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九下数学第13周《图形的拆分与重组》
掌握图形解构的基本方法：将其拆分为熟悉的基本图形。
分解策略：通过：连接、延长或截取、作平行或作垂直等方式，将复杂图形转化为基本图形。
运用几何变换优化解构 几何变换（平移、旋转、轴对称）能改变图形位置，从而让分散的条件产生关联。
模型名称 核心特征 典型结论/辅助线思路 常见应用场景
手拉手模型 两个等腰三角形顶点重合，且顶角相等。 可证一对三角形全等，利用旋转思想。
一线三等角模型 一条直线上有三个相等的角（如三个直角）。 可证三角形相似，从而建立比例关系。
半角模型 一个大角（如90°）中包含一个其一半大小的角（如45°）。 通过旋转构造全等，将线段进行转化。
倍长中线模型 题目给出三角形一边的中点或中线。 将中线延长一倍，构造全等三角形，转化边角关系。
切线长模型 从圆外一点引圆的两条切线。 切线长相等；交点与圆心的连线平分两切线夹角且垂直平分两切点间的弦。
相交弦模型 圆内两条弦相交于一点。 交点分每条弦所得两段线段的长度乘积相等（即 PA PB=PC PD）。
切割线定理模型 从圆外一点引圆的切线和割线。 切线长是割线两线段长度的比例中项（即 PT2=PA PB）。
弦切角模型 角的顶点在圆上，一边是切线，另一边是弦。 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数
定点定长（隐形圆）模型 动点到某个定点的距离始终为固定长度。 该动点的运动轨迹是一个圆（隐藏的）。
定长定角模型 一条定线段（弦）对着的动角始终保持不变。 动点的轨迹是以定弦为弦的一段圆弧。
四点共圆模型 四边形对角互补，或一个外角等于其内对角。 四顶点在同一圆上，可利用圆的诸多性质进行角、边的转化和计算。
点圆/线圆最值模型 求圆上一动点到定点或定直线的最大/最小距离。 “一箭穿心”：最值点位于定点与圆心连线（或延长线）与圆的交点上。
解题思维：逆向思维（执果索因）：从题目要证明的结论出发，反向推导需要哪些条件，再去看已知条件能否满足。
标、设、放、列是解决长度计算问题的强大策略。
动态分析：对于动点问题，要抓住图形在运动过程中的不变量（如定长、定角），将动态问题转化为静态瞬间进行分析。
把下列各题拆分为常见的基本图形，然后尝试重组，你能得到哪些新的问题？
1．如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　 　 （用含α的代数式表示）．
3．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 　 　 ．
4．如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　 　 ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝12，D为AC上一点，CD＝6，以C为圆心，CD长为半径作圆，连结BD并延长交⊙O于另一点E，若CE∥AB，则AB的长为 　 　 ．
6．如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连接AC，BC，OC．若∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为　 　 ．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，且AC＝BC，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证CD∥AB；
（2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以边AB上一点O为圆心，作⊙O与边AC相切，若⊙O与边BC只有一个公共点，则OA的取值范围是 　 　 ．
9．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为　 　 ．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C'D'第一次与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F，若BF＝8，则CD的长为 　 　 ．
11．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝9，BC＝6．求PC的长．
12．在四边形ABCD中，∠C＝90°，E是BC上一点，以AE为直径的⊙O经过B，D两点，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，BE＝2，求AE的长．
13．如图，正方形MNPQ的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，BN＝3，CN＝4，则△NCP的内切圆的半径为　 　 ．
14．在△ABC中，.若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径的最大值是　 　 ．
15．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　 　 °．
16．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是 　 　 （结果保留π）．
17．如图，是一圆形铁片（⊙O）平放在一个三棱柱盒子底面（△ABC）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，⊙O的半径是1cm，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 　 　 cm2．
18．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．
（1）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点．
①求证：四边形ABCD是等补四边形；
②过点D作⊙O的切线，分别交BA，BC的延长线于点E，F．求证：BE CF＝BF AE．
（2）下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 　 　 ．
19．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是　 　 ．
20．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　 　 cm．
21．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝7，AC＝5，AD平分∠BAC，P是射线AD上的动点，连接PB、PC，当∠PCA﹣∠PBA取最大值时，则AP的长度为 　 　 ．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　 　 ．
23．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．
