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浙教版数学七年级下册期末模拟卷（三）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．图中∠1与∠2 为内错角的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义，选项A中的和是内错角，选项C为内错角，其它两个选项什么角都不是；
故答案为：A．
【分析】根据内错角的定义“被截线之间，截线两侧的角是内错角”逐项判断解答即可．
2．温州在端午节有缝制香囊的习俗.手工香囊的香料颗粒细腻，每颗香料颗粒的直径约为 0.000215米，香气更易散发.将数 0.000215用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．若是关于的二元一次方程，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须是1，得出，求解即可得出答案．
4．下列各题中，适合用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，两项均不相同，无法使用公式；
，符合公式形式；
C.(a-b)(-a+b)，两项均为相反数，不符合公式形式；
D.(-a+b)(-a+b)，两项均为相同，不符合公式形式；
故答案为：B.
【分析】平方差公式适用于两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，据此判断解答即可.
5．随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据：
根据预测数据，下列分析不正确的是（　　）
①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长；
②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大；
③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超6000亿元；
④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超1.5万亿元．
A．②③ B．②③④ C．①③④ D．只有②
【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确；
根据增长率的折线统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误；
根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③正确；
2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确．
故选：C．
【分析】根据统计图信息逐项进行判断即可求出答案.
6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则 和∞代表的数分别是（　　）
A．3、-1 B．1、5 C．-1、3 D．5、1
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将x=4代入2x-3y=5中得y=1
∴
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解。
7．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
8．有一块长为 am，宽为bm的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1m得到的.四条小路的面积从左至右依次用S1，S2，S3，S4表示.则关于四条小路面积大小的说法正确的是（　　)
A． B．S2>S1>S4>S3
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1m得到的，
∴根据平移可知，草地的面积是长为（a 1）m，宽为b m的矩形面积，
∴S1＝S2＝S3＝S4＝ab （a 1）b＝b（m2），
故答案为：D．
【分析】根据平移可知，草地的面积是长为（a 1）m，宽为b m的矩形面积，根据原矩形的面积公式减去草地的面积即可得答案．
9． 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
10．已知关于x，y的方程组 给出下列说法：①当a=0时，方程组的解也是方程 的一个解；②当x与y互为相反数时，a=-3；③不论a取什么实数，7x+2y的值始终不变；④若a=1，则 其中正确的是（　　)
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①当时，方程组为
①②得，
解得：
将代入②得，
解得：
方程组的解为：，
∴是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组
①②得，
解得：
将代入②得，
方程组的解为：，
当当x与y互为相反数时，，
解得：，故②不符合题意；
③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，④不符合题意．
所以以上四种说法中正确的有①③．
故答案为：B．
【分析】把a=0代入，利用加减消元法解二元一次方程组求出x，y的值然后代入计算判断①；利用加减消元法求出x和y的值，然后根据题意列关于a的方程，求出a的值判断②；把x，y的值代入求出7x+2y的值判断③；把a=1代入求出x和y的值，然后代入计算x2+4y的值判断④解答即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，已知，，则　 　°．
【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出的度数，再根据对顶角相等即可求解．
12．老师对班内50名同学的血型按A型，B型，型，O型四组进行统计，结果显示A型血有16人，则该班A型血这组的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数据的总数为50，A型血的频数为16，
该班A型血这组的频率是．
故答案为：．
【分析】本题考查了频数与频率，解题的关键是掌握频率的计算公式．根据 频 率= ，将数字代入可得答案 ．
13． 若 ，则 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： 2.
【分析】结合题意，利用完全平方公式计算求解即可.
14．若 是一个完全平方式，则m的值是　 　．
【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
15．若关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　.
【答案】6
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得m+2(x-3)=x+3，将增根x=3代入得m+0=3+3，即m=6.
故答案为：6.
【分析】去分母后化为整式方程，将增根代入整式方程即可得m的值.
16． 已知方程组的解是，则方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：所求方程组化为
∴，
∴x=3，y=9
∴该方程组的解为
故答案为： .
