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广东省深圳市罗湖区2025-2026学年七年级（下)期中数学试卷
1．在深圳坪山建设的国家级微纳加工平台已投入使用，可为芯片创新企业提供流片服务，其研发工艺节点可达到 8纳米.1纳米即为 0.000000001米，将 8纳米换算为米，并用科学记数法表示为（　　)米.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：1纳米=0.000000001米=米.
∵8纳米=8×1纳米，
∴8纳米=米.
8×已经符合科学记数法的形式，其中1≤8<10.
故答案为：A.
【分析】先根据题干给出的1纳米=0.000000001米，把0.000000001写成，再用8乘以.科学记数法要求前面的数大于或等于1且小于10，所以符合要求.
2．下列事件是必然事件的是（　　)
A．老师进教室先迈左脚
B．太阳东升西落
C．商场买盲盒抽中隐藏款
D．关闭手机软件启动广告时刚好一次成功
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、老师进教室先迈左脚可能发生，也可能不发生，是随机事件，A错误；
B、太阳东升西落是自然规律，在正常表述下必然发生，是必然事件，B正确；
C、商场买盲盒抽中隐藏款可能发生，也可能不发生，是随机事件，C错误；
D、关闭手机软件启动广告时刚好一次成功可能发生，也可能不发生，是随机事件，D错误.
故答案为：B.
【分析】一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.逐项判断可知，只有太阳东升西落一定发生.
3．当今是自媒体的时代，图 1是一个麦克风可调节支架示意图，图二是抽象出的模型图，当∠AOB 增加 20°时， ∠COD （　　)
A．增加 70° B．不变 C．减少 20° D．增加 20°
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图中麦克风支架的模型可知，∠AOB与∠COD是由同一结构变化得到的对应角，支架转动时两角的变化量相同.
∵∠AOB增加20°，
∴∠COD也增加20°.
故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查根据几何模型判断角的变化.从图形结构看，∠AOB和∠COD随支架调节同步变化，一个角增加多少，另一个对应角也增加多少.题干给出∠AOB增加20°，所以∠COD增加20°.
4．如图，点 P 是直线 l外一点，点 A， B， C在直线 l上，且 PA=6，PB=5， PC=4.下列说法正确的是（　　)
A．点 P到直线 l的距离等于 4
B．点 P到直线 l的距离等于 5
C．点 P到直线 l的距离等于 6
D．点 P到直线 l的距离一定不大于 4
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段长度，PC=4不一定是垂线段，所以距离不一定等于4，A错误；
B、PB=5也不一定是垂线段，所以距离不一定等于5，B错误；
C、PA=6也不一定是垂线段，所以距离不一定等于6，C错误；
D、垂线段最短，点P到直线l的距离不大于从点P到直线l上任意一点的线段长.题中PC=4，所以点P到直线l的距离一定不大于4，D正确.
故答案为：D.
【分析】点到直线的距离指点到这条直线的垂线段的长度.在点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短.因为A、B、C都在直线l上，且PC=4，所以距离最多为4，不能确定一定等于4.
5．下列能判定直线 AD 与直线 BC平行的条件是（　　)
A．∠DAE=∠FCB B．∠E=∠F C．∠BGC=∠GCD D．∠DAE=∠E
【答案】D
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∠DAE=∠FCB涉及的角不能直接构成判定AD∥BC所需的同位角、内错角或同旁内角关系，A错误；
B、∠E=∠F只能说明与图中其他直线有关的角相等，不能直接判定AD∥BC，B错误；
C、∠BGC=∠GCD对应的是其他直线之间的平行关系，不能判定AD∥BC，C错误；
D、∠DAE=∠E时，这两个角是直线AD与BC被AE所截形成的一组内错角，内错角相等，两直线平行，所以AD∥BC，D正确.
故答案为：D.
【分析】判定两直线平行常用三种方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.要判定AD与BC平行，必须找到由AD、BC与同一条截线形成的角.
6．深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为 A、B、C、D四组.其中一支队伍甲抽中 A组的概率是（　　)
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：女足队伍随机抽签分为A、B、C、D四组，共有4种等可能结果.
其中队伍甲抽中A组只有1种结果.
∴队伍甲抽中A组的概率= .
故答案为：A.
【分析】随机抽到每个小组的可能性相同，一共有4个小组，抽到指定A组的结果只有1个，所以概率等于目标结果数除以总结果数，即1/4.
7．已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东 60°的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东 78°方向走到了深圳博物馆.那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（　　)
A．42° B．138° C．72° D．108°
【答案】B
【知识点】角的运算；方位角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：小深从家到书店的方向是南偏东60°，所以从书店回家的方向与它相反，为北偏西60°.
从书店到深圳博物馆的方向是北偏东78°.
这两条路线分别在正北方向的西侧60°和东侧78°.
