-m)≥0，
∴2△(-m)，
解得：，
则m的最大值是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代数式是解此题的关键．
题型三 根据一元一次不等式的解求参数的值（取值范围）
1．关于的方程的解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将a看作已知数，先解出方程的x，再根据解为负数得到，解关于a的不等式即可得到结果．
【详解】解：解方程，
移项得 ．
∵ 方程的解为负数，
∴ ，
即 ．
移项得 ．
不等式两边同除以，不等号方向改变，得 ．
2．若不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解集的不等号方向判断x系数的符号，即可求解m的取值范围．
【详解】解：∵不等式 的解集为，不等号方向发生改变，
∴ ，
移项得，
两边同除以得．
3．若关于x的不等式的解集为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出不等式的解集，结合给出的解集，进行求解即可.
【详解】解：，
，
，
∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴，则，
∴.
4．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解关于的一元一次方程，得到用含的式子表示，再根据“解是非负数”列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：解方程 ，
移项得：，
合并同类项：，
系数化为 1：，
方程的解是非负数，
，
即，
解得：．
5．不等式的解集是，则的取值范围是____．
【答案】
【详解】解：∵不等式的解集是，且，
∴不等式两边同时除以时，不等号方向改变，
∴，
∴．
题型四 一元一次不等式与方程组综合求解参数的值（取值范围）
1．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对于方程组，由并整理可得，结合可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案．
【详解】解：，
由，可得，
∴，
∵，
∴，解得．
2．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围．
【详解】解：，
∴得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
3．关于的方程组的解满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程组得到，再根据，列出不等式求解即可得到答案．
【详解】解：方程组，
得：，
∵关于的方程组的解满足，
∴，
∴．
4．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握方程组的求解与不等式的求解方法．先求出方程组的解，再将解代入，得到关于m的不等式求解即可．
【详解】解：方程组，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
5．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
直接把两方程相减，得到关于的表达式，再代入不等式求解即可．
【详解】解：方程组
，得：，
，
，
解得，
故选：A．
6．已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴ 的取值范围是 ，
故选：B
7．若关于x，y的方程组的解是正数，要使恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解方程组求出x、y关于m的表达式，根据解为正数确定m的范围，再分析不等式在m的取值范围内恒成立的条件，从而确定a的最小值.
本题考查了解方程组，方程组解的属性，不等式的应用，熟练掌握解方程组是阶梯的关键
【详解】解：根据题意，得，
得，
解得，
把代入得，
由关于x，y的方程组的解是正数，
得，
解得，
，
又，即，
故
解得，
故选：C.
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求出方程组的解，再代入不等式即可解答；
【详解】 解：对于方程组 ，
将两个方程相加消去： ，得 ，解得，
把代入，得，解得 ，
把代入不等式得：，化简得，
解得：．
题型五 一元一次不等式与新定义问题
1．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．1 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键；
根据新定义的运算解出不等式的解，结合数轴上的表示，即可解出k的值．
【详解】解：由，
得，
则．
由数轴，得不等式的解集为，
，
解得；
故选：A．
2．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键．
先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：，
，
，
.
故的取值范围是.
故选：D．
3．对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】解：由题意得，当时，
即时，，
∵，
则，
解得：，
综上：，
当时，
即时，，
∵，
则，
解得：，
综上：，
综上所述，的解集是或．
故选：D．
4．对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键．
根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的正整数解为1，2共2个，
故选：B．
5．定义一种运算，则不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根据新定义的运算规则列出正确的一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可．
【详解】解： ，，
∴，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
6．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，．
(1)若，求x的取值范围；
(2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据运算规则列出关于x的不等式，再求解即可；
（2）先解一元一次方程得到x的值，再代入列出关于a的不等式，求出a的范围后找出最小整数解即可．
【详解】（1） 解 ：∵，
∴
解得；
（2）解：
去括号得
移项合并同类项得
系数化为1得
∵
将代入得
整理得
解得
∴的最小整数解为．
1．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法：
（1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款．
现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】C
【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可.
