资源简介

2025-2026 学年第二学期期中八年级数学参考样题
本试题分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分。第 Ⅰ 卷共 2 页，满分为 40 分；第 Ⅱ 卷共 4 页，满分为 110 分。本试题共 6 页，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
注意事项：第 Ⅰ 卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施。以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.x(x 2)=x2 2x B. (x+1)2=x2+2x+1 C. x+2=x(1+) D. x2 4=(x+2)(x 2)
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，请添加一组条件，使四边形 ABCD是平行四边形，以下添加条件不正确的是（ ）
A. AB=CD，AD=BC B. AB=CD，AB∥CD C. AO=CO，BO=DO D. AB∥CD，AD∥BC
5.在平面直角坐标系中，线段 A′B′是由线段 AB经过平移得到的，若点 A(2, 5)的对应点A′的坐标为 ( 1, 3)，则点 B( 1,1)的对应点 B′的坐标是（ ）
A. ( 2,3) B. (2,3) C. ( 4, 1) D. ( 4,3)
6.已知点 A( 6, 9)关于 x轴的对称点为 B(m,n)，则多项式 x2+mx+n可因式分解为（ ）
A.(x 3)2 B.(x+3)2 C.(x 6)2 D.(x 2)(x 3)
7.下列说法正确的是（ ）
A. 如果一个正多边形的边数增加 1，内角和与外角和均增加 180
B. 分式与的最简公分母是2x2y2
C. 当分式值为 0 时，m=±4
D. 三角形的外角可能小于它的内角
8.若多项式 9x2+12x+m可以用完全平方公式分解因式，则 m的值为（ ）
A. 4 B. ±6 C. 2 D. 4
9.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是 AD、BC边的中点，G、H两点在对角线 BD上，且 BG=DH，则下列结论中不正确的是（ ）
A. FG⊥BD B. GF=EH C. EF与 BD互相平分 D. ∠DEH=∠BFG
10.如图，在 Rt△ABC中，AC=BC，G为 AB的中点，直角 ∠MGN绕点 G旋转，它的两条边分别交 CA、CB的延长线于点 E、F，若 AE=6，BF=10时，EF的长为（ ）
A. 10 B.4 C. 2 D. 2
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若分式 有意义，则 x应满足的条件是 ____________ 。
12.分解因式：a2 4b2=____________ 。
13.如图，将 △ABC沿 BC方向平移到 △DEF的位置，若 EF=5，CE=2，则 AD的长为 ______ 。
14.关于 x的分式方程 +=2有增根，则 m的值是 ____________ 。
15.如图，在平行四边形ABCD中，点 E是对角线AC上一动点，过点 E作 AC的垂线，交边 AD于点 P，交边 BC于点 Q，连接 PC、AQ，若 AC=6，PQ=4，则 PC+AQ的最小值为 ____________ 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）分解因式：(1) 8m2n+2mn (2) 2x3y+4x2y2+2xy3
17.（7 分）先化简，再求值：( 1)÷，然后再从 1,2,3 中选一个合适的数代入求值。
18.（7 分）解方程：(1)+2= (2) =1
19.（8 分）如图，点 E、F在 BD上，且 AE=CF，BF=DE，∠AEB=∠CFD，连接 AD、BC。求证：四边形 ABCD是平行四边形。
20.（8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,2)，B(0,1)，C(1, 1)。
(1) 画出将 △ABC向左平移 4 个单位后得到的图形 △A1B1C1；
(2) 画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转 180 后得到的图形△A2B2C；
(3) 若在平面内有一点 D，当以 A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点 D的坐标。
21.（9 分）如图，将 △ABC绕点 A逆时针旋转一个角度 α，得到 △ADE，点 B的对应点 D恰好落在 BC边上，且点 A,B,E在同一条直线上。
(1) 求证：DA平分 ∠BDE；
(2) AC与 DE交于点 O，∠AOE=95 ，求旋转角 α的度数。
22.（10 分）今年 4 月 23 日是第 31 个世界读书日。某中学举办 “书香润心灵 阅读伴成长” 的主题活动。学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装。
(1) 管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵 25 元。花费 3000 元购买鲁迅文集（套）的数量与花费 4500 元购买四大名著（套）的数量相同。求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
