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f5x<1十缸， 类型五 寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况
4. (新疆克拉玛依)解不等式组 :~l-x_ x十4 并在数轴上表示其 αb
i 一一一二三 价
12--- 3' 8. (安徽淮北)我们把" 1-- -_ 1 押称为二阶行列式罗规定它的运算法
c d
解集. a b 1 12 3
则为 1 =ad-bc ， 例如， 1- -1 =2X5-3X4=-2.
d 1 14 5
第一部分练易错
2 3-x 1
类型一 混j着一无一次不等式的解与解集的概念 (1)求不等式 1- - -- 1> 0 的解集;
1 工
L 判断下列说法是否正确，并说明理由.
η 二r
(1 )x =3 是不等式 3x 二三9 的解集; (2)若关于工的不等式 I.~ ~- 1< 0 的解都是(1)中不等式的解，
2 1
(2)不等式 3x 二三9 的解是 x=3;
B护 类型因 不合分母的项，去分母时i黯乘最简公分母 求 η 的取值范围@
主中帮 (3)x=3 是不等式 3x 二三9 的一个解;
_ > ~ >_<- ,_ x 十 5 3x 十 2
(4)x 二三3 是不等式 3x二列的解. 5. (四川甘孜)解一兀一次不等式:一γ-1<--2气
M
辑W U
类型二 不等式两边同乘{或除以}负勤时，不等号忘记改变方向 fi9 〉nl
lμ /JU 一
hLO bu -7- 。
2. Z(河北邢台)先阅读下面的解题过程，再解题. A丰， 区解不等式 J4组 中〈 巾 4P 户 i -l >l- 二-
1 一
已知 α >b ，试比较 2 025α 十 1 与 -2 025b 十 1 的大小. 口 3 一、
寸T、
斗1+1 9. (北京房山区)对工 ， y 定义一种新的运算 T，规定 :T(x ， y)=
解:因为 α >b ，①
所以 -2025α>-2 025b ， ② tz 一γων ν 其中 G 弓笋丘 O. 例如 :T(门1 ，一 lυ)=aX1 一(一 1υ)=α
αωZ 十 y(ωx所以 2 025α 十 1>-2025b 十1.③
器 +l， T(- 1， 2)=αX(- 1)十2=~a十2。
时 (1)上述解题过程中，从步骤 开始出现错误(填写序号L
间画、
(1)计算 :T(2 ，1)= (用含 α 的代数式表示) ;
(2)请写出正确的解题过程.
fT(x 十 1， x) 二三3
f3(x 一1)二三 x+1 , (2)若 TC2 ，1) =3 ，关于 z 的不等式组斗 恰有 4
7. (北京海淀区)解不等式组~ 3x+1 并将解集在数轴 lT(x 一 1 ， x)12x 一→王一<1， 个整数解 9求 m 的取值范围;
上表示出来. (3)若 T(2 ， a) 十 T(-2 ， α)=3α 十1，求 α 的值.
一4 -3 币2 喃喃 1 0
主主 2 3 4
类型三 分子是多项式罗去分母后分子忘记如小摇号
3十x _2x-4
3. (江苏盐城)解不等式一一:___:2 ::_:::;:::一一一，并把不等式的解集在数~ 3
华 轴上表示出来.
在牛
一5 -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 5
数学七年级下册人教版 5
第工部分练题型 4. (四川巴中)对于任意实数 α ，我们用[α]表示不大于 α 的最大 类型三 解绝对值型的不等式
类型一解"连续"型的不等式 整数，则 α-1<[α]运α ，如:[1. 6J= 1, [2 025J=2 025 ,[ -3. 07J 6. (河南南阳)在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方
1 解不等式:3-zdb+ )-K-z+9 =-4，请根据以上信息 9 回答下列问题: 式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思
(1)填空: [πJ= ，1旦l= ， [-2 阳J= 维品质.请你通过自学解答下面的问题:
I 3 I 解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里式子的正
,[ -4. 305J= ; 负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答.
(2)若[3x 十2J=5 ，求工的取值范围; 例如:解不等式 Ix 一 31>2.