∴从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角=60°+78°=138°.
故答案为：B.
【分析】方向角问题要先找准相反方向.从家到书店是南偏东60°，那么从书店到家就是北偏西60°.书店到博物馆是北偏东78°，两条射线分居正北方向两侧，所以夹角为60°+78°.
8．已知∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β的 2倍多 30°，则∠β的度数为（ )
A．45° B．50°
C．45°或 50° D．50°或 75°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α与∠β相等或互补.
又∵∠α比∠β的2倍多30°，
∴∠α=2∠β+30°.
若∠α=∠β，则∠β=2∠β+30°，解得∠β=-30°，不符合角的度数为正的实际意义，舍去.
若∠α+∠β=180°，则2∠β+30°+∠β=180°.
∴3∠β=150°.
∴∠β=50°.
故答案为：B.
【分析】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.再根据题意列出∠α=2∠β+30°，分别讨论相等和互补两种情况，舍去不合题意的负角，得到∠β=50°.
9．　 　.
【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据题干所给的单项式乘法，先把数字系数相乘，再把相同字母分别按同底数幂乘法计算.
数字系数相乘得到24.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.
∴原式=.
故答案为：.
【分析】本题考查单项式乘单项式.计算时分三步：系数乘系数；同底数字母相乘，底数不变，指数相加；只在一个单项式中出现的字母连同指数照写.
10．已知 a+b=2，则　 　.
【答案】81
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，∴题干中的指数式可先化为只含a+b的形式.把a+b=2整体代入题干原式，得原式=.
∵=3×3×3×3=81，
∴原式=81.
故答案为：81.
【分析】本题考查整体代入和幂的运算.已知的是a+b的值，所以不要分别求a、b，而应把题干原式整理成含a+b的形式，再整体代入a+b=2进行计算.
11．赵爽弦图中，一个大正方形是由含四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为 5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内)，飞镖落在小正方形内的概率是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率；“赵爽弦图”模型；多边形的面积
【解析】【解答】解：直角三角形的三边长为5、12、13，其中13是斜边.
赵爽弦图中，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，
所以大正方形面积==169.
小正方形的边长等于两条直角边之差，即12-5=7.
∴小正方形面积==49.
飞镖随机落在大正方形内，落在小正方形内的概率=小正方形面积÷大正方形面积=.
故答案为：.
【分析】几何概率等于目标区域面积与总区域面积的比.本题目标区域是小正方形，总区域是大正方形.由赵爽弦图可知大正方形边长为斜边13，小正方形边长为两直角边差12-5.
12．如图，将 Rt△ABC与 Rt△DEC叠在一起，点 B恰好落在 DE上， AB∥CE， ∠A=32°，则∠ACE=　 　.
【答案】148°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=32°，
∴∠ACB=90°-32°=58°.
∵AB∥CE，
∴∠A与∠ACE的一部分对应形成平行线角关系.
由图中Rt△ABC与Rt△DEC叠放关系可得，∠ACE为外侧钝角，等于180°-32°.
∴∠ACE=148°.
故答案为：148°.
【分析】先利用直角三角形中两锐角互余处理已知角，再结合AB∥CE得到相应角之间的关系.图中要求的是点C处的外侧钝角，所以它与32°组成一组互补角，故为180°-32°=148°.
13．如图 1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图 2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为 r1、r2的圆形，其中重叠部分 P为花圃，对应阴影部分 S1、S2分别表示两个班级的基地面积.若 则 S1-S2=　 　.
【答案】32π
【知识点】圆的面积；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设两个圆的重叠部分花圃面积为P.
由图可知，S1等于半径为r1的圆面积减去重叠部分P，S2等于半径为r2的圆面积减去同一个重叠部分P.
∴S1=-P，S2=-P.
∴S1-S2=(-P)-(-P)=-=.
根据题干所给条件，-=32.
∴S1-S2=32π.
故答案为：32π.
【分析】两个阴影部分都与同一个重叠部分P有关，作差时重叠部分会相互抵消，所以只需比较两个圆的面积差.圆的面积公式为πr2，因此S1-S2=π(r12-r22)，再代入题干条件即可.
14．计算：
（1）
（2）用乘法公式简便运算： 294×306.
【答案】（1）解：原式=1+3-4=0
（2）解：294×306=(300-6)(300+6)=-=90000-36=89964
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】(1)有理数混合运算要先算乘方，再算乘除，最后算加减；遇到零指数幂、负整数指数幂和绝对值时，要先按相应法则化简.
(2)294和306分别比300小6和大6，正好符合平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2，所以把294×306写成(300-6)(300+6)可简便计算.
15．化简求值： 其中 x=3， y=-1.
