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北师大版数学八（上）第七章 命题与证明（培优卷）
一、单选题
1．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（　　）.
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
【分析】能够运用所学知识加以拓展，从而判断不同情况下对顶角的对数．
2．如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①、若∠1＝∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴DB∥EC，
∴∠D＝∠4，故①正确；
②、若∠C＝∠D，不能推出∠4＝∠C，故②错误；
③、若∠A＝∠F，则DF∥AC，不能推出∠1＝∠2，故③错误；
④、若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，
∴∠4=∠D，
∴∠C=∠4.
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F，故④正确；
⑤、若∠C＝∠D，∠A＝∠F，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1＝∠2，故⑤正确.
综上可得：①④⑤正确.
故答案为：C.
【分析】若∠1＝∠2，则∠2=∠3，推出DB∥EC，根据平行线的性质可判断①；同理判断②③；若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，由平行线的性质可得∠4=∠D，推出∠C=∠4，进而推出DF∥AC，得∠A=∠F，即可判断④；根据内角和定理结合⑤中的条件可得∠2=∠3，由对顶角的性质可得∠1=∠3，进而可判断⑤.
3．如图，平分平分，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点E作EMIIAB，过点F作FNIIAB，
∵AB∥CD，
∴EMIIABIICDIIFN，
∵BF平分 DF平分
故选：C.
【分析】首先过点E作EMIIAB， 过点F作FNIIAB， 由AB∥CD， 即可得EM∥AB∥CD∥FN， 然后根据两直线平行，同旁内角互补，由 即可求得 又由BF平分DF平分 根据角平分线的性质，即可求得 的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得的度数.
4．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
【答案】B
【知识点】推理与论证；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860.
故答案为：B.
【分析】根据“和谐数”的定义得出(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，从而求出k值，再计算即可.
5．下列语句正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】根据对顶角的定义依次分析各项即可判断。
【解答】A.所有的直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；
B.所有的直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；
C.不相等的角一定不是对顶角，本选项正确；
D.有公共点且和为180°的两个角是邻补角，故本选项错误。
故选C.
【点评】解答本题的关键是掌握好对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点。反向延长线等。
6．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：小组赛一共需要比赛场，
由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，
当甲是9分时，乙、丙、丁分别是7分、5分、3分，
因为比赛一场最高得分3分，
所以4个队的总分最多是6×3=18分，
而9+7+5+3>18，故不符合；
当甲是7分时，乙、丙、丁分别是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合题意，
因为每人要参加3场比赛，
所以甲是2胜一平，乙是1胜2平，丁是1平2负，
则甲胜丁1次，胜丙1次，与乙打平1次，
因为丙是3分，所以丙只能是1胜2负，
乙另外一次打平是与丁，
则与乙打平的是甲、丁
故答案是B。
【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛3场，要是3场全胜得最高9分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数”，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。
二、填空题
7．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知，若，且（为常数，且为正数），则的值为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∵
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义结合已知推出，由同旁内角互补，两直线平行判定，过点作，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得HG∥AC，根据二直线平行，同旁内角互补、二直线平行，内错角相等及角的和差即可求出，，则，，通过观察即可得出，化简整理得2n=m，从而即可得出答案.
8．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，
⑴当时，　 　度；
⑵如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时　 　度．
【答案】120；160
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】(1) 如图2， 延长CB， HG， 相交于点K，
故答案为： 120；
(2)如图3， 延长BC， FE， 相交于点P， 则可得 延长AB交FE的延长线于点Q，
故答案为： 160.
【分析】(1)延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得 再利用AB∥GH， 可得 的度数，从而可求 的度数；
(2)延长BC， FE， 相交于点P， 则可得 P，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得 ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数.
9．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动.设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长度，xn表示第ns时机器人在数轴上的位置所对应的数.有下列结论：①；②1；③；④.其中正确的结论是　 　.(填序号)
【答案】①②④
【知识点】探索数与式的规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：由题意，可知机器人每5s 前进1个单位长度.前5s 机器人在数轴上的位置所对应的数分别为1，2，3，2，1，故①②正确；
20……4，x104=20+2=22，故③错误；
，故④正确.