【分析】本题先将所求方程组变形，使其在形式上与条件相近，再根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．解方程或方程组：
(1)
(2)．
【答案】（1）解：，
由方程②变形得：x=-5y+3③，
把③代入①得：-10y+6-3y=-7，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x=-2，
则方程组的解为；
（2）解：去分母得：3-x=4x-8，
合并同类项：5x=11
解得：，
经检验是分式方程的解．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题核心解法为代入消元法，优先选择系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将变形后的表达式代入另一方程，实现“消元”，把二元问题转化为一元一次方程求解；求出一个未知数的值后，回代求另一个未知数，最终得到方程组的解.
（2）分式方程的核心解题思路是转化为整式方程求解，先去分母，后按整式方程的解法求出未知数的值，最后检验解是否会使原分式方程的分母为0，若分母不为0，则为原方程的解；若分母为0，则该解为增根，原方程无解.
18．如图，直线交于点O，，垂足为O，．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵直线交于点O，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义及角平分线的定义．
（1）利用邻补角互补求出，再结合（垂直得），通过角度差计算；
（2）先由对顶角性质得到，再根据角平分线概念（将角分成两个相等的角）求出，最后通过计算结果．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线交于点O，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
（1）这个多项式是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
【答案】（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
【知识点】单项式乘多项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解析】本题考查整式的混合运算，主要包括单项式与多项式的乘法运算、去括号法则以及合并同类项等内容。掌握整式乘法和加减法的运算法则是解决此类问题的关键。
（1）根据题目要求，先列出相应的代数表达式，然后运用去括号法则和合并同类项的方法进行计算，最终得出答案；
（2）按照题意列出表达式后，使用单项式乘以多项式的运算法则进行展开，再通过合并同类项简化表达式，从而得到最终结果。
（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
20．如图，直线，被直线所截，连接，，与相交于点，，．
（1）若，求的度数；
（2）点在上，连接，若，请判定与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以；
（2）解：，理由如下：
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由所给角度关系，即内错角相等，两直线平行，可得AB||CD，即可得∠ACD的度数；
(2)由AB||CD得同旁内角互补即，结合可得同位角∠ACB=∠AEF，即有EF||BC，即可得∠ACB与∠ACD的关系.
21．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t≤4
频数 12 a 24 8
（1） m＝　 　 ，a＝　 　 ；C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 　 　 度；
（2） 请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3） 若该校学生有1500人，试估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有多少人．
【答案】（1）80；36；180
（2）
（3）解：估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有1500＝1125（人）
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
（人），
（人），
组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是；
故答案为：80；36；108；
【分析】（1）由组的人数除以占比求出的值，再利用总人数减去其它组人数求出的值，根据乘以组占比求出圆心角即可；
（2）按（1）中计算结果补全频数分布直方图即可；
（3）利用样本中劳动时间在1≤t＜3范围的学生占比乘以1500计算即可．
22．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元 ”列出关于字母x、y的方程组，求解即可；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，根据标价乘以折扣率等于售价可得篮球的售价为32×0.1m元，羽毛球的售价为40×0.1m元，根据总价除以单价等于数量及“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；
②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格， 设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍， 根据单价乘以数量等于总价及购买a个篮球和b副羽毛球拍共支付了281.6元列出一个二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
23．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：　 　；
（2）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，，，
，
则；
令，，
则，，
，
，
则，
即．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)由图2可知：S大正方形=SA+SB+2SC，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
【分析】(1)根据S大正方形=SA+SB+2SC，表示出各正方形和长方形的面积，即可得答案；
(2)①根据(a+b)2=a2+2ab+b2，代入a+b=7，a2+b2=33，求出ab的值即可；
②令2023-a=m，a-2021=n，得出m2+n2=8，m+n=2，根据(m+n)2=m2+2mn+n2，求出mn的值即可.