【答案】解：原式为(x+2y)(x 2y)+(4x2y+8xy2)÷2x
先化简第一部分：(x+2y)(x 2y)=x2 (2y)2=x2 4y2
再化简第二部分：(4x2y+8xy2)÷2x=+=2xy+4y2
所以原式=x2 4y2+2xy+4y2=x2+2xy
把 x=3， y= 1x=3， y= 1 代入：
x2+2xy=32+2×3×( 1)=9 6=3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】整式化简求值一般先化简，再代入.化简时先去括号，再合并同类项；代入时把x=3、y=-1分别代入化简后的式子，这样计算更简便，也不容易出错.
16．如图所示， AD⊥BC于点 D， EG⊥BC于点 G， AD 是∠BAC的角平分线，请说明∠1=∠E.请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据)
解： ∵AD⊥BC， EG⊥BC，
∴∠4= ▲ =90°（　　) .
∴EG∥AD （ ) .
∴∠3=∠E （ ) .
▲ = ▲ 两直线平行，内错角相等).
∵ ▲ ，
∴∠2=∠3（角平分线的定义).
∴∠1=∠E （等量代换) .
【答案】解：∵AD⊥BC， EG⊥BC，
∴∠4=∠ADC =90°（垂直的定义) .
∴EG∥AD （同位角相等，两直线平行 ) .
∴∠3=∠E （两直线平行，同位角相等) .
∠1= ∠2（两直线平行，内错角相等).
∵AD平分∠BAC，
∴∠2=∠3 （角平分线的定义).
∴∠1=∠E （等量代换) .
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】先由AD⊥BC、EG⊥BC得到它们与BC所成的角都是90°，从而判定EG∥AD.再利用平行线性质得到∠3=∠E和∠1=∠2.因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠2=∠3，最后等量代换得到∠1=∠E.
17．现有一个不透明的盒子里放置 6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字 1、2、3、4、5、6.
（1）小深设计了一款游戏，规则如下：K=（2+a)（2-a)，从盒中随机抽取 1张卡片，卡片上的数字即为a.计算 K，若结果大于 2，则甲获胜；若结果小于或等于 2，则乙获胜.求甲获胜的概率.
（2）你认为小深设计的这个游戏是否公平 请阐述理由.
（3）目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏.
【答案】（1）解：K==.
盒中卡片数字为1、2、3、4、5、6，共6种等可能结果.
当a=1时，K=4-=3，3>2，甲获胜.
当a=2时，K=4-22=0，0≤2，乙获胜.
当a=3时，K=4-=-5，-5≤2，乙获胜.
当a=4时，K=4-=-12，-12≤2，乙获胜.
当a=5时，K=4-=-21，-21≤2，乙获胜.
当a=6时，K=4-=-32，-32≤2，乙获胜.
∴甲获胜的结果只有1种.
∴甲获胜的概率=.
（2）解：小深设计的这个游戏不公平.
理由如下：
结果小于或等于 2的个数为 5，
所以乙获胜的概率
因为
所以小深设计的这个游戏不公平.
（3）可改为：仍从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字为a，计算K=(2+a)(2-a).
当a=1或2时，规定甲获胜；当a=3或4时，规定乙获胜；当a=5或6时，规定丙获胜.
这样甲、乙、丙各有2种获胜结果.
∴三人获胜概率都为=.
∴改后的游戏公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)先用平方差公式化简K=(2+a)(2-a)=4-a2，再把a=1，2，3，4，5，6逐一代入，判断哪些结果大于2.
(2)判断游戏是否公平，要比较双方获胜概率是否相等.甲只有1种获胜结果，乙有5种获胜结果，所以不公平.
(3)三人公平游戏要求三人获胜概率相同.6张卡片等可能出现，可以把6种结果平均分成3组，每人2种结果，则每人获胜概率都是.
18．【新定义】设两个相邻整数分别为 n和 n+1（n为整数)：
定义：①平均数的平方为 M，则 ②平方的平均数为 N，则 请完成以下问题：
（1） 计算验证： 取 n=1， 请计算 M、N的值， 判断 M、N大小；
（2）初步化简：分别将 M、N两个代数式化简 （即展开并合并同类项)；
（3）完整推导：在第 （2）问的基础上，M-N的结果是否为一个固定的值 如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）解：当n=1时，两个相邻整数为1和2.
平均数为，所以.
平方的平均数为，所以.
∵.
∴M（2）解：
M=[]2=[]2===n2+n+.
N====n2+n+.
（3）解：是，
M-N=(n2+n+）-(n2+n+)=-=.
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律；合并同类项法则及应用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】(1)先根据定义计算两个数的平均数，再平方得到M；再先把两个数分别平方，然后求平均得到N.
(2)把两个相邻整数n和n+1直接代入定义，用完全平方公式展开并合并同类项.