故填：①②④.
【分析】 先找出机器人运动时，哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
10．地铁某换乘站设有编号为 ， ， ， ， 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口， 疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 ， ， ， ， ，
疏散乘客时间 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　 　．
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，
同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，
得到D疏散乘客比A快；
同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，
同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，
得到A疏散乘客比E快；
同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，
同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，
得到A疏散乘客比C快；
同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，
同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，
得到D疏散乘客比B快．
综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．
故答案为：D．
【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．
11．如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AEK+∠HKE=180°，
∴AB∥KH，
∵AB∥CD，
∴CD∥KH，故①正确；
∵AB∥KH，CD∥KH，
∴∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，
∴∠BEK+∠DFK=∠EKH+∠HKF=∠EKF，
∵KG平分∠EKG，
∴∠EKF=2∠EKG，
∴∠BEK+∠DFK=2∠EKG，故②正确；
根据题意得：∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，
∵KG平分∠EKF，
∴∠FKG=∠EKG，
∵∠FKG=∠FKH+∠GKH=∠DFK+∠GKH，∠EKG=∠BKH-∠GKH=∠BEK-∠GKH
∴∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，
∴∠BEK-∠DFK=2∠GKH≠∠GKH，故③不正确；
根据题意得：∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，
∴∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，
将上式进行整理，得∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG=180°，
∴∠BAC+∠AGK-∠GKF+∠DFK=180°，故④正确，
综上所述，①②④正确．
故答案为：①②④
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行判断①；根据两直线平行，内错角相等即可得到∠BEK+∠DFK=∠EKF判断②；利用角平分线的定义可得∠FKG=∠EKG，即可得到∠BEK-∠DFK=2∠GKH判断③；然后根据∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG解答判断④即可解答．
12．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　 　，最小是　 　．
【答案】51；26
【知识点】几何体的展开图；推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，
最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，
故答案为：51，26．
故答案为：51，26．
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4.5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值.
三、计算题
13．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（3）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝　 　．
（5）算一算：＝　 　．
【答案】（1）；4
（2）C
（3）（﹣）3；54
（4）（）n﹣2
（5）-2
【知识点】有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）
1×2×2=4；
故答案为：
（2）
故选： C.
（3）
故答案为：
（4）
故答案为：
原式
=-2.
故答案为：-2.
【分析】(1)根据规定运算，直接计算即可；
(2)根据圈n次方的意义，计算判断得结论；
(3)根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
(4)根据圈n次方的规定和(3)的结果，综合可得结论；
(5)先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可.
四、解答题
14．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
【答案】解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论。
15．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分平分，且与交于点F，当时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分平分，且交于点F，设，用含有α，β的代数式表示 的补角．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；

（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；

（3）解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．

【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；铅笔头模型
【解析】【分析】（1）过点E作，即可得到，进而可得，，，进而得到结论；
（2）过点F作，即可得到，进而可得，，，然后根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差解答即可；
（3）如图，过点F作，得到，即可得到，，进而可得，再根据角平分线的额定义得到，，然后解答即可．
（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
16．如图，直线，点E，F分别在直线上，射线出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒．
（1）填空：射线旋转的度数为　 　度，射线旋转的度数为　 　度；（用含t的代数式表示）；
（2）若，求此时t的值．
【答案】（1）；
（2）解：①如图1，当时，延长交于点M，
∵，
∴
∵
∴，
∴
解得
如图2，当时，设交于点N，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得，
综上可知，若，此时t的值为1或4．
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得，射线FH旋转的度数为40t度，射线EG旋转的度数为((120+20t)度；
故答案为： 40t，(120+20t)；
【分析】(1)根据旋转的时间和速度列代数式即可；
(2)分两种情况画出图形，利用平行线的性质表示出角度，列一元一次方程并解方程即可.
1 / 1北师大版数学八（上）第七章 命题与证明（培优卷）
一、单选题
1．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（　　）.