(3)若[x 十2J=3x-5 ，求 z 的值. 解:①当立一3二三0 ，即 z 二三3 时，原式化为工 -3>2 ，解得 x>5 ，
此时，不等式 Ix-31>2 的解集为工>5;
②当工 -3<0 ，即 x<3 时，原式化为 3-x>2 ，解得 x此时，不等式 Ix-31>2 的解集为工<1.
综上可知，原不等式的解集为工>5 或工<1.
问题:请用以上方法解关于 m 的不等式 14m-11 一一 9~0.
2. 求不等式 4运工 -3(x-2)<10 的整数解. 类型二解"分式"型的不等式
5. (河南周口)阅读下面材料后，解答问题.
工一 2 3x+6
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如·一…一>0 ，一一一
x十r -, x-1
<0 等，那么如何求出它们的解集呢 根据我们学过的有理数除
法法则可知:两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式
如下:
a
(a) 若 α>0 ， b>O ， 则 >0; 若 α0.
b
a
(b) 若 α>0 ， bO ， 则一<0.
b
请解答下列问题:
3. 点 A ，点 B ，
ρ la值范围 (1)①若子>0 ，贝U~ 或
。 Ib②若手<0 ，则 或
3x+6
(2)根据上述规律，求分式不等式一-， <0 的解集，
二1:: -1
6 专项练习卷(三)(3x-y=2 ，③ 把工=一 l， y=2 代人 (b 十 2)x 十 (b 十 l) y=b ， 得左边 所以甲装修组单独完成需要 12 天，乙装修组单独完成 合并同类项，得-xζ1.
整理，得(
l2(3x-y) 十 1十15y=50 ， ④ =b ，所以左边=右边. 需要 24 天. 系数化为1，得 z二三-1.
把③代人④得 2X2十 1十 15y=50 ，解得 y=3. Ix= 一 1 ， 选择①所需装修费用及耽误营业损失的盈利之和为 将不等式的解集表示在数轴上如下:
故{ 是原方程组的解.
t巴 y=3 代入①得 3x-3 凹，解得户 \y 工 2 (300 十 200)X12=6000(元) ;
一5 -4 -3 -2 一 1 0 1 2 3 4 5
第二部分练、题型 选择②所需装修费用及耽误营业损失的盈利之和为
(5x<1十 4x① 9
1.解:设原两位数的十位上的数字为工，个位上的数字为 (140十200) X 24二 8 160(元) ;
故原方程组的解是~x-3 4. 解:~ 1 一 γ r+ Ll
(工十γ=1 1， 选择③所需装修费用及耽误营业损失的盈利之和为: 气二注亏二②，
lY =3. y ， 依题意，得\ -
l10x+y 十45=10y 十工， (300+140十 200) X8=5 120(元) .
(2x-y=5(, 解不等式①，得工<1.
3. 解: (1) \ 问 =3 ， 因为 5 120<6 000<8 160 ，所以安排①甲、乙一起做更
l4x 十3y=25②， 解得{ 解不等式②，得工::(;-1.
\y=8. 有利于商店经营.
① X3 ，得 6x-3y=15③， 二不等式组的解集为工三三一 1 ，
所以原两位数是 38. 5. 解:任务 1 :设每本笔记本的价格为 z 元，每盒水笔的价
③+②，得 10x =40 ，解得工 =4. 不等式组的解集在数轴上表示如图:
2. 解: (1)设该市自来水的基本水价为每立方米 z 元，超 格为 y 元，根据题意得 -7一「
将 x=4 代入③，得 y=3.
出 5 立方米的部分每立方米收费 y 元，根据题意得 Gx=;十109(z=10 ， -2 -1 0 1 2 Ix=4 , 解得
人原方程组的解为{ 2 十 5 3x 十 2G町Z忖十村(…刊 解得(户
3x+5y=130. ly=20.
\y=3. 5. 解:一γ-1<2一，
v
5x 十 (14-5)y=37 ， \y=3. 答:每本笔记本的价格为 10 元，每盒水笔的价格为 20
(2x-3_y=6(, 去分母，得 z十5-2<3x+2.