(3)用第(2)问化简后的M、N作差，含n的项完全抵消，只剩常数，所以M-N是固定值.
19．老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行.
（1）如图 1，A，B，C均在格点上.小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线.请利用网格的格点，在网格中过点 C作出 AB的平行线 CD.
（2）如图 2，小圳觉得，连接 AC或者 BC，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过 C点作出 AB的平行线，请用尺规作图在图 2中作出 AB的平行线 CD.
（3） 如图 3， 已知 AB||CD，∠D=x°，∠B=y°，在平行线之间有一点 E，连接 BE、DE， 求∠BED的大小 小深提出，可以过点 E作 AB的平行线 EF，借助辅助线 EF可以解决问题.请写出完整解答过程.
（4） 如图 4， 已知 AB||CD，在平行线上方有一点 E， 连接 BE、DE， 作∠ABE与∠CDE的角平分线相交于F点，请问∠BFD与∠BED有什么数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：如图 1中，直线 CD 即为所求；
（2）解：如图2中，直线 CD即为所求
（3）解：如图3中，结论： ∠DEB= （x+y) °.
理由：如图 3中，过点 E作 EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠D=∠DEF=x°， ∠B=∠BEF=y°，
∴∠DEB=∠DEF+∠BEF=（x+y)
（4）解：如图 4中， ∠BED=2∠BFD.
理由：设 BF交 CD于点 G， BE 交 CD 与点 M，
∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于 F点，
∴可以假设∠ABF=∠EBF=x， ∠CDF=∠FDE=y，
∵AB∥CD，
∴∠DGB=∠ABF=x， ∠DMB=∠ABM=2x，
∵∠BFD=∠DGB-∠CDF=x-y， ∠DEB=∠DMB-∠EDM=2x-2y=2 （x-y) ，
∴∠DEB=2∠DFB
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；作图-平行线
【解析】【分析】(1)网格作平行线时，只要找出与AB相同的横向和纵向变化规律，再过点C取相同方向的格点即可.
(2)尺规作平行线的核心是作一个角等于已知角，使内错角或同位角相等，从而判定两直线平行.
(3)遇到两条平行线之间一点连接两端的问题，常过中间点作已知平行线的平行线，把一个大角分成两个可利用平行线性质求出的角.
(4)利用角平分线把∠ABE和∠CDE分别设为2x和2y，再结合平行线性质与三角形外角关系，分别表示∠BFD和∠BED，最后比较得到倍数关系.
20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
（1）如图 1，在边长为 a的正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形.由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：　 　.
（2）如图 2，四个长为 a，宽为 b的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：　 　.
（3）【知识迁移】
计算：
（4） 若 m+n=10， mn=9， 求 m-n的值.
（5）【拓展探究】
如图 3，将边长分别为 m，n的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为 6，长方形 AEHD的面积为 4，求两个正方形纸片的面积和.
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式=
=
=
=
=
=
（4）解：∵m+n=10，mn=9，
∴(m-n)2=(m+n)2-4mn.
∴(m-n)2=102-4×9=100-36=64.
∴m-n=±8.
故答案为：±8.
（5）解：设两个正方形边长分别为m，n.
由图形面积关系可知，阴影部分面积与长方形AEHD的面积之和等于两个正方形纸片面积和的一半.
∵阴影部分面积为6，长方形AEHD的面积为4，
∴两个正方形纸片的面积和=6+4=10.
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】(1)解：左图阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积=.
右图拼成的长方形长为a+b，宽为a-b，所以面积=(a+b)(a-b).
∵两图中阴影部分面积相同，
∴).
故答案为：.
(2)解：四个长为a、宽为b的长方形拼成中间镂空的正方形.
外面大正方形边长为a+b，面积为(a+b)2.
四个长方形面积和为4ab.
中间小正方形边长为a-b，面积为(a-b)2.
∴(.
故答案为：.
(3)解：根据题干所给算式，利用第(1)问得到的平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，把每一项分解成两个因式的乘积后进行约分或简算，即可得到题干所求结果.
故答案为：10.
【分析】(1)同一块阴影部分用两种方法表示面积，一种是大正方形减小正方形，另一种是拼成长方形，由此得到平方差公式.
(2)大正方形面积可以看作4个长方形面积加中间小正方形面积，从而得到完全平方公式的几何表示.
(3)知识迁移题通常把复杂算式转化为平方差公式或完全平方公式，再约分、合并或简算.
(4)已知m+n和mn，求m-n时，用恒等式(m-n)2=(m+n)2-4mn，最后注意平方根有正负两个值.
(5)根据图中阴影部分和长方形AEHD与两个正方形面积之间的分割关系，把已知面积相加即可求出两个正方形纸片的面积和.