A．7 B．6 C．5 D．4
2．如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，平分平分，则（　　）
A． B． C． D．
4．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
5．下列语句正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角
6．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
二、填空题
7．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知，若，且（为常数，且为正数），则的值为　 　．
8．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，
⑴当时，　 　度；
⑵如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时　 　度．
9．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动.设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长度，xn表示第ns时机器人在数轴上的位置所对应的数.有下列结论：①；②1；③；④.其中正确的结论是　 　.(填序号)
10．地铁某换乘站设有编号为 ， ， ， ， 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口， 疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 ， ， ， ， ，
疏散乘客时间 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　 　．
11．如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是　 　．（填序号）
12．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　 　，最小是　 　．
三、计算题
13．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（3）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝　 　．
（5）算一算：＝　 　．
四、解答题
14．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
15．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分平分，且与交于点F，当时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分平分，且交于点F，设，用含有α，β的代数式表示 的补角．
16．如图，直线，点E，F分别在直线上，射线出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒．
（1）填空：射线旋转的度数为　 　度，射线旋转的度数为　 　度；（用含t的代数式表示）；
（2）若，求此时t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
【分析】能够运用所学知识加以拓展，从而判断不同情况下对顶角的对数．
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①、若∠1＝∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴DB∥EC，
∴∠D＝∠4，故①正确；
②、若∠C＝∠D，不能推出∠4＝∠C，故②错误；
③、若∠A＝∠F，则DF∥AC，不能推出∠1＝∠2，故③错误；
④、若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，
∴∠4=∠D，
∴∠C=∠4.
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F，故④正确；
⑤、若∠C＝∠D，∠A＝∠F，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1＝∠2，故⑤正确.
综上可得：①④⑤正确.
故答案为：C.
【分析】若∠1＝∠2，则∠2=∠3，推出DB∥EC，根据平行线的性质可判断①；同理判断②③；若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，由平行线的性质可得∠4=∠D，推出∠C=∠4，进而推出DF∥AC，得∠A=∠F，即可判断④；根据内角和定理结合⑤中的条件可得∠2=∠3，由对顶角的性质可得∠1=∠3，进而可判断⑤.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点E作EMIIAB，过点F作FNIIAB，
∵AB∥CD，
∴EMIIABIICDIIFN，
∵BF平分 DF平分
故选：C.
【分析】首先过点E作EMIIAB， 过点F作FNIIAB， 由AB∥CD， 即可得EM∥AB∥CD∥FN， 然后根据两直线平行，同旁内角互补，由 即可求得 又由BF平分DF平分 根据角平分线的性质，即可求得 的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得的度数.
4．【答案】B
【知识点】推理与论证；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860.
故答案为：B.
【分析】根据“和谐数”的定义得出(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，从而求出k值，再计算即可.
5．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】根据对顶角的定义依次分析各项即可判断。
【解答】A.所有的直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；
B.所有的直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；
C.不相等的角一定不是对顶角，本选项正确；
D.有公共点且和为180°的两个角是邻补角，故本选项错误。
故选C.
【点评】解答本题的关键是掌握好对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点。反向延长线等。
6．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：小组赛一共需要比赛场，
由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，
当甲是9分时，乙、丙、丁分别是7分、5分、3分，
因为比赛一场最高得分3分，
所以4个队的总分最多是6×3=18分，
而9+7+5+3>18，故不符合；
当甲是7分时，乙、丙、丁分别是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合题意，
因为每人要参加3场比赛，
所以甲是2胜一平，乙是1胜2平，丁是1平2负，
则甲胜丁1次，胜丙1次，与乙打平1次，
因为丙是3分，所以丙只能是1胜2负，
乙另外一次打平是与丁，
则与乙打平的是甲、丁
故答案是B。
【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛3场，要是3场全胜得最高9分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数”，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。
7．【答案】
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∵
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义结合已知推出，由同旁内角互补，两直线平行判定，过点作，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得HG∥AC，根据二直线平行，同旁内角互补、二直线平行，内错角相等及角的和差即可求出，，则，，通过观察即可得出，化简整理得2n=m，从而即可得出答案.