(2)整理得( 答:该市自来水的基本水价为每立方米 2 元，超出 5 立 JG.
l3x-5y=10(, 移项，得 x-3x<2十 2-5.
方米的部分每立方米收费 3 元. 任务 2:设签字笔的单价为 n 元，根据题意得
由① X3一② X2 ，得 y=-2 ， 合并同类项，得←2x<- 1.
(2)设赵聪家该月用了 m 立方米水，根据题意得 (2 X 20 十 10)m 十 (20 十 10) X 18 十 2 X 10 X 30 十 η=1
将 y= 一2 代入①，得 x=O ，
5X2十3(m-5) =屿，解得 m=16. 446 , 系数化为1，得工〉;
问 =0 ，
λ 原方程组的解为{ 答:赵聪家该月用了 16 立方米水. λη =306-50m. 「 q
\y=-2. li u JJωi q → ①(m=6 , EU X 3. 解:设安排甲车间生产工个发卡，乙车间生产 y 个发 解〈 …
(2x+3_y=-3(, γ m ， n 均为正整数，且 η::(;10 ，人{
l
i 臼
- 二
- u - 4一
4. 解: \ (x+γ=100000 ， (η=6. 、 ρ 3 ②
l4x 十 5y=-7②， 卡.由题意得\
\x=3y. 答:签字笔的单价为 6 元. 解不等 式①，得 x::(;3 ，
① X2 得 4x+6y=-6③，
nunnuun u
ηF气 凡工 一 U 卷{二 解不等式②，得 x>-4 ，iU
②一③得-y= 一 1 ，解得 y=l ， 解1,虱 一qpHρhU可 d
y一 第一部分练易错 .原不等式组的解集为-4<工 ::(;3.
把 y=l 代入①得 2x 十3=-3 ，解得 x= 一 3 ， 一
答:安排甲车间生产 75 000 个发卡，乙车间生产 25 000 : 1. 解: (1)不正确，不等式 b二列的解集是工二三3 ， x=3 只 (3(x →1)二三 z 十 1①，
Ix=-3 ,
故原方程组的解是( 个发卡 是其中的一个解. 7. 解:才 3x十 1
\y= 1. 12x 一-E一<1②，
4. 解: (1)设甲装修组工作一天商店应付 x 元，乙装修组 (2)不正确，不等式 3x注9 的解有无数个 ， x=3 只是其
Ix=l ,
5. { 中一个. 解不等式①，得工二三1 ，工作一天商店需支付 y 元，
\y=-2 解不等式②，得 x<3 ，
(8x 十8y=3520 ， (3) 正确，当 x=3 时，不等式 3x 二三9 成立.
6. 解: (1)①②，得 2x 十2y=2 ， 即 z 十y=l ，③ 依题意得\
l6x 十 12y=3480 ， (4)不正确，不等式的解是具体的某个值，而不是取值范
λ该不等式组的解集为 1::(;工 <3 ，
①…③ X2024 ，得 x=- 1.
围. 不等式组的解集在数轴上表示如下:(x=300 ,
把 x=-l 代人③，得一 l十y= l，解得 y=2. 解得(
\y = 140. 2. 解: (1)②
Ix=- l,
(2) 因为 a>b ， 一4 -3 …2 -1 0 1 2 3 4 所以原方程组的解是( 答:甲装修组工作一天商店需支付 300 元，乙装修组工
\y=2. 12 3-x 1
作一天商店需支付 140 元. 所以一 2 025a < - 2 025b , 8. 解: (1)根据题意得 1 = 2x -1 X (3 - x) >0.
((a 十 2)x 十 (α 十 1)y=a 11 x 1
(2 )方程组\ (α 宁士们的解为
+ + (2)安排③甲、乙一起做更有利于商店经营.
所以 -2 025ο 十 1<-2025b+ 1.
l (b +2)x (b 1) y =b 解不等式得 x>1.
理由:设甲、乙装修组的工作效率分别为 m ， n ， 3. 解.二平王<2x二4
用于~ 飞 o ,
广1， In 工|旷: 1 1<0. 即 η-b〈09U〉
y=2. (8m 十8n= 1， Im=12' 去分母，得 3(-3十x)运2(2x ← 4) .