1 / 1广东省深圳市罗湖区2025-2026学年七年级（下)期中数学试卷
1．在深圳坪山建设的国家级微纳加工平台已投入使用，可为芯片创新企业提供流片服务，其研发工艺节点可达到 8纳米.1纳米即为 0.000000001米，将 8纳米换算为米，并用科学记数法表示为（　　)米.
A． B． C． D．
2．下列事件是必然事件的是（　　)
A．老师进教室先迈左脚
B．太阳东升西落
C．商场买盲盒抽中隐藏款
D．关闭手机软件启动广告时刚好一次成功
3．当今是自媒体的时代，图 1是一个麦克风可调节支架示意图，图二是抽象出的模型图，当∠AOB 增加 20°时， ∠COD （　　)
A．增加 70° B．不变 C．减少 20° D．增加 20°
4．如图，点 P 是直线 l外一点，点 A， B， C在直线 l上，且 PA=6，PB=5， PC=4.下列说法正确的是（　　)
A．点 P到直线 l的距离等于 4
B．点 P到直线 l的距离等于 5
C．点 P到直线 l的距离等于 6
D．点 P到直线 l的距离一定不大于 4
5．下列能判定直线 AD 与直线 BC平行的条件是（　　)
A．∠DAE=∠FCB B．∠E=∠F C．∠BGC=∠GCD D．∠DAE=∠E
6．深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为 A、B、C、D四组.其中一支队伍甲抽中 A组的概率是（　　)
A． B． C． D．1
7．已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东 60°的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东 78°方向走到了深圳博物馆.那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（　　)
A．42° B．138° C．72° D．108°
8．已知∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β的 2倍多 30°，则∠β的度数为（ )
A．45° B．50°
C．45°或 50° D．50°或 75°
9．　 　.
10．已知 a+b=2，则　 　.
11．赵爽弦图中，一个大正方形是由含四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为 5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内)，飞镖落在小正方形内的概率是　 　.
12．如图，将 Rt△ABC与 Rt△DEC叠在一起，点 B恰好落在 DE上， AB∥CE， ∠A=32°，则∠ACE=　 　.
13．如图 1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图 2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为 r1、r2的圆形，其中重叠部分 P为花圃，对应阴影部分 S1、S2分别表示两个班级的基地面积.若 则 S1-S2=　 　.
14．计算：
（1）
（2）用乘法公式简便运算： 294×306.
15．化简求值： 其中 x=3， y=-1.
16．如图所示， AD⊥BC于点 D， EG⊥BC于点 G， AD 是∠BAC的角平分线，请说明∠1=∠E.请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据)
解： ∵AD⊥BC， EG⊥BC，
∴∠4= ▲ =90°（　　) .
∴EG∥AD （ ) .
∴∠3=∠E （ ) .
▲ = ▲ 两直线平行，内错角相等).
∵ ▲ ，
∴∠2=∠3（角平分线的定义).
∴∠1=∠E （等量代换) .
17．现有一个不透明的盒子里放置 6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字 1、2、3、4、5、6.
（1）小深设计了一款游戏，规则如下：K=（2+a)（2-a)，从盒中随机抽取 1张卡片，卡片上的数字即为a.计算 K，若结果大于 2，则甲获胜；若结果小于或等于 2，则乙获胜.求甲获胜的概率.
（2）你认为小深设计的这个游戏是否公平 请阐述理由.
（3）目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏.
18．【新定义】设两个相邻整数分别为 n和 n+1（n为整数)：
定义：①平均数的平方为 M，则 ②平方的平均数为 N，则 请完成以下问题：
（1） 计算验证： 取 n=1， 请计算 M、N的值， 判断 M、N大小；
（2）初步化简：分别将 M、N两个代数式化简 （即展开并合并同类项)；
（3）完整推导：在第 （2）问的基础上，M-N的结果是否为一个固定的值 如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由.
19．老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行.
（1）如图 1，A，B，C均在格点上.小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线.请利用网格的格点，在网格中过点 C作出 AB的平行线 CD.
（2）如图 2，小圳觉得，连接 AC或者 BC，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过 C点作出 AB的平行线，请用尺规作图在图 2中作出 AB的平行线 CD.
（3） 如图 3， 已知 AB||CD，∠D=x°，∠B=y°，在平行线之间有一点 E，连接 BE、DE， 求∠BED的大小 小深提出，可以过点 E作 AB的平行线 EF，借助辅助线 EF可以解决问题.请写出完整解答过程.
（4） 如图 4， 已知 AB||CD，在平行线上方有一点 E， 连接 BE、DE， 作∠ABE与∠CDE的角平分线相交于F点，请问∠BFD与∠BED有什么数量关系，并说明理由.
20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
（1）如图 1，在边长为 a的正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形.由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：　 　.
（2）如图 2，四个长为 a，宽为 b的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：　 　.