24．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y．
（1）若，则y的值是 　 　 ；
（2）求y与x之间的函数表达式；
（3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围．
参考答案与试题解析
一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
1．如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．
【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，
∴AB＝DC＝2，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝BC+CE＝4，
∵EF∥CD，
∴△BCD∽△BEF，
∴，
即，
解得：EF．
二．等腰三角形的性质（共1小题）
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　180°　 （用含α的代数式表示）．
【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC4．
故答案为：4．
四．圆周角定理（共2小题）
4．如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　1　 ．
【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示：
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OB＝4，
∵点D为CD的中点，点E为OA的中点，
∴DE为△AOB的中位线，
∴DEOB＝2，
∴随着点B在⊙O上运动，
点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，
∵点M为CD的中点，点G为CE的中点，
∴GM为△CED的中位线，
∴GMED＝1，
∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径
的圆上运动，
根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM，
∴当AM＝AG+GM时，AM为最大，
即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，
最大值为AG+GM，
如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC，
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OC＝4，
∴OA2+OC2＝42+42＝32，
又∵AC，
∴AC232，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°，
∵点F是OE的中点，点G是CE的中点，
∴GF为△EOC的中位线，
∴GFOC＝2，OFOE＝1，GF∥OC，
∴∠AFG＝∠AOC＝90°，
∴AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2，
由勾股定理得：AG，
∴AG+GM1．
∴AM的最大值为1．
故答案为：1．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝12，D为AC上一点，CD＝6，以C为圆心，CD长为半径作圆，连结BD并延长交⊙O于另一点E，若CE∥AB，则AB的长为 　10.5　 ．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，设AF＝x，如图：
在△ACF中，AF＝x，∠ACB＝30°，
∴AC＝2x，
由勾股定理得：CFx，
∵CD＝6，
∴CE＝CD＝6，AD＝AC﹣CD＝2x﹣6，
∴∠E＝∠CDE，
∵CE∥AB，
∴∠ABD＝∠E，
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴AB＝AD＝2x﹣6，
在Rt△ABF中，AB＝2x﹣6，AF＝x，
由勾股定理得：BF，
∵BC＝12，
∴BF+CF＝12，
即：x＝12，
移项得：12x，
两边平方得：（2x﹣6）2﹣x2，
整理得：48x＝396，
∴x＝8.25，
经检验，x＝8.25是方程的根，
∴AB＝2x﹣6＝2×8.25﹣6＝10.5．
故答案为：10.5．
五．点与圆的位置关系（共1小题）
6．如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连接AC，BC，OC．若∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为　　 ．
【解答】解：如图所示，设BC与⊙O交于点D，连接OA，OD，AD，过点O作OE⊥AD于E，连接CE，
∴OFAE＝4，
在Rt△OFB中，BF2＝OB2﹣OF2＝r2﹣42，
在Rt△CFB中，BF2＝CB2﹣CF2＝（3）2﹣（r+4）2，
∴r2﹣42＝（3）2﹣（r+4）2，
解得：r1＝5，r2＝﹣9（舍去），
∴⊙O的半径为5．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以边AB上一点O为圆心，作⊙O与边AC相切，若⊙O与边BC只有一个公共点，则OA的取值范围是 OA或OA≤5　 ．
【解答】解：如图1，⊙O与BC相切于点E，此时⊙O与边BC只有一个公共点，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴BA5，
设⊙O与AC相切于点D，连接OD、OE，则AC⊥OD，BC⊥OE，
∴∠ADO＝∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△OBE∽△ABC，
∴，，
∴ODOA，OEBO（5﹣OA），
∵OD＝OE，
∴OA（5﹣OA），
解得OA；
如图2，⊙O经过点B，设此时⊙O与AC相切于点H，连接OH，则OB＝OHOA，
∴OA+OA＝5，
解得OA，
∴OB＝5，
∵当0≤OB，⊙O与边BC只有一个公共点，
∴0≤5﹣OA，
∴OA≤5，
综上所述，OA的取值范围是OA或OA≤5，
故答案为：OA或OA≤5．
9．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为　　 ．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
连接OP，OM，
∵PM，PN是⊙O的切线，
∴∠OPM∠MPN，
要∠MPN最大，则∠OPM最大，
∵PM是⊙O的切线，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△PMO中，OM＝ODCD＝2，
∴sin∠OPM，
∴要∠OPM最大，则OP最短，
即OP⊥AE，
如图2，延长DC交直线AE于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∵点E是BC的中点，