检验:把工 =-l，y=2 代人(α 十 2)x 十 (α 十 l)y=a ，得 由题意得{ 解得斗I 1 去括号，得 9十3工三三位 8. In x I l6m 十 12n= 1， .关于工的不等式 1 1<0 的解都是(1)中不等式
左边=a ，所以左边=右边; 移项，得 3x-4x::(;9-8.
34 参考答案
的解 9 移项，得 24十 2十3<4工→ 15x<6十2十 3 ， 3. 36 又 ':AB//DF ，
0
。卡1 ，人。2 合并同类项，得一19<- l1x<11 ， 4. B 1:解析3γ 入射光线是平行尤线，. .ζ1=ζ3 = 50 λ DF//CE.
19 又 γ _L3=ζ4 ， .二 ζ4=500 故选 B. (2) 解:如图(1) ，当点 D 在点 C 右侧时， γ 正BFD=
9. 解: (l )2α 1. 系数化为1，得一l5. C [解析直由题意 得该正方体物块的棱长为rs百 cm. α ， ζBEC= 日 ， DF //AB ，:， ζABP= _LBFD= α.
(2)'; T(2 , 1) =3 ， :.2α-1=3 ， "。 α 工 2. 117 寸
4. 解: (l)由题意得[1[J=3 ， 1τI = 5 , [ - 2 025 J = γ扫7<花0<托4 ， :.3<沁0<4. 故选 C. ζABC = 400, 712 //η ，人 ζPBC= α 十 40 0 = _L BCD ,
(T(x 十 1 ， x) 二三 3 ，
故关于工的不等式组{
\T(x-1 ,x)<712 , -2025 ,[ -4. 305J 工 5. 6.2C答案不唯一) [解刑γ-I3_LBEC= =ζDCE ，
(2(x 十l) -x二三 3 ， 故答案为 3; 5; 一 2 025; 一 5. λ 比-13大的整数可以是 2. .; CE 平分3肌 Jζ_LBEC= 户俨工_丘LDCE = ~
可变形为(
\2(x- l)十 x<712 ， (2)':3x 十 1<[3x 十 2Jζ3.:r、十 2 ， [3工斗2J=5 ， 7.2(答案不唯一) 1(解中日当 m=2 时，V!Z;;;=j4 = 2. 故
ζ_LBCD=寸÷(ωα 十 4
解 2(x 十l) -x二三3 得 z 二三1. 5<3x十ω，解得 1Q〈; 答案为 2(答案不唯一) .
m 十2 如图 (2υ) ，当点 D 在点 C 左侧、点点、 A 右侧时，
解 2(x- 1) 十工γ不等式组恰好有 4 个整数解， 什ωx-5ζ工十2 ，解得 32
. .这个不等式组的整数解一定是 1 、 2 、 3 、 4 ， =180 0 - _L BCA ，_LBEC= =ζACE ，
11 -2712>0 ， 解得 mm 十 2 :.4<3x-5ζτ'
λ4<一了三二5 ， ，'， 10(答案不唯一) .
': CE 平分 _LBCD ， 人 ζBEC = 自 = _LACE =
(3) T(2 ， a) 十 T(-2 ， a)=3α 十1， 3x-5 为整数，… 3x-5=5 ， ，'， x=子 9.ζD工正BCE(答案不唯一) [解析E添加的条件可以
当 a~二一 2 时， 2α α 十 (-2α )-a 工 3α 十1， 是ζD=ζBCE. 理由如下 :·.·ζD 工ζBCE ， 仨m寸(旷 α) ，即 α=时一2卢
(α >0 ， (a>O , (a解得「 t(不合题意，舍去) 5. 解 zG〉①{②( ( :， AD//BC( 同位角相等，两直线平行).故答案为ζD=; 的>0. \bO.