【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯，
∴优惠方法(1)的总费用为 ，
优惠方法(2)的总费用为 ，
∵方法(2)比方法(1)更省钱，
∴，化简得 ，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为
2．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（ ）(提示：浓度)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，列不等式，理解题意找到数量关系是解决问题即可．甲杯的糖水变甜，即甲杯混合后的浓度需大于原浓度，分别表示出原浓度和混合后浓度据此解答即可．
【详解】解：原甲杯浓度：，
乙杯浓度：，
从乙杯取克糖水倒入甲杯的糖量：，
混合后甲杯总糖量：，
混合后甲杯总质量：克，
混合后浓度： ，
甲杯变甜的条件：混合后浓度>原浓度，
即．
故选：D．
3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，
解得：．
故选：B．
4．若x，y为任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中：
①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的化简、代数式的运算及整数解的探究，解题的关键是先列出所有操作结果，再结合条件逐一分析各说法的正确性．
先列出A、B、C、D两两作差的绝对值结果；对于①，观察结果中是否存在比值为常数的两个代数式；对于②，当时，代入结果并化简和式，结合整数y的取值判断是否存在满足和为的情况；对于③，明确M、N的表达式，结合方程及整数x、y的条件，求出可能的M、N值，进而判断的可能值．
【详解】解：根据题意可得，，，，，，，
∴，为常数，故①正确；
当时，，，，
，，，
∴所有操作结果的和为：
，
分情况讨论：
当时，，
当时，，
当时，，
令，得（非整数），
∴无整数y满足所有操作结果的和为52，故②错误；
∵，且，
∴，
∴，即，
∴，
∵为正数且均为整数，
∴必为4的倍数且，
∴或5或9，
当时，，代入得,
∴，
当时，，代入得，
∴，
当时，，代入得，
∴，
∴的值为842或389或386，故③错误．
综上，正确结论为①，共1个．
故选：B．
5．对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式恰有两个正整数解时，m的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据新定义运算化简不等式，求解不等式得到的解集，结合不等式恰有两个正整数解构造关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围．
【详解】解：根据定义的新运算可得
原不等式化为
移项得
不等式恰有两个正整数解
不等式的两个正整数解为，
因此可得
不等式两边同时减，得
不等式两边同时除以，不等号方向改变，得．
6．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个．
【答案】6
【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可．
【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个，
由题意，实际购买接力棒数量为 （根），
实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ，
整理得： ，
设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根，
原计划总费用减去实际总费用等于，
列方程得：，
整理得： ，
将 代入上式，
得：，
化简得，
变形得：，
∵是正整数，
∴为整数，
又∵和互质，
∴是的倍数，
∵，解得，
∴，
则，即实际购进标志桶的数量为个．
7．对于不等式，当时，，当时，．当关于的不等式，其解集中无正整数解，则的取值范围_____．
【答案】
【分析】先根据，将已知指数不等式转化为一元一次不等式，整理后分，，三种情况讨论，结合解集中无正整数解的条件，求出的取值范围．
【详解】解：，，
，
移项整理得 ，
当，即时，
不等式的解集为，
，
解集中一定包含正整数，不符合解集中无正整数解的要求，故此情况舍去．
当，即时，不等式变为，即恒成立，解集为全体实数，一定包含正整数，不符合要求，故此情况舍去．
当，即时，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，
得解集为：，
解集中无正整数解，
，
，不等式两边同乘不等号方向不变，
得，解得，
满足的条件．
综上，的取值范围是．
8．综合与实践：
【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品．
【素材展现】
素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元．
素材：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮．
(1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少？
(2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共个，其中款运动盲盒个（），若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上网店购买，共需要______元；（均用含的代数式表示）
(3)【综合应用】请你帮小明算一算，在（）的条件下，购买款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买方式更合算？
【答案】(1)该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元
(2)，
(3)购买款运动盲盒的数量超过个，线下购买方式更合算
【分析】（）设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可；
（）根据题意得在线下商店成为会员购买，共需要；在线上网店购买，共需要，然后进行化简即可；
（）由（）得在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元，根据题意得，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
根据题意得，，
解得：，
答：该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元；
（2）解：在线下商店成为会员购买，共需要：
（元）；
在线上网店购买，共需要：
（元）；
故答案为：，；
（3）解：由（）得，在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元，
根据题意得，，
解得：，
答：购买款运动盲盒的数量超过个，线下购买方式更合算．第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
（分层题型专练）
题型一 识别一元一次不等式
1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是______．
①；②；③；④；⑤；⑥．
题型二 解一元一次不等式
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．写出不等式的一个解为______．
7．不等式的解集为___________．
8．解不等式：．
9．解不等式，把解集在数轴上表示出来．
10．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
题型三 一元一次不等式的整数解问题
1．不等式的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．不等式 的最小整数解为（ ）
A．3 B． C． D．
3．不等式的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．不等式的所有整数解的和是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
5．不等式的负整数解有______个．
6．不等式的非负整数解为______．
7．不等式 的所有负整数解为______．
8．解不等式，并写出该不等式的非负整数解．
题型四 列一元一次不等式
1．“的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为120元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（）