(2) 若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共 30 套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多 4 套，总费用不超过 1960 元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
23.（10 分）【阅读材料】
我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2 2ab+b2叫做完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解。
例如：x2+4x+3=x2+4x+4 1（此处可看作在原式上添加 “+4 4，也可看作将 3 拆分为 “+4 1”）=(x+2)2 12=(x+2+1)(x+2 1)=(x+3)(x+1)。
【解决问题】
(1) 根据材料，将 x2 6x 16分解因式；
(2) 根据材料，将 x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；
(3) 已知 a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足 a2+b2 4a 2b+5=0，求该等腰三角形的周长。
24.（12 分）如果两个分式 M与 N的和为常数 k，且 k正整数，则称 M与 N互为 “幸福分式”，常数 k称为 “幸福值”。如分式 M=，N=，M+N==15，则 M与 N互为 “幸福分式”，“幸福值” k=15。
(1) 已知分式 A=，B=，判断 A与 B是否互为 “幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出 “幸福值” k；
(2) 已知分式 C=，D=，C与 D互为 “幸福分式”，且 “幸福值” k=5，
① 求 M=____________（用含 x的式子表示）；
② 若 x为正整数，且分式 D的值为正整数，求 x的值；
(3) 若分式 E=，F=（b、c为整数且 a=b+c），E与 F互为 “幸福分式”，且 “幸福值” k=5，求 a 的值。
25.（12 分）阅读：
材料一：含 30 角的直角三角形，30 角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
完成以下问题：在 △ABC中，∠BAC=120 ，点 D是边 BC上的一点。
(1) 已知 AB=AC，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120 得到线段 AE，连接 CE、DE。
① 如图 1，△ABD与 △ACE是否全等？____（填 “是” 或 “否”），若 ∠DEC=90 ，则
=____；
② 如图 2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60 ，交边 BC于点 F，若 CF=4，BC=10，求 DF的长；
(2) 如图 3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120 得到线段 AE，连接 CE，点 M是边 AB上一点，连接 CM，满足 ∠ACE=∠AMC，已知 CE=6，AM=4，求 BM的长。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施。以下交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ D ）
A.x(x 2)=x2 2x B. (x+1)2=x2+2x+1 C. x+2=x(1+) D. x2 4=(x+2)(x 2)
3.下列分式是最简分式的是（ B ）
A. B. C. D.
4.如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，请添加一组条件，使四边形 ABCD是平行四边形，以下添加条件不正确的是（ B ）
A. AB=CD，AD=BC B. AB=CD，AB∥CD C. AO=CO，BO=DO D. AB∥CD，AD∥BC
5.在平面直角坐标系中，线段 A′B′是由线段 AB经过平移得到的，若点 A(2, 5)的对应点A′的坐标为 ( 1, 3)，则点 B( 1,1)的对应点 B′的坐标是（ D ）
A. ( 2,3) B. (2,3) C. ( 4, 1) D. ( 4,3)
6.已知点 A( 6, 9)关于 x轴的对称点为 B(m,n)，则多项式 x2+mx+n可因式分解为（ A ）
A.(x 3)2 B.(x+3)2 C.(x 6)2 D.(x 2)(x 3)
7.下列说法正确的是（ D ）
A. 如果一个正多边形的边数增加 1，内角和与外角和均增加 180
B. 分式与的最简公分母是2x2y2
C. 当分式值为 0 时，m=±4
D. 三角形的外角可能小于它的内角
8.若多项式 9x2+12x+m可以用完全平方公式分解因式，则 m的值为（ D ）
A. 4 B. ±6 C. 2 D. 4
9.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是 AD、BC边的中点，G、H两点在对角线 BD上，且 BG=DH，则下列结论中不正确的是（ A ）
A. FG⊥BD B. GF=EH C. EF与 BD互相平分 D. ∠DEH=∠BFG
10.如图，在 Rt△ABC中，AC=BC，G为 AB的中点，直角 ∠MGN绕点 G旋转，它的两条边分别交 CA、CB的延长线于点 E、F，若 AE=6，BF=10时，EF的长为（ C ）
A. 10 B.4 C. 2 D. 2