∴BEBC＝3，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB＝4，
∵CD是⊙O的直径，
∴OCCD＝2，
∴OG＝OC+CE＝6，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE，
∴△ABE∽△GPO，
∴，
∴，
∴OP，
在Rt△PMO中，PM，
故答案为：．
七．切线的判定与性质（共3小题）
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C'D'第一次与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F，若BF＝8，则CD的长为 　10　 ．
【解答】解：连接OE，延长EO交BF于点M，
∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故答案为：10．
11．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝9，BC＝6．求PC的长．
【解答】解：（1）PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．
∴∠E＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CMBC＝3，
∴AC＝AB＝9，
在Rt△AMC中，AM6，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝6r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即32+（6r）2＝r2，解得r，
∴CE＝2r，OM＝6，
∴BE＝2OM，
∵∠E＝∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴，
即，
∴PC．
∴AE＝2r＝16．
八．三角形的内切圆与内心（共2小题）
13．如图，正方形MNPQ的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，BN＝3，CN＝4，则△NCP的内切圆的半径为　1　 ．
【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形，
∴MN＝NP，∠MNP＝90°，
∴∠BNM+∠CNP＝180°﹣∠MNP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BNM+∠BMN＝90°，
∴∠BMN＝∠CNP，
在△BMN与△CNP中，
，
∴△BMN≌△CNP（AAS），
∴CP＝BN＝3，
又CN2+CP2＝NP2，CN＝4，
∴42+32＝NP2，
∴NP＝5（负值舍去），
∴△NCP的内切圆的半径为，
故答案为：1．
14．在△ABC中，.若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径的最大值是　1　 ．
【解答】解：设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，⊙O与AB、AC、BC分别相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，如图，
则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵BC＝2，
∴BF+CF＝2，
∵OD＝OE，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠OAE＝30°，
∵tan∠OAD＝tan30°，
∴ADODr＝AE，
∴AB+AC＝AD+BD+AE+CE＝2r+2，
∴当r最大时，AB+AC最大，
延长BA至C′，使AC′＝AC，连接CC′，
则∠C′＝∠ACC′，
∵∠C′＝∠ACC′＝∠BAC＝60°，
∴∠C′＝∠ACC′＝30°，
∵BC＝2，
∴点C′在以BC为弦，所对圆周角为30°的圆弧上运动，
作△BCC′的外接圆⊙O′，当BC′为⊙O′的直径，即点A与点O′重合时，AB+AC的值最大，
此时，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∴2r+24，
∴r＝1，
∴△ABC的内切圆⊙O的半径为r的最大值为1，
故答案为：1．
九．正多边形和圆（共1小题）
15．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　72　 °．
【解答】解：连接BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠E108°，
在△ABC中，AB＝BC，∠B＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA36°，
∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°，
∴∠CAE+∠E＝72°+108°＝180°，
∴AC∥DE，
同理AE∥BD，即四边形ABDE是等腰梯形，
∵点F是AB的中点，点G是DE的中点，
∴FG∥AE∥BD，
∴∠CPG＝∠CAE＝72°．
故答案为：72．
十．扇形面积的计算（共2小题）
16．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是 　4π﹣4　 （结果保留π）．
【解答】解：连接CD，
在Rt△ACB中，AB4，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝2，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADCπ×42（2）2＝4π﹣4．
故答案为：4π﹣4．
17．如图，是一圆形铁片（⊙O）平放在一个三棱柱盒子底面（△ABC）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，⊙O的半径是1cm，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 　（）　 cm2．
【解答】解：圆O与AC、BC、BC相切时的角落时到达不了的地方，
由图△ABC∽△EDC，过点E作EF⊥CD交于F点，
设DE＝EC＝10a，CD＝12a，
∴DF＝FC＝6a，EF＝8a，
∵OF×（10a+10a+12a）12a×8a，
∴a，
∴DE＝CE，CD＝4，
∴S4ππ，
∴圆O到达不了的区域面积为（）cm2．
故答案为：（）．
十一．圆的综合题（共1小题）
18．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．
（1）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点．
①求证：四边形ABCD是等补四边形；
②过点D作⊙O的切线，分别交BA，BC的延长线于点E，F．求证：BE CF＝BF AE．