8．【答案】120；160
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】(1) 如图2， 延长CB， HG， 相交于点K，
故答案为： 120；
(2)如图3， 延长BC， FE， 相交于点P， 则可得 延长AB交FE的延长线于点Q，
故答案为： 160.
【分析】(1)延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得 再利用AB∥GH， 可得 的度数，从而可求 的度数；
(2)延长BC， FE， 相交于点P， 则可得 P，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得 ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数.
9．【答案】①②④
【知识点】探索数与式的规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：由题意，可知机器人每5s 前进1个单位长度.前5s 机器人在数轴上的位置所对应的数分别为1，2，3，2，1，故①②正确；
20……4，x104=20+2=22，故③错误；
，故④正确.
故填：①②④.
【分析】 先找出机器人运动时，哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
10．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，
同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，
得到D疏散乘客比A快；
同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，
同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，
得到A疏散乘客比E快；
同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，
同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，
得到A疏散乘客比C快；
同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，
同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，
得到D疏散乘客比B快．
综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．
故答案为：D．
【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．
11．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AEK+∠HKE=180°，
∴AB∥KH，
∵AB∥CD，
∴CD∥KH，故①正确；
∵AB∥KH，CD∥KH，
∴∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，
∴∠BEK+∠DFK=∠EKH+∠HKF=∠EKF，
∵KG平分∠EKG，
∴∠EKF=2∠EKG，
∴∠BEK+∠DFK=2∠EKG，故②正确；
根据题意得：∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，
∵KG平分∠EKF，
∴∠FKG=∠EKG，
∵∠FKG=∠FKH+∠GKH=∠DFK+∠GKH，∠EKG=∠BKH-∠GKH=∠BEK-∠GKH
∴∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，
∴∠BEK-∠DFK=2∠GKH≠∠GKH，故③不正确；
根据题意得：∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，
∴∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，
将上式进行整理，得∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG=180°，
∴∠BAC+∠AGK-∠GKF+∠DFK=180°，故④正确，
综上所述，①②④正确．
故答案为：①②④
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行判断①；根据两直线平行，内错角相等即可得到∠BEK+∠DFK=∠EKF判断②；利用角平分线的定义可得∠FKG=∠EKG，即可得到∠BEK-∠DFK=2∠GKH判断③；然后根据∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG解答判断④即可解答．
12．【答案】51；26
【知识点】几何体的展开图；推理与论证
【解析】【解答】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，
最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，
故答案为：51，26．
故答案为：51，26．
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4.5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值.
13．【答案】（1）；4
（2）C
（3）（﹣）3；54
（4）（）n﹣2
（5）-2
【知识点】有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）
1×2×2=4；
故答案为：
（2）
故选： C.
（3）
故答案为：
（4）
故答案为：
原式
=-2.
故答案为：-2.
【分析】(1)根据规定运算，直接计算即可；
(2)根据圈n次方的意义，计算判断得结论；
(3)根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
(4)根据圈n次方的规定和(3)的结果，综合可得结论；
(5)先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可.
14．【答案】解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论。
15．【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；

（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；

（3）解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．

【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；铅笔头模型
【解析】【分析】（1）过点E作，即可得到，进而可得，，，进而得到结论；
（2）过点F作，即可得到，进而可得，，，然后根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差解答即可；
（3）如图，过点F作，得到，即可得到，，进而可得，再根据角平分线的额定义得到，，然后解答即可．
（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
16．【答案】（1）；
（2）解：①如图1，当时，延长交于点M，
∵，
∴
∵
∴，
∴
解得
如图2，当时，设交于点N，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得，
综上可知，若，此时t的值为1或4．
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得，射线FH旋转的度数为40t度，射线EG旋转的度数为((120+20t)度；
故答案为： 40t，(120+20t)；
【分析】(1)根据旋转的时间和速度列代数式即可；
(2)分两种情况画出图形，利用平行线的性质表示出角度，列一元一次方程并解方程即可.
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