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若分式 有意义，则 x应满足的条件是 _____x≠﹣3_______ 。
12.分解因式：a2 4b2=_____（a+2b）（a﹣2b）_______ 。
13.如图，将 △ABC沿 BC方向平移到 △DEF的位置，若 EF=5，CE=2，则 AD的长为 ___3___ 。
14.关于 x的分式方程 +=2有增根，则 m的值是 ____________ 。
15.如图，在平行四边形ABCD中，点 E是对角线AC上一动点，过点 E作 AC的垂线，交边 AD于点 P，交边 BC于点 Q，连接 PC、AQ，若 AC=6，PQ=4，则 PC+AQ的最小值为 _____2_______ 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）分解因式：(1) 8m2n+2mn (2) 2x3y+4x2y2+2xy3
=2mn（4m+1） =2xy（x2+2xy+y2）
=2xy（x+y）2
17.（7 分）先化简，再求值：( 1)÷，然后再从 1,2,3 中选一个合适的数代入求值。
解原式=·
=
∵x﹣2≠0，x﹣1≠0
∴x≠2且x≠1
∴x=3代入得
18.（7 分）解方程：(1)+2= (2) =1
解：（1）1+2(x 2)=3
1+2x 4=3
2x=6
x=3
检验：把 x=3代入 x 2≠0，
∴方程的解为 x=3。
（2）2x(2x+5) 2(2x 5)=(2x+5)(2x 5)
4x2+10x 4x+10=4x2 25
6x= 35
x=
检验：当 x= 时，(2x+5)(2x 5)≠0，
∴x= 是原分式方程的解
19.（8 分）如图，点 E、F在 BD上，且 AE=CF，BF=DE，∠AEB=∠CFD，连接 AD、BC。求证：四边形 ABCD是平行四边形。
证明：
∵BF=DE
∴BF EF=DE EF
∴BE=DF

在 △ABE和 △CDF中，
∴△ABE≌△CDF (SAS)
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF
∴AB∥CD
∴四边形 ABCD是平行四边形。
20.（8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,2)，B(0,1)，C(1, 1)。
(1) 画出将 △ABC向左平移 4 个单位后得到的图形 △A1B1C1；
(2) 画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转 180 后得到的图形△A2B2C；
(3) 若在平面内有一点 D，当以 A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点 D的坐标。
（1）（2）如图
（3） (2,4),(4,0),(-2,-2)
21.（9 分）如图，将 △ABC绕点 A逆时针旋转一个角度 α，得到 △ADE，点 B的对应点 D恰好落在 BC边上，且点 A,B,E在同一条直线上。
(1) 求证：DA平分 ∠BDE；
(2) AC与 DE交于点 O，∠AOE=95 ，求旋转角 α的度数。
(1) 证明：
∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE
∴∠ADE=∠B, AD=AB
∴∠ADB=∠B
∴∠ADE=∠ADB
∴DA 平分 ∠BDE
(2) 解：(2)解:∵∠AOE=95°
∴在△AOE中, ∠E+∠CAE=85
∵∠CAE=∠C+∠B
∴∠E+∠C+∠B=85
由旋转得∠C=∠E，
∴2∠E+∠B=85°①
∵∠ADE=∠B,∠ADB=∠B
在△BDE中，∠E+3∠B=180°②
由①②解得，∠E=15 ，∠B=55
∴∠CAE=70
即旋转角 α的度数是 70
。
22.（10 分）今年 4 月 23 日是第 31 个世界读书日。某中学举办 “书香润心灵 阅读伴成长” 的主题活动。学校图书馆计划订购一批鲁迅文集和四大名著套装。
(1) 管理员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵 25 元。花费 3000 元购买鲁迅文集（套）的数量与花费 4500 元购买四大名著（套）的数量相同。求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
(2) 若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共 30 套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多 4 套，总费用不超过 1960 元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
(1) 设鲁迅文集（套）单价为 x元，四大名著（套）单价为 (x+25)元。
得=
解得x=50
检验：x=50是方程的解，且符合题意。
x+25=50+25=75
答：鲁迅文集单价是 50 元，四大名著单价是 75 元。
(2) 设购买鲁迅文集 a套，则购买四大名著 (30 a)套。
得
解得：11.6≤a≤13
∵ a为正整数，
∴ a=12或 13。
两种方案：
① 购买鲁迅文集 12 套，四大名著 18 套；
② 购买鲁迅文集 13 套，四大名著 17 套。
23.（10 分）【阅读材料】
我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2 2ab+b2叫做完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解。