（2）下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 bc ．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
由圆内接四边形性质可得∠B+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，
又∵，
∴AD＝CD，
故四边形ABCD是等补四边形．
②证明：连接OD，则OD⊥EF，
连接AC交OD于点G，如图1，
∵，OD过圆心，
由垂径定理推论可得OD⊥AC，
故AC∥EF，
∴，即BE CF＝BF AE．
（2）解：如图2，连接BD和AC交于点H，
显然，此时四边形ABCD不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，故a错误；
由题意可知，∠DAC＝∠DCA＝∠ABD＝∠DBC，∠BAC＝∠BDC，
从而可证明△ABH∽△DCH，
△ADH∽△BDA，
△DCH∽△DBC，
△ABH∽△DBC，
△BAD∽△BHC，
△ADH∽△BCH，
故b正确；
显然，从BD剪开，得到△ABD和△BDC，两者能拼成等腰三角形，故c正确；
当圆内接等补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角，
但无法证明其为正方形．
故答案为：bc．
十二．轴对称的性质（共1小题）
19．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是　2MN＜4　 ．
【解答】解：连接AM、AN、AP，如图所示．
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，
∴AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∴△MAN等腰直角三角形，
∴MNAMAP，
∴2AP＜4，
∴2MN＜4．
故答案为：2MN＜4．
十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
20．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　　 cm．
【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），
由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD于点F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°，DF3（cm），
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
∵sinB＝sinD，cosB＝cosD，
∴CH＝EHBE，BHBE，
∴BEBE＝5，
∴BEcm，
解法二：延长DA交CE的延长线于点M．
∵AD∥CB，
∴∠M＝∠MCB，
∵∠MCB＝∠MCF＝45°，
∴∠M＝∠MCF＝45°，
∴CF＝FM＝4cm，
∵AD＝BC＝B′C＝5cm，FD＝3cm，
∴AF＝2cm，
∴AM＝2cm，
∵，
∴EB5（cm）．
故答案为：．
十四．相似三角形的判定与性质（共3小题）
21．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝7，AC＝5，AD平分∠BAC，P是射线AD上的动点，连接PB、PC，当∠PCA﹣∠PBA取最大值时，则AP的长度为 　　 ．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝7，AC＝5，AD平分∠BAC，在AB截取AC′＝AC＝5，连接CC′，CP′，
则∠C′AD＝∠CAD，

则BC′＝AB﹣AC′＝7﹣5＝2，
∵AC′＝AC，∠C′AD＝∠CAD，AP＝AP，
∴△C′AP≌△CAP（SAS），
∴∠PCA＝∠PC′A，
∴∠PCA﹣∠PBA＝∠PC′A﹣∠PBA＝∠BPC′，
当∠PCA﹣∠PBA取最大值时，即∠BPC′取最大值，
∵BC′＝2，
∴点P在以BC′为弦的圆上运动，
当AP与圆相切时，∠BPC′最大，此时，（根据“切割线定理”即可求解．）
或如图，取圆心O，连接PO并延长交⊙O于点E，连接EC′，
∵AP是⊙O的切线，EP是⊙O的直径，
∴∠EPA＝90°，∠EC'P＝90°，
∴∠EPC'+∠C'PA＝90°，∠EPC'+∠E＝90°，
∴∠E＝∠C′PA，，
∴∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C′PA，
∵∠A＝∠A，
∴△AC′P∽△APB，
∴，
∴AP2＝AC'×AB＝5×7＝35，
∴，
故答案为：．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　　 ．
【解答】解：∵，
∴设AD＝k，CD＝2k，
∴AC，
∴，
∵∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴（）2．
故答案为：．
23．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．
（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴，即，
∵△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
在正方形ABCD中，∵DA＝DC，
∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，
∴CG5，
∵∠CDG＝90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．
十五．相似三角形的应用（共1小题）
24．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴∠AHO＝∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠OAH，
∴△AOH∽△ABC，
∴，
∴，
如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，
∵OH⊥BD，AD⊥BD，
∴∠OHB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠OBH，
∴△ABD∽△OBH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴1，
解得：OH＝36，
∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，
故选：A．
十六．相似形综合题（共1小题）
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y．
（1）若，则y的值是 　5　 ；
（2）求y与x之间的函数表达式；
（3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵PF⊥AF，
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