（3）【知识迁移】
计算：
（4） 若 m+n=10， mn=9， 求 m-n的值.
（5）【拓展探究】
如图 3，将边长分别为 m，n的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为 6，长方形 AEHD的面积为 4，求两个正方形纸片的面积和.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：1纳米=0.000000001米=米.
∵8纳米=8×1纳米，
∴8纳米=米.
8×已经符合科学记数法的形式，其中1≤8<10.
故答案为：A.
【分析】先根据题干给出的1纳米=0.000000001米，把0.000000001写成，再用8乘以.科学记数法要求前面的数大于或等于1且小于10，所以符合要求.
2．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、老师进教室先迈左脚可能发生，也可能不发生，是随机事件，A错误；
B、太阳东升西落是自然规律，在正常表述下必然发生，是必然事件，B正确；
C、商场买盲盒抽中隐藏款可能发生，也可能不发生，是随机事件，C错误；
D、关闭手机软件启动广告时刚好一次成功可能发生，也可能不发生，是随机事件，D错误.
故答案为：B.
【分析】一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.逐项判断可知，只有太阳东升西落一定发生.
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图中麦克风支架的模型可知，∠AOB与∠COD是由同一结构变化得到的对应角，支架转动时两角的变化量相同.
∵∠AOB增加20°，
∴∠COD也增加20°.
故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查根据几何模型判断角的变化.从图形结构看，∠AOB和∠COD随支架调节同步变化，一个角增加多少，另一个对应角也增加多少.题干给出∠AOB增加20°，所以∠COD增加20°.
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段长度，PC=4不一定是垂线段，所以距离不一定等于4，A错误；
B、PB=5也不一定是垂线段，所以距离不一定等于5，B错误；
C、PA=6也不一定是垂线段，所以距离不一定等于6，C错误；
D、垂线段最短，点P到直线l的距离不大于从点P到直线l上任意一点的线段长.题中PC=4，所以点P到直线l的距离一定不大于4，D正确.
故答案为：D.
【分析】点到直线的距离指点到这条直线的垂线段的长度.在点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短.因为A、B、C都在直线l上，且PC=4，所以距离最多为4，不能确定一定等于4.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∠DAE=∠FCB涉及的角不能直接构成判定AD∥BC所需的同位角、内错角或同旁内角关系，A错误；
B、∠E=∠F只能说明与图中其他直线有关的角相等，不能直接判定AD∥BC，B错误；
C、∠BGC=∠GCD对应的是其他直线之间的平行关系，不能判定AD∥BC，C错误；
D、∠DAE=∠E时，这两个角是直线AD与BC被AE所截形成的一组内错角，内错角相等，两直线平行，所以AD∥BC，D正确.
故答案为：D.
【分析】判定两直线平行常用三种方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.要判定AD与BC平行，必须找到由AD、BC与同一条截线形成的角.
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：女足队伍随机抽签分为A、B、C、D四组，共有4种等可能结果.
其中队伍甲抽中A组只有1种结果.
∴队伍甲抽中A组的概率= .
故答案为：A.
【分析】随机抽到每个小组的可能性相同，一共有4个小组，抽到指定A组的结果只有1个，所以概率等于目标结果数除以总结果数，即1/4.
7．【答案】B
【知识点】角的运算；方位角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：小深从家到书店的方向是南偏东60°，所以从书店回家的方向与它相反，为北偏西60°.
从书店到深圳博物馆的方向是北偏东78°.
这两条路线分别在正北方向的西侧60°和东侧78°.
∴从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角=60°+78°=138°.
故答案为：B.
【分析】方向角问题要先找准相反方向.从家到书店是南偏东60°，那么从书店到家就是北偏西60°.书店到博物馆是北偏东78°，两条射线分居正北方向两侧，所以夹角为60°+78°.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α与∠β相等或互补.
又∵∠α比∠β的2倍多30°，
∴∠α=2∠β+30°.
若∠α=∠β，则∠β=2∠β+30°，解得∠β=-30°，不符合角的度数为正的实际意义，舍去.
若∠α+∠β=180°，则2∠β+30°+∠β=180°.
∴3∠β=150°.
∴∠β=50°.
故答案为：B.
【分析】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.再根据题意列出∠α=2∠β+30°，分别讨论相等和互补两种情况，舍去不合题意的负角，得到∠β=50°.
9．【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据题干所给的单项式乘法，先把数字系数相乘，再把相同字母分别按同底数幂乘法计算.
数字系数相乘得到24.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.x的指数相加后得到6，
所以x的部分为.
∴原式=.
故答案为：.
【分析】本题考查单项式乘单项式.计算时分三步：系数乘系数；同底数字母相乘，底数不变，指数相加；只在一个单项式中出现的字母连同指数照写.
10．【答案】81
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，∴题干中的指数式可先化为只含a+b的形式.把a+b=2整体代入题干原式，得原式=.