24．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
【答案】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
答：∠DEQ的度数为60°；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
综上可得：当t为或时，∠GBN和∠HEK的角平分线互相平行.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）由平角等于180°求得∠ACN的度数，由角平分线定义可求得∠ECN的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠QEC的度数，然后由角的和差可求解；
（2）①根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分两种情况：当转到之前时，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程可求解；当落在射线上时返回，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”并结合已知条件可得关于t的方程，解方程可求解构．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
1 / 1浙教版数学七年级下册期末模拟卷（三）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．图中∠1与∠2 为内错角的是(　　)
A． B．
C． D．
2．温州在端午节有缝制香囊的习俗.手工香囊的香料颗粒细腻，每颗香料颗粒的直径约为 0.000215米，香气更易散发.将数 0.000215用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．若是关于的二元一次方程，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．下列各题中，适合用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
5．随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据：
根据预测数据，下列分析不正确的是（　　）
①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长；
②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大；
③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超6000亿元；
④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超1.5万亿元．
A．②③ B．②③④ C．①③④ D．只有②
6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则 和∞代表的数分别是（　　）
A．3、-1 B．1、5 C．-1、3 D．5、1
7．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．有一块长为 am，宽为bm的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1m得到的.四条小路的面积从左至右依次用S1，S2，S3，S4表示.则关于四条小路面积大小的说法正确的是（　　)
A． B．S2>S1>S4>S3
C． D．
9． 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知关于x，y的方程组 给出下列说法：①当a=0时，方程组的解也是方程 的一个解；②当x与y互为相反数时，a=-3；③不论a取什么实数，7x+2y的值始终不变；④若a=1，则 其中正确的是（　　)
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，已知，，则　 　°．
12．老师对班内50名同学的血型按A型，B型，型，O型四组进行统计，结果显示A型血有16人，则该班A型血这组的频率是　 　．
13． 若 ，则 的值是　 　.
14．若 是一个完全平方式，则m的值是　 　．
15．若关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　.
16． 已知方程组的解是，则方程组的解是　 　.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．解方程或方程组：
(1)
(2)．
18．如图，直线交于点O，，垂足为O，．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
19．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
（1）这个多项式是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
20．如图，直线，被直线所截，连接，，与相交于点，，．
（1）若，求的度数；
（2）点在上，连接，若，请判定与的数量关系，并说明理由．
21．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t≤4
频数 12 a 24 8
（1） m＝　 　 ，a＝　 　 ；C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 　 　 度；
（2） 请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3） 若该校学生有1500人，试估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有多少人．
22．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
23．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：　 　；
（2）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
24．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义，选项A中的和是内错角，选项C为内错角，其它两个选项什么角都不是；
故答案为：A．
【分析】根据内错角的定义“被截线之间，截线两侧的角是内错角”逐项判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须是1，得出，求解即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，两项均不相同，无法使用公式；
，符合公式形式；
C.(a-b)(-a+b)，两项均为相反数，不符合公式形式；
D.(-a+b)(-a+b)，两项均为相同，不符合公式形式；
故答案为：B.
【分析】平方差公式适用于两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，据此判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确；
根据增长率的折线统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误；
根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③正确；
2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确．
故选：C．
【分析】根据统计图信息逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将x=4代入2x-3y=5中得y=1
∴
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解。
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
8．【答案】D
【知识点】生活中的平移现象；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：∵每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1m得到的，
∴根据平移可知，草地的面积是长为（a 1）m，宽为b m的矩形面积，
∴S1＝S2＝S3＝S4＝ab （a 1）b＝b（m2），
故答案为：D．
【分析】根据平移可知，草地的面积是长为（a 1）m，宽为b m的矩形面积，根据原矩形的面积公式减去草地的面积即可得答案．
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①当时，方程组为
①②得，
解得：
将代入②得，
解得：
方程组的解为：，
∴是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组
①②得，
解得：
将代入②得，
方程组的解为：，
当当x与y互为相反数时，，
解得：，故②不符合题意；
③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，④不符合题意．
所以以上四种说法中正确的有①③．
故答案为：B．
【分析】把a=0代入，利用加减消元法解二元一次方程组求出x，y的值然后代入计算判断①；利用加减消元法求出x和y的值，然后根据题意列关于a的方程，求出a的值判断②；把x，y的值代入求出7x+2y的值判断③；把a=1代入求出x和y的值，然后代入计算x2+4y的值判断④解答即可.
11．【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出的度数，再根据对顶角相等即可求解．
12．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数据的总数为50，A型血的频数为16，
该班A型血这组的频率是．
故答案为：．
【分析】本题考查了频数与频率，解题的关键是掌握频率的计算公式．根据 频 率= ，将数字代入可得答案 ．
13．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： 2.