ζBCE(答案不唯一) . m:"A D C m
当二20 ，
(2)原不等式可转化为( 或( 10. (1)证明: ':BD 平分ζABC ，ζABD=75O，
÷; \x-1>0 \x-1<0 , 解得"= :-4三ABC=2ζABD=1500 . ~A nMZK /AnuU lh nu PE B F FE B 1 q > u
厂 川 贮 90 < <
解 > 得无解
F
解Z 〈 得 工 γζC=300 ， λζC十ζABC=1800 ， :.AB//CD. 图(勾
图(3)
当 α>2 时乡 2α +a 十(一 2α) 十μ==3α 十1， - i
(2)解:填①. ': BD 平分_LABC ,_LABD=750, 如图 (3) ，当点 D 在点 A 左侧时 γζBFD = (1,
解得 a=- l(不合题意，舍去). 所以原不等式的解集是-2<工<1. 0
.ζDBC= ζABD = 75 0 , .: AE //BC , .'， ζDFE= i乙BEC= , DF // AB , :.ζABP 十 ζBFD = 180 , :.
故 α 的值为-t 6. 解:': 14712-11-9<0 ，人 14η~-11ζ9. 0 0ζDBC=75 ， :.ζAFD=180。一 75 0 =105 0 ζABP=180。一α 。二-4乙ABC=40 ， m//η ，
第二部分练题型 ①当 4712一以即 m斗时，
0
填②. .: AE//BC , :。 ζABC 斗 ζA = 1800 , :.ζA= 人ζPBC = (1 80。一 α) 十 40 = 220。一 α= 180。→
1800 -150 0 =30 0 (任选一项并求解即可) _LBCA ， ζBEC = 自 =ζACE ， :. LBCA = 1800
1 解 :3丁<2(x+ ~ )-1<-x十 9 ， 原式化为 4712-1<9 ，解得 712<2.5 ，
11. C 12. D (220 0 -α)=α 40 0 . 气'CE 平分ζBCD ，
去括号，:}尊 3-x<2x十 1-1王三 z 十 9 ， 此时，不等式 14m 一 11<9 的解集为仨m<2.5; 13. (1)①解:如图(1)，': DF //AB ，:。 ζABP=ζDFB= 人正三BEC=卢=ζACB=~ζBCA=iu 400) ，即 α
2
移项，得 3十 1-1<2工斗x<9-1 十]_ , 40 0 , .;ζABC=400 ， λζCBP=L三ABP 十ζCBA=
②当 4712 一闪，民p712<士日才， =2卢十40。.
合并同类项，得 3<3x<9 ， 40 0十 40 0 =800 ，
0
原式化为 1-4712<9 ，解得 7月二三 -2 ， 综上所述，α 二 2卢 -40。或 α =140 -2 或 α=2卢+40
0 ，
系数化为1，得 12。解:去括号，得 4ζx-3工十 6<10. 14. 解:任务-，设每名熟练工每天可以生产 r 件工艺品乡此时 9不等式 14712-11<9 的解集为叫〈t
移项，得 4-6<工→ 3x<10-6. v、 每名新工人每天可以生产 y 件工艺品.根据题意得综上可知，原不等式的解集为一2ζmζ2.5.合并同类项，得 2<-2x<4. r2x 十3γ=28，问=8 ，
B E F { 解得(
系数化为 1 ，:}导 -2l. B
所以不等式的整数解是一1， 0 ，1. 答:每名熟练工每天可以生产 8 件工艺品，每名新工人②证明 :γCE 平分丘BCD ，
2x-1 2.3 5 [解析直设大船有工只，小船有 y 只。由题意可得5x 十 1 每天可以生产 4 件工艺品.
3。解:由题意 9得 4<一一十一一一←<1. ohz3 qdED
3 2 μ十
zy J 丘_LBCE→=tζ_LBCD=ω
y= 4,77 - n Fhd 任务二:设使用熟练工 α 名，招聘新工人 b 名，则 (8α+
解胃d 大船有 去分母乡得一24<2(2x -1) -3(5x 十1)<6 ， r扣
qO
为uO 一 γ4ζ乙ABC=4钊00 ， 4b) X22=2 024 ，即 2α 十b=23 ，案 R
υ 一
去括号，得一24<4x -2-15x-3<6 , 故答 鸣
， :. _L BCE = _L ABC , :. AB //CE. γ2三三b数学七年级下册人教版 35

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