∵=3×3×3×3=81，
∴原式=81.
故答案为：81.
【分析】本题考查整体代入和幂的运算.已知的是a+b的值，所以不要分别求a、b，而应把题干原式整理成含a+b的形式，再整体代入a+b=2进行计算.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率；“赵爽弦图”模型；多边形的面积
【解析】【解答】解：直角三角形的三边长为5、12、13，其中13是斜边.
赵爽弦图中，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，
所以大正方形面积==169.
小正方形的边长等于两条直角边之差，即12-5=7.
∴小正方形面积==49.
飞镖随机落在大正方形内，落在小正方形内的概率=小正方形面积÷大正方形面积=.
故答案为：.
【分析】几何概率等于目标区域面积与总区域面积的比.本题目标区域是小正方形，总区域是大正方形.由赵爽弦图可知大正方形边长为斜边13，小正方形边长为两直角边差12-5.
12．【答案】148°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=32°，
∴∠ACB=90°-32°=58°.
∵AB∥CE，
∴∠A与∠ACE的一部分对应形成平行线角关系.
由图中Rt△ABC与Rt△DEC叠放关系可得，∠ACE为外侧钝角，等于180°-32°.
∴∠ACE=148°.
故答案为：148°.
【分析】先利用直角三角形中两锐角互余处理已知角，再结合AB∥CE得到相应角之间的关系.图中要求的是点C处的外侧钝角，所以它与32°组成一组互补角，故为180°-32°=148°.
13．【答案】32π
【知识点】圆的面积；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设两个圆的重叠部分花圃面积为P.
由图可知，S1等于半径为r1的圆面积减去重叠部分P，S2等于半径为r2的圆面积减去同一个重叠部分P.
∴S1=-P，S2=-P.
∴S1-S2=(-P)-(-P)=-=.
根据题干所给条件，-=32.
∴S1-S2=32π.
故答案为：32π.
【分析】两个阴影部分都与同一个重叠部分P有关，作差时重叠部分会相互抵消，所以只需比较两个圆的面积差.圆的面积公式为πr2，因此S1-S2=π(r12-r22)，再代入题干条件即可.
14．【答案】（1）解：原式=1+3-4=0
（2）解：294×306=(300-6)(300+6)=-=90000-36=89964
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】(1)有理数混合运算要先算乘方，再算乘除，最后算加减；遇到零指数幂、负整数指数幂和绝对值时，要先按相应法则化简.
(2)294和306分别比300小6和大6，正好符合平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2，所以把294×306写成(300-6)(300+6)可简便计算.
15．【答案】解：原式为(x+2y)(x 2y)+(4x2y+8xy2)÷2x
先化简第一部分：(x+2y)(x 2y)=x2 (2y)2=x2 4y2
再化简第二部分：(4x2y+8xy2)÷2x=+=2xy+4y2
所以原式=x2 4y2+2xy+4y2=x2+2xy
把 x=3， y= 1x=3， y= 1 代入：
x2+2xy=32+2×3×( 1)=9 6=3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】整式化简求值一般先化简，再代入.化简时先去括号，再合并同类项；代入时把x=3、y=-1分别代入化简后的式子，这样计算更简便，也不容易出错.
16．【答案】解：∵AD⊥BC， EG⊥BC，
∴∠4=∠ADC =90°（垂直的定义) .
∴EG∥AD （同位角相等，两直线平行 ) .
∴∠3=∠E （两直线平行，同位角相等) .
∠1= ∠2（两直线平行，内错角相等).
∵AD平分∠BAC，
∴∠2=∠3 （角平分线的定义).
∴∠1=∠E （等量代换) .
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】先由AD⊥BC、EG⊥BC得到它们与BC所成的角都是90°，从而判定EG∥AD.再利用平行线性质得到∠3=∠E和∠1=∠2.因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠2=∠3，最后等量代换得到∠1=∠E.
17．【答案】（1）解：K==.
盒中卡片数字为1、2、3、4、5、6，共6种等可能结果.
当a=1时，K=4-=3，3>2，甲获胜.
当a=2时，K=4-22=0，0≤2，乙获胜.
当a=3时，K=4-=-5，-5≤2，乙获胜.
当a=4时，K=4-=-12，-12≤2，乙获胜.
当a=5时，K=4-=-21，-21≤2，乙获胜.
当a=6时，K=4-=-32，-32≤2，乙获胜.
∴甲获胜的结果只有1种.
∴甲获胜的概率=.
（2）解：小深设计的这个游戏不公平.
理由如下：
结果小于或等于 2的个数为 5，
所以乙获胜的概率
因为
所以小深设计的这个游戏不公平.
（3）可改为：仍从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字为a，计算K=(2+a)(2-a).
