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八下数学第13周《分式方程》
【知识梳理】必做！！！！
1.等式的性质1
2.等式的性质2
3.求方程ax=b的解
分式方程有增根含义是：
为什么分式方程会产生增根？
分式方程无解的含义是：
【课前热身】
1．解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）
2．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣12且k≠﹣3 B．k＞﹣12
C．k＜﹣12且k≠﹣3 D．k＜﹣12
3．分式与互为相反数，则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
4．若分式方程无解，则k的值为（　　）
A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2
5．如图，y1，y2分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
6．A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
7．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的值为 　 　．
9．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是　 　．
10．将，A、B为非零自然数，则A+B最大值是 　 　．
11．若关于x的分式方程＝有增根，则实数m的值是 　 　．
12．某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x本，根据题意，列方程为 　 　．
13．小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去B地．小刚骑自行车，小强步行，小刚的速度是小强的2倍．若小强比小刚早1min从A地出发，晚5min到达B地，则小强整个行程所用的时间为 　 　．
14．解下列分式方程．
（1）； （2）．
15．甲乙两个班分别接到一项植树任务，甲班需植树100棵，乙班需植树90棵．已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，且甲班完成任务所用的天数比乙班少一天．求甲班平均每天植树多少棵？
16．观察下列等式：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣
将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝
（1）猜想并写出：＝　 　
（2）分式方程++＝1的解是　 　．
【典型例题】
1.关于含参方程的研究
若解关于x的分式方程
①会产生增根，求m的值．②解为正数，求m的范围；③解不大于0，求m的范围；
④解小于-1，求m的范围；⑤无解，求m的值．
2．关于换元法
（换元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8＝0
解：设x2﹣3x＝y则原方程可化为y2﹣2y﹣8＝0
解得：y1＝﹣2，y2＝4
当y＝﹣2时，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1
当y＝4时，x2﹣3x＝4，解得x1＝4，x2＝﹣1
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝4，x4＝﹣1，
（1）（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4＝0．
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）．
（2）x2﹣3x+5+＝0
3.先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为x1＝2，；
方程的解为x1＝3，；
方程的解为x1＝4，；…
阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
（1）根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是 　 　；
（2）根据材料二将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式x+＝　 　+　 　，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是 　 　；
（3）利用上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
4．随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
5．一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了b天完成，其中a、b均为正整数，且a＜46，b＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
【巩固练习】
1．若在解关于x的方程时，会产生增根，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
2．若分式方程无解，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
3．甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
4．为了丰富学生社会实践活动经历，某中学组织学生乘车去距学校43km的慕俄格古城参观学习，回程的平均速度比去程的平均速度快10km/h，回程路上所花时间比去程节省了，设去程的平均速度为x km/h，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若关于x的方程无解，则m的值是　 　．
6．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？
7．某公司研发1000件新产品，需要精加工后才能投放市场．现在甲、乙两个工厂加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天，而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.25倍，公司需付甲工厂加工费用每天100元，乙工厂加工费用每天125元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）两个工厂同时合作完成这批产品，共需付加工费多少元？
2﹣k＝0，k＝2，
当k＝1时，原方程为：，
2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，
2x﹣4+1﹣x+1＝0，
x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴k＝1时，原方程无解；
综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，
故选：C．
5．如图，y1，y2分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.1）元，
依题意得：＝．
故选：D．
6．A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，得：﹣＝．
故选：A．
7．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间为，乘坐普通动车组列车所用的时间为：，
所以可列方程为：，
故选：B．
8．已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的值为 　1，2，4，5　．
【解答】解：去分母，得：
m+2（x﹣1）＝3，
移项，合并同类项，得：
x＝．
∵原分式方程有可能产生增根x＝1，
∴．
∴．
解得：m≤5且m≠3．
∵m为正整数，
∴m＝1，2，4，5．
故答案为：1，2，4，5．
9．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是　3或1　．
【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，
整理，得：（a﹣1）x＝2，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝2，
解得：a＝3；
当整式方程无解时，a＝1，
故答案为：3或1．
10．将，A、B为非零自然数，则A+B最大值是 　66　．
【解答】解：∵求A+B的最大值，就是使A和B尽量大，
∴尽量小，且大于并接近，这样尽量小，
∵最接近，分子为1，分母为自然数，且大于的分数为，
不防设＝，此时A＝6，
则＝﹣＝，此时B＝60，
∴A+B＝6+60＝66，
合并同类项得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，
所以，x＝1是原方程的增根，
所以，原分式方程无解．
15．甲乙两个班分别接到一项植树任务，甲班需植树100棵，乙班需植树90棵．已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，且甲班完成任务所用的天数比乙班少一天．求甲班平均每天植树多少棵？
【解答】解：设甲班平均每天植树x棵，则：
＝﹣1．
整理，得x2+5x﹣500＝0．
解得x1＝20，x2＝﹣25（舍去）．
经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：甲班平均每天植树20棵．
16．先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为x1＝2，；
方程的解为x1＝3，；
方程的解为x1＝4，；…
阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
（1）根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是 　x1＝a，x2＝　；
（2）根据材料二将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式x+＝　x+1　+　　，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是 　x1＝2，x2＝﹣　；
（3）利用上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
【解答】解：（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝；
（2）x+
＝x+1﹣1+
＝x+1+
＝（x+1）+；
则，
（x+1）+＝3+，
∴x+1＝3或x+1＝，
∴x1＝2，x2＝﹣，
经检验：x1＝2，x2＝﹣是原方程的根；
故答案为：x+1，，x1＝2，x2＝﹣；
（3），
＝a+，
＝a+，
（2x﹣3）+＝a+，
∴2x﹣3＝a或2x﹣3＝．
∴x1＝，x2＝．
经检验：x1＝，x2＝是原方程的根．
17．随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
【解答】解：（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）元，
由题意得：，
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6 是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8，
答：甲型充电桩的单价为0.8元，乙型充电桩的单价为0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为 （30﹣m）个，
由题意得：30﹣m≤2m，
解得：m≥10，
设所需费用为w元，
由题意得：w＝0.8m+0.6×（30﹣m）＝0.2m+18，
∵0.2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝10时，w取得最小值，
此时，30﹣m＝30﹣10＝20，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．
19．一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了b天完成，其中a、b均为正整数，且a＜46，b＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
根据题意得：++＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工作需要80天．
（2）根据题意得：+＝1，
整理得：b＝80﹣a．
∵a、b均为正整数，且a＜46，b＜52，
∴80﹣a＜52，且a为3的倍数，
∴42＜a＜46，
∴a＝45，b＝50．
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
20．若在解关于x的方程时，会产生增根，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+7+2（x﹣1）＝m+5，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1．
当x＝1时，1+7＝m+5，
∴m＝3．
故选：A．
21．若分式方程无解，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【解答】解：去分母，得3x﹣a+x＝2（x﹣2），
去括号、移项、合并同类项，得2x＝a﹣4，
两边同时除以2，得x＝．
若原分式方程无解，则x2﹣2x＝0或x﹣2＝0或x＝0，
解得x＝0或2．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）两个工厂同时合作完成这批产品，共需付加工费多少元？
【解答】解：（1）设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工1.25x件新产品，由题意得：
，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的根．
1.25x＝1.25×20＝25．
答：甲、乙两个工厂分别每天加工20，25件新产品；
（2）由题意，得
＝5000（元）．
答：两个工厂同时合作完成这批产品，共需付加工费5000元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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