A． B．
C． D．
3．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．“m与4的差的3倍是非负数”用不等式表示为_____
5．一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式______．
6．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______．
题型五 利用一元一次不等式解决实际问题
1．某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有20道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于140分，那么他至少要答对（ ）
A．13题 B．14题 C．15题 D．16题
2．某文具店购进一批笔记本，进价为每本5元，出售时标价为每本8元．为了清理库存，文具店打算打折销售，且要保证利润率不低于20%，则该笔记本最低可以打（ ）
A．七五折 B．八五折 C．七折 D．八折
3．某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（ ）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
4．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全．
5．某品牌纯牛奶一瓶净含量是200毫升，且每100毫升中含有的原生高钙不少于120毫克，那么这样的一瓶纯牛奶中原生高钙的含量至少是______毫克．
6．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？
7．“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？
8．甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分．
(1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由；
(2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？
9．某超市欲购A和B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价少10元，用同样的价钱可以购买20件A商品或购买15件B商品．
(1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
(2)超市购进商品时，恰逢厂家促销活动，每件A商品9折优惠，每件B商品降价4元，超市购进A，B两种商品共50件，且A商品以每件32元的价格售出，B商品以每件42元的价格售出，若要全部售出后所获得的利润不少于280元，求最多购进A商品多少件？
题型一 利用一元一次不等式的性质求参数的取值范围（值）
1．若是关于的一元一次不等式，则（ ）
A． B．1 C． D．0
2．已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
4．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________．
5．若是关于的一元一次不等式，则________．
6．若是关于x的一元一次不等式，则__________.
题型二 一元一次不等式的最值问题
1．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
2．已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．0 D．
3．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（ ）
A． B．0 C． D．1
4．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______．
6．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
0 1 2
0 4
(1)求、的值；
(2)若的值大于，求的最大整数值．
7．对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3
（1）a+b＝___．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
题型三 根据一元一次不等式的解求参数的值（取值范围）
1．关于的方程的解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式的解集为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．不等式的解集是，则的取值范围是____．
题型四 一元一次不等式与方程组综合求解参数的值（取值范围）
1．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的方程组的解满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x，y的方程组的解是正数，要使恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________．
题型五 一元一次不等式与新定义问题
1．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．1 D．5
2．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．或
4．对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．定义一种运算，则不等式的解集是______．
6．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，．
(1)若，求x的取值范围；
(2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解．
1．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法：
（1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款．
现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
2．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（ ）(提示：浓度)
A． B． C． D．
3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若x，y为任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中：
①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式恰有两个正整数解时，m的取值范围是________．
6．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个．
7．对于不等式，当时，，当时，．当关于的不等式，其解集中无正整数解，则的取值范围_____．
8．综合与实践：
【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品．
【素材展现】
素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元．
素材：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮．
(1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少？
(2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共个，其中款运动盲盒个（），若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上网店购买，共需要______元；（均用含的代数式表示）
(3)【综合应用】请你帮小明算一算，在（）的条件下，购买款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买方式更合算？

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