【分析】结合题意，利用完全平方公式计算求解即可.
14．【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
15．【答案】6
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得m+2(x-3)=x+3，将增根x=3代入得m+0=3+3，即m=6.
故答案为：6.
【分析】去分母后化为整式方程，将增根代入整式方程即可得m的值.
16．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：所求方程组化为
∴，
∴x=3，y=9
∴该方程组的解为
故答案为： .
【分析】本题先将所求方程组变形，使其在形式上与条件相近，再根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可.
17．【答案】（1）解：，
由方程②变形得：x=-5y+3③，
把③代入①得：-10y+6-3y=-7，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x=-2，
则方程组的解为；
（2）解：去分母得：3-x=4x-8，
合并同类项：5x=11
解得：，
经检验是分式方程的解．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题核心解法为代入消元法，优先选择系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将变形后的表达式代入另一方程，实现“消元”，把二元问题转化为一元一次方程求解；求出一个未知数的值后，回代求另一个未知数，最终得到方程组的解.
（2）分式方程的核心解题思路是转化为整式方程求解，先去分母，后按整式方程的解法求出未知数的值，最后检验解是否会使原分式方程的分母为0，若分母不为0，则为原方程的解；若分母为0，则该解为增根，原方程无解.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵直线交于点O，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义及角平分线的定义．
（1）利用邻补角互补求出，再结合（垂直得），通过角度差计算；
（2）先由对顶角性质得到，再根据角平分线概念（将角分成两个相等的角）求出，最后通过计算结果．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线交于点O，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
【知识点】单项式乘多项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解析】本题考查整式的混合运算，主要包括单项式与多项式的乘法运算、去括号法则以及合并同类项等内容。掌握整式乘法和加减法的运算法则是解决此类问题的关键。
（1）根据题目要求，先列出相应的代数表达式，然后运用去括号法则和合并同类项的方法进行计算，最终得出答案；
（2）按照题意列出表达式后，使用单项式乘以多项式的运算法则进行展开，再通过合并同类项简化表达式，从而得到最终结果。
（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
20．【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以；
（2）解：，理由如下：
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由所给角度关系，即内错角相等，两直线平行，可得AB||CD，即可得∠ACD的度数；
(2)由AB||CD得同旁内角互补即，结合可得同位角∠ACB=∠AEF，即有EF||BC，即可得∠ACB与∠ACD的关系.
21．【答案】（1）80；36；180
（2）
（3）解：估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有1500＝1125（人）
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
（人），
（人），
组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是；
故答案为：80；36；108；
【分析】（1）由组的人数除以占比求出的值，再利用总人数减去其它组人数求出的值，根据乘以组占比求出圆心角即可；
（2）按（1）中计算结果补全频数分布直方图即可；
（3）利用样本中劳动时间在1≤t＜3范围的学生占比乘以1500计算即可．
22．【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元 ”列出关于字母x、y的方程组，求解即可；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，根据标价乘以折扣率等于售价可得篮球的售价为32×0.1m元，羽毛球的售价为40×0.1m元，根据总价除以单价等于数量及“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；
②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格， 设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍， 根据单价乘以数量等于总价及购买a个篮球和b副羽毛球拍共支付了281.6元列出一个二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
23．【答案】（1）
（2）解：，，，
，
则；
令，，
则，，
，
，
则，
即．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)由图2可知：S大正方形=SA+SB+2SC，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
【分析】(1)根据S大正方形=SA+SB+2SC，表示出各正方形和长方形的面积，即可得答案；
(2)①根据(a+b)2=a2+2ab+b2，代入a+b=7，a2+b2=33，求出ab的值即可；
②令2023-a=m，a-2021=n，得出m2+n2=8，m+n=2，根据(m+n)2=m2+2mn+n2，求出mn的值即可.
24．【答案】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
答：∠DEQ的度数为60°；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
综上可得：当t为或时，∠GBN和∠HEK的角平分线互相平行.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）由平角等于180°求得∠ACN的度数，由角平分线定义可求得∠ECN的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠QEC的度数，然后由角的和差可求解；
（2）①根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分两种情况：当转到之前时，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程可求解；当落在射线上时返回，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”并结合已知条件可得关于t的方程，解方程可求解构．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
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