当a=1或2时，规定甲获胜；当a=3或4时，规定乙获胜；当a=5或6时，规定丙获胜.
这样甲、乙、丙各有2种获胜结果.
∴三人获胜概率都为=.
∴改后的游戏公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)先用平方差公式化简K=(2+a)(2-a)=4-a2，再把a=1，2，3，4，5，6逐一代入，判断哪些结果大于2.
(2)判断游戏是否公平，要比较双方获胜概率是否相等.甲只有1种获胜结果，乙有5种获胜结果，所以不公平.
(3)三人公平游戏要求三人获胜概率相同.6张卡片等可能出现，可以把6种结果平均分成3组，每人2种结果，则每人获胜概率都是.
18．【答案】（1）解：当n=1时，两个相邻整数为1和2.
平均数为，所以.
平方的平均数为，所以.
∵.
∴M（2）解：
M=[]2=[]2===n2+n+.
N====n2+n+.
（3）解：是，
M-N=(n2+n+）-(n2+n+)=-=.
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律；合并同类项法则及应用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】(1)先根据定义计算两个数的平均数，再平方得到M；再先把两个数分别平方，然后求平均得到N.
(2)把两个相邻整数n和n+1直接代入定义，用完全平方公式展开并合并同类项.
(3)用第(2)问化简后的M、N作差，含n的项完全抵消，只剩常数，所以M-N是固定值.
19．【答案】（1）解：如图 1中，直线 CD 即为所求；
（2）解：如图2中，直线 CD即为所求
（3）解：如图3中，结论： ∠DEB= （x+y) °.
理由：如图 3中，过点 E作 EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠D=∠DEF=x°， ∠B=∠BEF=y°，
∴∠DEB=∠DEF+∠BEF=（x+y)
（4）解：如图 4中， ∠BED=2∠BFD.
理由：设 BF交 CD于点 G， BE 交 CD 与点 M，
∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于 F点，
∴可以假设∠ABF=∠EBF=x， ∠CDF=∠FDE=y，
∵AB∥CD，
∴∠DGB=∠ABF=x， ∠DMB=∠ABM=2x，
∵∠BFD=∠DGB-∠CDF=x-y， ∠DEB=∠DMB-∠EDM=2x-2y=2 （x-y) ，
∴∠DEB=2∠DFB
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；作图-平行线
【解析】【分析】(1)网格作平行线时，只要找出与AB相同的横向和纵向变化规律，再过点C取相同方向的格点即可.
(2)尺规作平行线的核心是作一个角等于已知角，使内错角或同位角相等，从而判定两直线平行.
(3)遇到两条平行线之间一点连接两端的问题，常过中间点作已知平行线的平行线，把一个大角分成两个可利用平行线性质求出的角.
(4)利用角平分线把∠ABE和∠CDE分别设为2x和2y，再结合平行线性质与三角形外角关系，分别表示∠BFD和∠BED，最后比较得到倍数关系.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：原式=
=
=
=
=
=
（4）解：∵m+n=10，mn=9，
∴(m-n)2=(m+n)2-4mn.
∴(m-n)2=102-4×9=100-36=64.
∴m-n=±8.
故答案为：±8.
（5）解：设两个正方形边长分别为m，n.
由图形面积关系可知，阴影部分面积与长方形AEHD的面积之和等于两个正方形纸片面积和的一半.
∵阴影部分面积为6，长方形AEHD的面积为4，
∴两个正方形纸片的面积和=6+4=10.
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】(1)解：左图阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积=.
右图拼成的长方形长为a+b，宽为a-b，所以面积=(a+b)(a-b).
∵两图中阴影部分面积相同，
∴).
故答案为：.
(2)解：四个长为a、宽为b的长方形拼成中间镂空的正方形.
外面大正方形边长为a+b，面积为(a+b)2.
四个长方形面积和为4ab.
中间小正方形边长为a-b，面积为(a-b)2.
∴(.
故答案为：.
(3)解：根据题干所给算式，利用第(1)问得到的平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，把每一项分解成两个因式的乘积后进行约分或简算，即可得到题干所求结果.
故答案为：10.
【分析】(1)同一块阴影部分用两种方法表示面积，一种是大正方形减小正方形，另一种是拼成长方形，由此得到平方差公式.
(2)大正方形面积可以看作4个长方形面积加中间小正方形面积，从而得到完全平方公式的几何表示.
(3)知识迁移题通常把复杂算式转化为平方差公式或完全平方公式，再约分、合并或简算.
(4)已知m+n和mn，求m-n时，用恒等式(m-n)2=(m+n)2-4mn，最后注意平方根有正负两个值.
(5)根据图中阴影部分和长方形AEHD与两个正方形面积之间的分割关系，把已知面积相加即可求出两个正方形纸片的面积和.
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