例如：x2+4x+3=x2+4x+4 1（此处可看作在原式上添加 “+4 4，也可看作将 3 拆分为 “+4 1”）=(x+2)2 12=(x+2+1)(x+2 1)=(x+3)(x+1)。
【解决问题】
(1) 根据材料，将 x2 6x 16分解因式；
(2) 根据材料，将 x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；
(3) 已知 a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足 a2+b2 4a 2b+5=0，求该等腰三角形的周长。
(1)x2 6x 16
=(x2 6x+9) 25
=(x 3)2 52
=(x 3 5)(x 3+5)
=(x 8)(x+2)
(2)x2+2xy+y2+10x+10y+16
=[(x+y)2+10(x+y)+25] 9
=(x+y+5)2 32
=(x+y+5 3)(x+y+5+3)
=(x+y+2)(x+y+8)
(3)a2+b2 4a 2b+5=0
(a 2)2+(b 1)2=0
∵(a 2)2≥0, (b 1)2≥0
∴a=2, b=1
若腰为 1，底为 2，不满足三角形三边关系，舍去；
若腰为 2，底为 1，可构成三角形，周长为 2+2+1=5。
24.（12 分）如果两个分式 M与 N的和为常数 k，且 k正整数，则称 M与 N互为 “幸福分式”，常数 k称为 “幸福值”。如分式 M=，N=，M+N==15，则 M与 N互为 “幸福分式”，“幸福值” k=15。
(1) 已知分式 A=，B=，判断 A与 B是否互为 “幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出 “幸福值” k；
(2) 已知分式 C=，D=，C与 D互为 “幸福分式”，且 “幸福值” k=5，
① 求 M=____________（用含 x的式子表示）；
② 若 x为正整数，且分式 D的值为正整数，求 x的值；
(3) 若分式 E=，F=（b、c为整数且 a=b+c），E与 F互为 “幸福分式”，且 “幸福值” k=5，求 a 的值。
(1)A+B=+==2
∴ A与 B互为 “幸福分式”，k=2。
(2) ①
M= 6x 12
② D==
由 D为正整数，得 x 2是 6的正因数，解得 x=1,0, 1, 4，
又 x为正整数，故 x=1。
(3)E+F= +=5
∵a=b+c
∴c=5, a=4 或 16

25.（12 分）阅读：
材料一：含 30 角的直角三角形，30 角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
完成以下问题：在 △ABC中，∠BAC=120 ，点 D是边 BC上的一点。
(1) 已知 AB=AC，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120 得到线段 AE，连接 CE、DE。
① 如图 1，△ABD与 △ACE是否全等？____（填 “是” 或 “否”），若 ∠DEC=90 ，则
=____；
② 如图 2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60 ，交边 BC于点 F，若 CF=4，BC=10，求 DF的长；
(2) 如图 3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120 得到线段 AE，连接 CE，点 M是边 AB上一点，连接 CM，满足 ∠ACE=∠AMC，已知 CE=6，AM=4，求 BM的长。
（1）是
②如图 2，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 120° 得到线段 AE，连接 EF，作EM⊥CF，
由①可知△BDA≌△CEA(SAS)，
∴BD=CE，∠ECD=∠ACE+∠ACB=30 +30 =60 ，
∵∠DAF=60 ，
∴∠EAF=∠DAE ∠DAF=120 60 =60 =∠DAF，
在△DAF与△EAF中，
∴△DAF≌△EAF(SAS)，
∴DF=EF，
∵BC=10，CF=4，
∴BD+DF=BC CF=10 4=6，
令BD=x，则CE=x，DF=EF=6 x，
∵EM⊥CF，
在Rt△CEM中，∠CME=90 ，
∴∠CEM=90 ∠ECM=90 60 =30 ，
∴CM=CE=x，
FM=CF CM=4 x，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：EM2=CE2 CM2=EF2 FM2，
即x2 ()2=(6 x)2 (4 )2，
解得：x=，
∴DF=EF=6 x=6 =；
(2) 如图 3，D 是边 BC 的中点，取 BM 中点 K，连接 DK，作MN⊥AC交 AC 延长线于点 N，
∴DK是△BMC的中位线，
∴CM=2KD，CM∥KD，
∵∠BAC=∠DAE=120 ，
即∠4+∠5=∠6+∠5=120 ，
∴∠4=∠6，
∵CM∥KD，
∴∠1=∠AMC=∠ACE，
∴在△ADK与△AEC中，
∴△ADK≌△AEC(AAS)，
∴AK=AC，KD=CE=6，
∴CM=2KD=12，
在Rt△AMN中，∠3=180 ∠BAC=60 ，
∴∠2=90 ∠3=30 ，
∴AN=AM=×4=2，
在直角三角形AMN中，由勾股定理得：MN==2，
在直角三角形CMN中，由勾股定理得：CN==2
∴AC=2 2，
∴AK=2 2
∴BM=2MK=4 12

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